2024屆上海市虹口高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

2024屆上海市虹口高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．棱長為2的正四面體的表面積是（）A． B．4 C． D．162．若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知為遞增等比數(shù)列，則（）A． B．5 C．6 D．4．一實體店主對某種產(chǎn)品的日銷售量（單位：件）進(jìn)行為期n天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A． B．中位數(shù)為17C．眾數(shù)為17 D．日銷售量不低于18的頻率為0.55．同時擲兩枚骰子，則向上的點數(shù)相等的概率為（）A． B． C． D．6．一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．16 B．20 C．24 D．287．若圓錐的高擴(kuò)大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的12A．縮小為原來的34 B．縮小為原來的C．?dāng)U大為原來的2倍 D．不變8．以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A． B． C． D．610．某班的60名同學(xué)已編號1,2,3，…，60，為了解該班同學(xué)的作業(yè)情況，老師收取了號碼能被5整除的12名同學(xué)的作業(yè)本，這里運用的抽樣方法是()A．簡單隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣 D．抽簽法二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則__________．12．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，，動點滿足，則的最大值是．13．_________.14．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．16．明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”則尖頭共有__________盞燈．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，．（1）若，求證：數(shù)列為等比數(shù)列．（2）若，求．18．在公比不為1的等比數(shù)列中，，且依次成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和，求證：19．的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，且的面積為，求的值．20．經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路汽車的車流量（千輛/h）與汽車的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為：．（1）若要求在該段時間內(nèi)車流量超過2千輛，則汽車在平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）在該時段內(nèi)，若規(guī)定汽車平均速度不得超過，當(dāng)汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？21．已知在直角三角形ABC中，，（如右圖所示）（Ⅰ）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征并求所得幾何體的表面積.（Ⅱ）一只螞蟻在問題（Ⅰ）形成的幾何體上從點B繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點B，求螞蟻爬行的最短距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)題意求出一個面的面積，然后乘以4即可得到正四面體的表面積．【題目詳解】每個面的面積為，∴正四面體的表面積為.【題目點撥】本題考查正四面體的表面積，正四面體四個面均為正三角形．2、D【解題分析】

利用基本不等式求得的最小值，根據(jù)不等式存在性問題，解一元二次不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故選：D【題目點撥】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性問題的求解，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.3、D【解題分析】

設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得，又由，求得，進(jìn)而可求解的值，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，設(shè)其公比為，因為，則有，又由，且，解得，所以，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

由統(tǒng)計圖,可計算出總數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),算得銷量不低于18件的天數(shù),即可求得頻率.【題目詳解】由統(tǒng)計圖可知,總數(shù),所以A正確;從統(tǒng)計圖可以看出,從小到大排列時,中間兩天的銷售量的平均值為,所以B錯誤;從統(tǒng)計圖可以看出,銷量最高的為17件,所以C正確;從統(tǒng)計圖可知,銷量不低于18的天數(shù)為,所以頻率為,所以D正確.綜上可知,錯誤的為B故選:B【題目點撥】本題考查了統(tǒng)計中的總數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和頻率的相關(guān)概念和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

利用古典概型的概率公式即可求解.【題目詳解】同時擲兩枚骰子共有種情況，其中向上點數(shù)相同的有種情況，其概率為.故選：D【題目點撥】本題考查了古典概型的概率計算公式，解題的關(guān)鍵是找出基本事件個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)三視圖可還原幾何體，根據(jù)長度關(guān)系依次計算出各個側(cè)面和上下底面的面積，加和得到表面積.【題目詳解】有三視圖可得幾何體的直觀圖如下圖所示：其中：，，，則：，，，，幾何體表面積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查幾何體表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，從而根據(jù)長度關(guān)系可依次計算出各個面的面積.7、A【解題分析】

設(shè)原來的圓錐底面半徑為r，高為h，可得出變化后的圓錐的底面半徑為12r，高為【題目詳解】設(shè)原來的圓錐底面半徑為r，高為h，該圓錐的體積為V=1變化后的圓錐底面半徑為12r，高為該圓錐的體積為V'=1故選：A.【題目點撥】本題考查圓錐體積的計算，考查變化后的圓錐體積的變化，解題關(guān)鍵就是圓錐體積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

四個交點中的任何一個到焦點的距離和都是，然后分析正六邊形中的長度和焦距的關(guān)系，從而建立等式求解.【題目詳解】設(shè)橢圓的焦點是，圓與橢圓的四個交點是,設(shè)，，，，.故選D.【題目點撥】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型9、A【解題分析】

直接利用斜率相等列方程求解即可.【題目詳解】因為直線與直線平行，所以，故選：A.【題目點撥】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】由題意，抽出的號碼是5,10,15，…，60，符合系統(tǒng)抽樣的特點：“等距抽樣”，故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【題目點撥】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.12、【解題分析】

試題分析：設(shè)，表示以為圓心，r=1為半徑的圓，而，所以，，，故得最大值為考點：1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．向量模的運算13、【解題分析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值可計算出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得，原式.故答案為.【題目點撥】本題考查誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、或【解題分析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【題目詳解】設(shè)切線長為，則，所以當(dāng)切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯(lián)立，得，點的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【題目點撥】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關(guān)問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．15、【解題分析】

首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有個交點，再畫出與的圖象，根據(jù)圖象即可得到的取值范圍.【題目詳解】有題知：函數(shù)恰有個零點，等價于函數(shù)與有個交點.當(dāng)函數(shù)與相切時，即：，，，解得或（舍去）.所以根據(jù)圖象可知：.故答案為：【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的零點問題，同時考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.16、1【解題分析】

依題意，這是一個等比數(shù)列，公比為2，前7項和為181，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】依題意，這是一個等比數(shù)列，公比為2，前7項和為181，∴181，解得a1＝1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的首項的求法，考查等比數(shù)列的前n項和公式，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案見解析【解題分析】

（1）證明即可；（2）化簡，討論，和即可求解【題目詳解】因為，所以，所以．又所以數(shù)列是以3為首項，9為公比的等比數(shù)列．（2）因為，所以，所以：當(dāng)時，當(dāng)時，.當(dāng)時，.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的證明，極限的運算，注意分類討論的應(yīng)用，是中檔題18、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程組，解方程組得的值，即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，，再利用裂項相消法求，不等式即得證.【題目詳解】（1）設(shè)公比為，，，成等差數(shù)列，可得，即，解得（舍去），或，又，解得所以.（2）故，得【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列通項的求法，考查等差數(shù)列前n項和的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）對等式，運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系中的商關(guān)系，可求出角的正切值，最后根據(jù)角的取值范圍，求出角；（2）由三角形面積公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．【題目詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴在中；（2）∵的面積為，∴，∴，由余弦定理，有，∴．【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.20、（1）﹒（2）時，最大車流量輛．【解題分析】

（1）根據(jù)題意，解不等式即可求得平均速度的范圍.（2）將函數(shù)解析式變形，結(jié)合基本不等式即可求得最值，及取最值時的自變量值.【題目詳解】（1）車流量（千輛/h）與汽車的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為：．則，變形可得，解得，即汽車在平均速度應(yīng)在內(nèi).（2）由，、變形可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故當(dāng)汽車的平均速度，車流量最大，最大車流量為千輛/h.【題目點撥】本題考查了一元二次不等式的解法，由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ）幾何體為以為半徑，高的圓錐，（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．（Ⅱ）利用