2024屆福建省廈門市湖里區(qū)雙十中學數(shù)學高一下期末調(diào)研試題含解析

2024屆福建省廈門市湖里區(qū)雙十中學數(shù)學高一下期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，直線，若直線過線段的中點，則（）A．-5 B．5 C．-4 D．42．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎金萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年3．若，，且與夾角為，則（）A．3 B． C．2 D．4．在平面直角坐標系中，為坐標原點，為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則可能取值是().A． B． C． D．6．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）A． B． C． D．7．設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列中的最大項為（）A． B． C． D．8．設、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．C． D．9．某防疫站對學生進行身體健康調(diào)查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學共有學生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人10．式子的值為（）A． B．0 C．1 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設數(shù)列滿足,,,，______.12．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實數(shù)_______.13．若過點作圓的切線，則直線的方程為_______________.14．若,則________.15．中，，，，則________.16．在平面直角坐標系中，點在第二象限，，，則向量的坐標為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）若關(guān)于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．（2）解關(guān)于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．18．（Ⅰ）已知直線過點且與直線垂直，求直線的方程；（Ⅱ）求與直線的距離為的直線方程.19．（1）求證：（2）請利用（1）的結(jié)論證明：（3）請你把（2）的結(jié)論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：（4）化簡：.20．已知角的終邊經(jīng)過點.（1）求的值；（2）求的值.21．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且垂直于軸，連結(jié)并延長交橢圓于另一點，設.（1）若點的坐標為，求橢圓的方程及的值；（2）若，求橢圓的離心率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)題意先求出線段的中點，然后代入直線方程求出的值.【題目詳解】因為，，所以線段的中點為，因為直線過線段的中點，所以，解得.故選【題目點撥】本題考查了直線過某一點求解參量的問題，較為簡單.2、B【解題分析】試題分析：設從2015年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數(shù)得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【考點】增長率問題，常用對數(shù)的應用【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應用．在實際問題中平均增長率問題可以看作等比數(shù)列的應用，解題時要注意把哪個數(shù)作為數(shù)列的首項，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可求解．3、B【解題分析】

由題意利用兩個向量數(shù)量積的定義，求得的值，再根據(jù)，計算求得結(jié)果．【題目詳解】由題意若，，且與夾角為，可得，.故選：B．【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的定義、向量的模的方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意不要錯選成A答案.4、C【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式，求得點的坐標．【題目詳解】為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，則點的橫坐標為，點的縱坐標為，故點的坐標為.故選C.【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式，考查基本的運算求解能力．5、D【解題分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性，可以得到一個等式，結(jié)合四個選項選出正確答案.【題目詳解】因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以有，當時，，故本題選D.【題目點撥】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了數(shù)學運算能力.6、D【解題分析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得；根據(jù)誘導公式可將所求式子化為，代入求得結(jié)果.【題目詳解】由得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查任意角三角函數(shù)值的求解、利用誘導公式化簡求值問題；關(guān)鍵是能夠通過角的終邊上的點求得角的三角函數(shù)值.7、A【解題分析】

利用累加法求得的通項公式，再根據(jù)的單調(diào)性求得最大項.【題目詳解】因為故故則，其最大項是的最小項的倒數(shù)，又，當且僅當或時，取得最小值7.故得最大項為.故選：A.【題目點撥】本題考查由累加法求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的單調(diào)性，屬綜合基礎題.8、C【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標函數(shù)可得出結(jié)果.【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分區(qū)域表示：聯(lián)立，得，可得點的坐標為.平移直線，當該直線經(jīng)過可行域的頂點時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即，故選：C.【題目點撥】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，一般作出可行域，利用平移直線結(jié)合在坐標軸上的截距取最值來取得，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.9、D【解題分析】由分層抽樣的辦法可知在名學生中抽取的男生有，故女生人數(shù)為，應選答案D．10、B【解題分析】

根據(jù)兩角和的余弦公式，得到原式，即可求解，得到答案.【題目詳解】由兩角和的余弦公式，可得，故選B.【題目點撥】本題主要考查了兩角和的余弦公式的化簡求值，其中解答中熟記兩角和的余弦公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8073【解題分析】

對分奇偶討論求解即可【題目詳解】當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，故當為奇數(shù)時，故故答案為8073【題目點撥】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查分析推理能力，對分奇偶討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，是難題12、1【解題分析】

在方向上的投影為，把向量坐標代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【題目詳解】因為，所以，解得：，故填：.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標運算，考查基本運算能力.13、或【解題分析】

討論斜率不存在時是否有切線，當斜率存在時，運用點到直線距離等于半徑求出斜率【題目詳解】圓即①當斜率不存在時，為圓的切線②當斜率存在時，設切線方程為即，解得此時切線方程為，即綜上所述，則直線的方程為或【題目點撥】本題主要考查了過圓外一點求切線方程，在求解過程中先討論斜率不存在的情況，然后討論斜率存在的情況，利用點到直線距離公式求出結(jié)果，較為基礎。14、【解題分析】

先求，再代入求值得解.【題目詳解】由題得所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查共軛復數(shù)和復數(shù)的模的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、7【解題分析】

在中，利用余弦定理得到，即可求解，得到答案.【題目詳解】由余弦定理可得，解得.故答案為：7.【題目點撥】本題主要考查了余弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的余弦定理，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、【解題分析】

由三角函數(shù)的定義求出點的坐標，然后求向量的坐標.【題目詳解】設點，由三角函數(shù)的定義有，得，，得，所以，所以故答案為：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義的應用和已知點的坐標求向量坐標，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)m；(2)見解析【解題分析】

（1）利用△＜0列不等式求出實數(shù)m的取值范圍；（2）討論0＜a＜1、a＝0和a＜0，分別求出對應不等式的解集．【題目詳解】（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化為（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化簡得﹣4m﹣3＜0，解得m，所以實數(shù)m的取值范圍是m；（2）0＜a＜1時，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x﹣1）（x）＞0，且1，解得x＜1或x，所以不等式的解集為{x|x＜1或x}；a＝0時，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集為{x|x＜1}；a＜0時，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x﹣1）（x）＜0，且1，解得x＜1，所以不等式的解集為{x|x＜1}．綜上知，0＜a＜1時，不等式的解集為{x|x＜1或x}；a＝0時，不等式的解集為{x|x＜1}；a＜0時，不等式的解集為{x|x＜1}．【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題和含有字母系數(shù)的不等式解法與應用問題，是基礎題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)直線與直線垂直，求得直線的斜率為，再利用直線的點斜式方程，即可求解；（Ⅱ）設所求直線方程為，由點到直線的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，設所求直線的斜率為，由直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以所求直線的方程為直線的方程為：，即.（Ⅱ）設所求直線方程為，即，直線上任取一點，由點到直線的距離公式，可得，解得或-4，所以所求直線方程為：或.【題目點撥】本題主要考查了直線方程的求解，兩直線的位置關(guān)系的應用，以及點到直線的距離公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3），證明見解析（4）【解題分析】

（1）右邊余切化正切后，利用二倍角的正切公式變形可證；（2）將（1）的結(jié)果變形為，然后將所證等式的右邊的正切化為余切即可得證；（3）根據(jù)（1）（2）的規(guī)律可得結(jié)果；（4）由（3）的結(jié)果可得.【題目詳解】（1）證明：因為，所以（2）因為，所以，所以（3）一般地：，證明：因為所以，以此類推得（4）.【題目點撥】本題考查了歸納推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）直接利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．（2）利用誘導公式化簡所給的式子，再把代入，求得結(jié)果．【題目詳解】解：（1）因為角的終邊經(jīng)過點由三角函數(shù)的定義可知．（2）由（1）知，．【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式，屬于基礎題．21、（1）；（2）【解題分析】

（1）把的坐標代入方程得到，結(jié)合解出后可得標準方程.求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求的坐標，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐標，利用它在橢圓上可得與的關(guān)系，化簡后可得與離心率的關(guān)系，由的范圍可得的范圍.【題目詳解】（1）因為垂直于軸，且點的坐標為，所以，，解得，，