2022北京昌平區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京昌平高三（上）期末數(shù)學(xué)2022.1本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡收回。第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).A{xx1}，B{2,1,0,1,2}=2=??A（1）已知集合，則（A）{?2,2}（B）{0,1}（C）{2}（D）{?112}i（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1?i（A）第一象限（C）第三象限（B）第二象限（D）第四象限（3）已知,bR，那么“（A）充分而不必要條件（C）充分必要條件ab”是“2a2的b（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件（4）已知拋物線C:y=4x上一點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2（A）2（B）3（C）4（D）51(x?)5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（5）在x（A）?10（B）?5（C）5（D）10（6）如圖，在正方體ABCD?ABCD中，過(guò)點(diǎn)且與直線BD垂直的所有面對(duì)1A111111角線的條數(shù)為11（A）0（B）1（C）2（D）3（7）已知函數(shù)f(x)=cos2x?sin2x0)的最小正周期為，則DCABf(x)f(x)f(x)f(x)（A）（C）在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增（B）（D）在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減22在(,)內(nèi)單調(diào)遞增在(,)內(nèi)單調(diào)遞減4444（8）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(cos,sin)到直線x+y?2=0的距離的最大值為（A）21?（B）2（）2CD1+2（）1/10（9）算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具．東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》中記載：“珠算，控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才．”用如圖所示的算盤(pán)表示數(shù)時(shí)，約定每檔中有兩粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用.如果一個(gè)數(shù)在算盤(pán)上能夠用個(gè)位、十位和百位這三檔中的2粒算珠表示，則這個(gè)數(shù)能夠被3整除的概率是25122329（A）（B）（C）（D）2x?m,x（10）若函數(shù)f(x)=恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是x2?4mx+m,x12(?,0)（B）(?,0)+)（A）（C）11[D[[2,+)（）33第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.x2y2(11)已知雙曲線?=1a0)的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(5,0)，則此雙曲線的離心率為_(kāi)______.a216a,,cbc=__________;(12)已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則ab)c=__________.cba（13）若函數(shù)f(x)x+?=x),對(duì)任意的xR都滿足的一個(gè)取值為_(kāi)______.f(?x)+f(x)=0，則常數(shù)（14）在參加綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，某同學(xué)想利用打印技術(shù)制作一個(gè)的容器：容器上部為圓錐形，底面直徑為;下部為圓柱形，底面直徑和高均為（如圖所示）.他希望當(dāng)如圖放置的容器內(nèi)液體高度為2cm時(shí)，把容器倒置后，液體恰好充滿整個(gè)圓錐形部分，則圓錐形部分的高度設(shè)計(jì)為_(kāi)____cm.（15）已知等比數(shù)列a}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S，前n項(xiàng)乘積為T(mén)，nnn10cmT=T，a+a=6，則2767①數(shù)列n}的通項(xiàng)公式n=；②滿足Snn的最大正整數(shù)的值為n．10cm2cm2/10三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.（16)（本小題13分）在△中，（I）求A；a2=b2+c+bc.2（II）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長(zhǎng)．條件①：C=3B；sinBsinC53條件②：a=7,=.注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(17)（本小題13分）P?CD,⊥如圖，四棱錐的底面是直角梯形，//,⊥，E的中點(diǎn)，平面是===2=2.與平面ADE交于點(diǎn)F，(Ⅰ)求證:F是的中點(diǎn);(Ⅱ)若M為棱上一點(diǎn),且直線PA與平4面所成的角的正弦值為，求的值.5PFMECDAB3/10(18)（本小題14分）隨著北京2022冬奧會(huì)的臨近，冰雪運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各地蓬勃開(kāi)展.某地為深入了解學(xué)生參與“自由式滑雪”、“單板滑雪”兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的情況，在該地隨機(jī)抽取了10所學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，得到數(shù)據(jù)如下：5852225248472545154225413040183620353017OA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10(I)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取1所學(xué)校，求這所學(xué)?！白杂墒交钡膮⑴c人數(shù)超過(guò)40人的概率；(II)規(guī)定“單板滑雪”的參與人數(shù)超過(guò)45人的學(xué)校作為“基地學(xué)?！?（i）現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所，記X為其中的“基地學(xué)校”的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(ii)為提高學(xué)生“單板滑雪”水平，某基地學(xué)?！贬槍?duì)“單板滑雪”的4個(gè)基本動(dòng)作進(jìn)行集訓(xùn)并考核.要求4個(gè)基本動(dòng)作中至少有3個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則考核為“優(yōu)秀”.已知某同學(xué)參訓(xùn)前，4個(gè)基本動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為0.2，參訓(xùn)后該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”.能否認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化？并說(shuō)明理由.(19)（本小題15分）ax已知函數(shù)f(x)=?(a?lnx(aR).(Ⅰ)若a=求曲線y=f(x)在點(diǎn),f處的切線方程；y=f(x)y=2?x的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(Ⅱ)曲線在直線(20)（本小題15分）x22y22已知橢圓C:+=ab0)過(guò)點(diǎn)B(0,2).ab(Ⅰ)求橢圓C的方程；E(4,0)的直線與橢圓CM,N,分別交直線x=4P,Q.求證：線段的中點(diǎn)(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)為定點(diǎn).交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)4/10(21)（本小題15分）已知等差數(shù)列A:a,a,，若存在有窮等比數(shù)列B:b,b,，其中1=1，公比為q，滿足1212k1k1k，其中k=（Ⅰ）數(shù)列n}的通項(xiàng)公式為nn5，寫(xiě)出數(shù)列a}的一個(gè)長(zhǎng)度為4的“等比伴隨數(shù)列”；n，則稱數(shù)列B為數(shù)列A的長(zhǎng)度為N的“等比伴隨數(shù)列”．=?（Ⅱ）等差數(shù)列a}的公差為d，若a}存在長(zhǎng)度為5的“等比伴隨數(shù)列”b}，其中b=n2n1，求d的最大值；nnn（Ⅲ）數(shù)列A的通項(xiàng)公式為nn，數(shù)列B為數(shù)列A的長(zhǎng)度為N的“等比伴隨數(shù)列”，求N的最大值．=5/102022北京昌平高三（上）期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題(共10小題，每小題440分)題號(hào)答案12345678910DABACDCBDC二、填空題（共5小題，每小題5分，共2553（11）（12）0;?213）（答案不唯一）2（14）6（15）2n?5(nN*)10三、解答題(共6小題，共85分)（16)（共13分）b2+c2?a212解：（I）由余弦定理A=及a2=b2+c+bc，得A=?2.22因?yàn)?A，所以A=.………………5分3sinBsinC5（II）選條件②：a=7,=.3bcsinB53bc5===由正弦定理及，得.sinBsinCsinC3在△中，a=7,設(shè)b=5x,c=3x(x，由a2=b2+c+bc，得272=(5x)+(3x)+5x3x22x=b=c=3.，解得12123設(shè)BC邊上高線的長(zhǎng)為h,由SABC=bcsinA=ah，解得h=.…13分（17）（共分）解：因?yàn)?/，平面，平面,所以//平面.=因?yàn)锳D平面所以//.所以//.ADE，平面平面,EPB,因?yàn)辄c(diǎn)所以點(diǎn)(Ⅱ)因?yàn)槭鞘堑闹悬c(diǎn)F.………………5的中點(diǎn)分PD⊥，AD,平面平面,所以PD⊥AD,PD⊥CD.6/10由⊥，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D?，z0)B(2,0)C(0,0)P2)E則,,,,,PF=(=(0,?2)=(=,,,，.F設(shè)=),01,=MEEM=EP+PM=(???2).所以設(shè)平面EFM的一個(gè)法向量為n(x,y,z),CDy=Ax?x=?x?y+?2)z=0.B即則nEM=令z=1，則y=1?2，所以n=(0,1?2.?2cosn,PA=所以.|n||PA|5?2)+12設(shè)直線PA與平面EFM所成的角為,24則sin|n,==,5?2)+125134解得：=或=.4PMPD134所以=或=.………………13分4(18)（共分）解：（I）設(shè)事件A為“從10所學(xué)校中選出的1“自由式滑雪”的參與人數(shù)超過(guò)40人”．425“自由式滑雪”的參與人數(shù)超過(guò)40人的學(xué)校共4所，所以P()==…4分．10（II）(i)X的所有可能取值為0，1，3，“單板滑雪”的參與人數(shù)在45人以上的學(xué)校共4所．C04CC361C14CC2612C24CC163C34CC061P(X=0)==,P(X===P(X=2)==,P(X===所以,.31063103101031030所以X的分布列為X012311231P610113165所以E(X)=+++0123=．………………11分62（ii）設(shè)事件B為“參訓(xùn)前，該同學(xué)考核為‘優(yōu)秀’”，P(B)=C430.230.8+C440.2=0.0272．4則參考答案1：可以認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．理由如下：7/10P(B)比較小，即該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”為小概率事件，一旦發(fā)生了，就有理由認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．參考答案2：無(wú)法確定該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．理由如下：P(B)事件B是隨機(jī)事件，比較小，即該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”為小概率事件，一般不容易發(fā)生，但還是可能發(fā)生的，因此，無(wú)法確定該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．(19)（共15分）………………14分1x12xa=?1時(shí)，f(x)=?+2lnx,f'(x)=+解：（I）.x2f=f=?y=f(x)y+1=x?f所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為3x?y?4=0即.………………5分a（II）只需求滿足x?(a?lnx2?x恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.xag(x)=?(a?lnx+x?x0.其中設(shè)xa(a?x?(a?x?a(x+x?a)2gx)=??+1==.x2xx2x2agx)g(x)在+)①若因?yàn)棰谌羯蠁握{(diào)遞增.a0不滿足條件.g=a?1所以agx)x.令==xa)gx)g(x)在+)上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，x(a,+)gx)g(x)在+)上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，g(x)=g(a)=1?(a?1)lna+a?2=(a??lna).所以g(x)=(a??lna)0，解得1ae.令a………………15分綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為（20）（共分）b=22==a4解：(Ⅰ)由題設(shè)，得91=1.解得2.+ba2bx2y2所以橢圓C的方程為：+=1.………………5分124y=k(x?4)?12=0.(Ⅱ)依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為.22xy+=，2+x2?24k2x+48k2由124得ky=k(x?4)8/102)得，即?1k12由設(shè)=?kk1.M(x,yN(x,y),211224k248kk22?12+1則12+=,12=.k2+11?1y?1=(x?1直線MA的方程為，1?3y+x?4yP=11(1.x=4令，得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)1?3y+x?4同理可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ=22(x2.x2?3y+x?4y+x?4y+y=11+22所以PQ??1323(x?k(x?4)+x?4]+(x?k(x?4)+x?4]==211122(x?x?12(k+x?x?+(k+x?x?2112(x?x?12(k+x?x?4)+(x?x?4)]==2112(x?x?12(k+xx?7(x+x)+24]1212.(x?x?12kk22?1224k2因?yàn)?1x27(1x)242?++=?7+242+k+1214k2?1?7kk2+k+12=24=0,2+1y+y=0所以.PQ(4,是定點(diǎn).………………15分所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（21）（共分）（Ⅰ）數(shù)列n}的一個(gè)長(zhǎng)度為4的“等比伴隨數(shù)列”為4,16,64（答案不唯一）.………………4分babababab（Ⅱ）由題意，，1122334451a12a+d10d3.即，則41+2d81+d又?jǐn)?shù)列an}:4,7,10符合題意，所以的最大值為.………………9分d3（Ⅲ）設(shè)長(zhǎng)度為N的“等比伴隨數(shù)列”的公比為q，9/10則對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)kN時(shí)，都有k1k1k成立，k?2?k1q對(duì)2kN恒成立.即qk1當(dāng)k時(shí)，有q1；當(dāng)k時(shí)，q2q2，即2q2;ln(k?k?1ln(k?k?2當(dāng)k4，有q恒成立，ln(k?k?1ln(k?k?2即當(dāng)k4時(shí)，）().（x?x?11?ln(x?令f(x)=(x4),當(dāng)x4時(shí)，fx)=0，ln3