廣西2020-2021學(xué)年高二年級上冊段考試卷數(shù)學(xué)理科試題

2020-2021學(xué)年上學(xué)期梧州高級中學(xué)段考試題2020.11

高二數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.第1-12小

題答案用25填涂在答題卷選擇題方框內(nèi)，第13-22小題用0.5mm黑色簽字筆寫在

答題卷上各題的答題區(qū)域內(nèi).考試時(shí)間120分鐘.在試題卷上作答無效.

第I卷（選擇題）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

22

1.已知橢圓乙+2T=1（w>o）的左焦點(diǎn)為耳（T,O）,則〃?=（）

25m~

A.9B.4C.3D.2

【答案】c

【解析】

試題分析：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知焦點(diǎn)在x軸，所以/=25，『=疝，c2=16.又因?yàn)?/p>

=b'=a~—c'=9,解得叨=3，故選C.

考點(diǎn)：橢圓的基本性質(zhì)

2,命題"三毛€（0,+8）,皿*0=/-1”的否定是（）

A.3x0e（0,+oo）,Inx0*x0-1B.3x0g（0,+oo）,lnx0=x0-l

C.V%e（0,+oo）,InxHx—lD.Vxg（0,+oo）,lnx=x-l

【答案】c

【解析】

試題分析：特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為:

Vxe（0,+oo）,lnx^x-1

考點(diǎn)：全稱命題與特稱命題

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（z-2z）（2一。=5,則z=（)

A.2+3iB.2—3iC.3+2iD.3-2z

【答案】A

【解析】

試題分析：(z—2i)(2—i)=5，z—2i=/-=2+〃.z=2+3i

2-z

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

4.已知"為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

1一:+:—!+—+^~;=2（^-^+^^+—+4]時(shí)，若已假設(shè)〃=氏（無22為偶數(shù)）時(shí)命

234〃+1[〃+2〃+4In）

題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證〃=（）時(shí)等式成立（）

A.n=k+\B.n=k+2C.n=2k+2D.

n-2（k+2）

【答案】B

【解析】

【分析】

由數(shù)學(xué)歸納法的概念直接求解

【詳解】若已假設(shè)片&（Q2,A為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)椤ㄖ荒苋∨紨?shù)，所以還需要證明〃=A+2

成立.、

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念問題，對學(xué)生的理解概念并靈活應(yīng)用的能力有一定

的要求，屬于基礎(chǔ)題目.

x+y>l

5.若變量％，y滿足約束條件｛>—,則z=2x-y的最小值為（）

x<l

A-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意得，畫出約束條件所表示的可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最優(yōu)

x+y=1

解為點(diǎn)A,聯(lián)立g“解得A”,所以z=2一的最小值為“7

考點(diǎn)：線性規(guī)劃.

6.直線丁=依+1與橢圓工+乙=1總有公共點(diǎn)，則用的取值范圍是（）

5m

A.m>\B.或0<〃？<1

C.0<HI<5或m。1D.m2/且/篦。5

【答案】D

【解析】

【分析】

求出直線恒過的定點(diǎn)，根據(jù)題意，該定點(diǎn)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,

代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.

【詳解】由于直線丫=履+1恒過定點(diǎn)（0,1）,且直線y=H+l與橢圓工+匯=1總有公共點(diǎn),

5m

所以點(diǎn)（0,1）必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則0<，41且〃/5,解得論1且〃印5.

m

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于直線恒過的點(diǎn)在橢圓上或桶圓的內(nèi)部，

屬于中檔題.

7.已知定點(diǎn)A（2,0）,它與拋物線丁二工上的動點(diǎn)p連線的中點(diǎn)/的軌跡方程為（）

A./=2（x-l）B./=4（x-l）C.y2=x-lD.

V=*T）

【答案】D

【解析】

【分析】

x+2

x---0----

=2x-2,

2xn

設(shè)。(鵬,％),M(x,y),則《，即《c，又4=尤0,代入即可求得軌跡

l〉'o=2y

-2

方程.

【詳解】設(shè)p(%”外),M(x,y),己知定點(diǎn)4(2,0),

X。+2

x=

2=2x-2

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式知<則《

%Jo=2y

)=

2

又動點(diǎn)P在拋物線上，所以巾=不，即(2?=2%一2,即y2=；(x—i).

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求軌跡方程，求軌跡方程一般是問誰設(shè)誰的坐標(biāo)為(x,y),然后

根據(jù)題目已知條件建立關(guān)于(乂)，)的等式即可，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與劃歸能力及運(yùn)算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

8.若/(x)=V—ar2+4在(o,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.a>3B.a=3C.a<3D.0<a<3

【答案】A

【解析】

【分析】

由(0,2)單調(diào)遞減，所以xe(O,2)時(shí)/'(x)<0恒成立列出不等式組求解可得答案.

【詳解】f'(x)^3x2-2ax,由/(x)在(0,2)單調(diào)遞減，

J./',⑼40,/0<0.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，還考查了恒成立問題解決方法，考查轉(zhuǎn)

化能力，屬于中檔題.

9.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,〃T)=2,對任意xeR,/'(x)>2,則〃x)>2x+4的

解集為()

A.(—1，1)B.(-l,+oo)C.(—oo,—1)D.(—oo,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-2x-4,利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)y=g(x)在R上的單調(diào)性，將不等式

/(%)>2x+4轉(zhuǎn)化為g(x)>g(-1),利用函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】依題意可設(shè)g(x)=/(x)—2x—4,所以g，(x)=_T(x)-2>0.

所以函數(shù)y=g(x)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)間(-1)=/(-1)+2-4=0.

所以要使g(x)=/(x)—2%—4>0,即g(x)>g(-l),只需要》>一1,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造

新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

10.

己知A,B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，AABM為等腰三角形，且頂角為120。，則E

的離心率為()

A.垂)B.2C.百D.72

【答案】D

【解析】

22

設(shè)雙曲線方程為鼻?—點(diǎn)=1(。>0力>0),如圖所示，卜忸M，乙18”=120°，過點(diǎn)

M作Wx軸，垂足為N,在R1WMN中，忸N|=a,=故點(diǎn)M的坐標(biāo)為

MQa,島),代入雙曲線方程得/=/=。2一。2,即02=2。2,所以e=J5,故選D.

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì).

11.已知直線/：y=Mx-2）（左＞0）與拋物線C：y2=8x交于A5兩點(diǎn)，/為拋物線C的

焦點(diǎn),若|AF|=2網(wǎng),則好勺值是（）

1272r-V2

A.-B.-25-C.2V2D.J

334

【答案】C

【解析】

分析】

設(shè)4（石,%）,3（9,%），則石+2=2（赴+2）,聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去＞利用韋

達(dá)定理可求A:的值.

【詳解】由拋物線。：y=8》,知產(chǎn)（2,0）,設(shè)4&,?。?5（孫％），

因?yàn)橹本€/過（2,0）且其斜率大于零，故A8在x軸兩側(cè).

又|AF|=2|網(wǎng),知石＞z，且不+2=2（電+2）,即％=2彳2+2.

y=攵（尤_2）

由可得爐f一（8+4爐）％+442=0,

/=8x

x1=4

X,+=-+4

由韋達(dá)定理得?2k2代入王=2x2+2,可得＜戈2=1

x}x2=4k-=8

又女＞0,故攵=2及

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，此類問題一般需要聯(lián)立直線方程和

拋物線的方程，消元后借助韋達(dá)定理構(gòu)建未知變量的方程，注意所消變量的合理選擇，考查

學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于一般題.

12.已知函數(shù)八幻的定義域?yàn)椋?1,5］,部分對應(yīng)值如下表:

X-1045

f(x)1221

/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示,

則下列關(guān)于函數(shù)“X)的命題：

①函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)；

②函數(shù)/(幻在［0,2］是減函數(shù)；

③如果當(dāng)1刁時(shí)，/(x)的最大值是2,那么f的最大值為4；

④當(dāng)l<a<2時(shí)，函數(shù)y=/(x)-a有4個(gè)零點(diǎn).

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】D

【解析】

【詳解】①顯然錯(cuò)誤；③容易造成錯(cuò)覺，tmax=5;④錯(cuò)誤，f(2)的不確定影響了正確性；②正

確，可由F(x)<0得到.

第n卷(非選擇題)

二、填空題

4

13.函數(shù)y=2—x—1(x>0)的最大值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】

先把函數(shù)整理成y=2-+利用基本不等式求解最小值即可.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，y=2-（x+3）W2—2/14=—2.當(dāng)且僅當(dāng)x=3,x=2時(shí)取等號.

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值,

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這

個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

14.點(diǎn)P（8,l）平分雙曲線4y2=4的一條弦，則這條弦所在直線的方程一般式為

【答案】2x-y-15=0

【解析】

【分析】

設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A（xi,yi）,5（x2,”），由A8的中點(diǎn)是尸（8,1）,知M+X2=16,yi+”

=2,利用點(diǎn)差法能求出這條弦所在的直線方程.

【詳解】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為4（%,X）,/看,%），則x：-4y；=4,員=4,

兩式相減得（石+々）（芭-%2）-4（X+%）（y-%）=。,

因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為P（8,l）,所以％+々=16,%+必=2,所以

y一%=%+,二？

玉一々4（y+%）'

所以直線A8的方程為y-l=2（x-8）代入x2-4y2=4滿足△>0,即直線方程為

2x—y—15=0.

故答案為：2x-y-15=0.

【點(diǎn)睛】本題考查弦的中點(diǎn)問題及直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)

差法的合理運(yùn)用.

Ji57r

15.直線x=一，x=—與曲線y=sinx,y=cosx圍成平面圖形的面積為________.

44

【答案】2c

【解析】

57t

457r

畫出圖像如下圖所示，由圖可知，面積為J（sinx-cosx）〃x=—（sinx+cosx）|：=2，5.

n4

4

；（其中。〉0）上存在最大值，則實(shí)數(shù)。的取

27

值范圍是.

【答案】-<a<\

2

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出極值點(diǎn)后可得關(guān)于。的不等式組，從而可得所求的范圍.

【詳解】因?yàn)?（力="詈，x>0,所以/'（0=一營.

當(dāng)0cx<1時(shí)-，/'（x）>0；當(dāng)x>l時(shí)，r（x）<0.

所以/（X）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,包）上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)“X）在x=l處取得極大值.

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在區(qū)間+（其中a〉0）上存在最大值,

a<\

1,,解得?<a<L

所以《

a+—>12

2

故答案為：一＜。＜1.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有最值，則最值點(diǎn)（極值點(diǎn)）必在此開區(qū)間內(nèi)，這是

解決此題的關(guān)關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟.）

17.解下列不等式：

(2)9'-4-3v-12<0.

【答案】⑴（-oo,3）U[4,+oo）；（2）（-＜?,log36）

【解析】

【分析】

（1）化簡分式不等式，等價(jià)成一元二次不等式進(jìn)行求解即可;

（2）先換元將含指數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化成一元二次不等式進(jìn)行求解，再解指數(shù)不等式即得結(jié)果.

黑汩即黑—x-4(x-4)(x+3)>0

【詳解】解：（1）N0,等價(jià)于,故xN4

x+3x+3H0

或x<3,.?.不等式的解集為(F,3)U[4,+O>)；

(2)(3')-4?3"-12<0令f=3"，t>0—4f—12<0>解得0<t<6,

即0<3*<6=3陶6,故x<log36,.?.不等式的解集為(T?,log36).

18.A8C的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c.已知2cosc(acosB+6cosA)=c.

(1)求角C；(2)若c=J7，S.?=—>求AABC的周長.

A/lorC2

【答案】(1)C=1(2)5+V7

【解析】

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)正弦定理把2cosc(acos8+bcos4)=c化成

2coG(或in度:osBsi4c<,利用和角公式可得cosC=L,從而求得角C；(2)

2

根據(jù)三角形的面積和角C的值求得ab=6,由余弦定理求得邊a得到MBC的周長.

試題解析：(1)由已知可得2cosc(sinAcosiS+sin3cosA)=sinC

,,171

2cosCsin(A+B)=sinC=^>cosC=—=>C=—

23

(2)=gabsinC=>==ab=6

又/+-2abeosC=c2

:.a2+Z?2=13，.??(〃+人y=25=>〃+/?=5

???AA3C的周長為5+J7

考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.

19.已知函數(shù)/(幻="(公+加一/一4工，曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處切線方程為

y=4x+4.

(1)求。力的值；

(2)討論/(%)的單調(diào)性，并求/(%)的極大值.

【答案】(1)a=b=A-,(2)見解析.

【解析】

【詳解】試題分析：(1)求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=/(x)在點(diǎn)(o,/(o))處

切線方程為y=4x+4,建立方程，即可求得。，〃的值；(2)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得/(x)

的單調(diào)性，從而可求/(x)的極大值.

試題解析：(1)/'(x)=e"(czx+a+b)—2x—4.

由已知得/(O)=4,/'(O)=4.

故。=4,a+b=8.

從而。=4,h=4.

(2)由(1)知，/(x)=4e"(x+1)—f—4x,

r(x)=4e'(x+2)_2x_4=4(x+2)(e，_；).

令/，(x)=。得,x=-ln2或x=-2.

從而當(dāng)xe(-oo,-2)(-】n2,+oo)時(shí)，/'(x)>0；

當(dāng)xw(—2,—ln2"^fr(x)<0.

故/(x)在(-8,-2),(Tn2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,-ln2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)/(%)取得極大值，極大值為"—2)=40—e-2).

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的極值.

【方法點(diǎn)晴】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.求極值的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)/'(》)：(3)解

方程/''0)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)/'(力在7''(%)=0的根％左右兩

側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么/(x)在/處取極大值，如果左負(fù)右正，那么/(x)在/處

取極小值.

20.已知拋物線丁=4%截直線丁=2%+根所得弦長|4?|=36.

(1)求，"的值；

(2)設(shè)P是x軸上的點(diǎn)，且八48尸的面積為9,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)-4；(2)(5,0)或(-1,0).

【解析】

【分析】

(1)設(shè)4(玉,y),BQ2,%).由拋物線方程和直線方程聯(lián)立，根據(jù)|A8|=3近，利用弦長公

式結(jié)合韋達(dá)定理由|AB|=川+合小(,+9)2_4中2=3后求解.

(2)由(1)知直線AB的方程為y=2x—4,設(shè)P(a,O),求得點(diǎn)P到直線AB的距離

|2a-0-4|2|n-2|

區(qū)+Ji?=6，再ZXABP的面積為9,由S=求解.

【詳解】⑴設(shè)4(口乂),3(孫％)?

[y=2x+my,-0

由《2，得4工2+4(加-1)工+加~=0,

y=4x

1

A=16(m-1)29-16m~9=16(1-2m)>0,m<—,

由根與系數(shù)的關(guān)系得尤?=1一九X]工2=￡-.

???I叫=J1+&2卜西+々)2_44%2

=>/1+22^(1-m)2-4X?=J5(l-2加)，

V|ABh375,；.J5(l-2加)=玷,

解得機(jī)=-4.

(2)由(1)知直線A3的方程為y=2x—4.

設(shè)尸(。,0)，點(diǎn)P到直線AB的距離為d,

|2a-0-4|2|?-2|

則。=

V22+(-D2

I2V

又S?=g|A8H/，則4=鬲

.2\a-2\2x9

**石-3亞,

?，?|〃-21=3,

，a=5或。=—1.

故點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,0)或(—1,0).

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，三角形面積問題，還考查了運(yùn)

算求解的能力，屬于中檔題.

21.已知函數(shù)/(x)=xcosx-sinx,xe0,g.

(1)求證：/(x)<0；

(2)若對xe[O,g]恒成立，求”的最大值與。的最小值.

XL2_

【答案】(1)證明見解析；(2)。的最大值為2,。的最小值為1.

7T

【解析】

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明即可；

(2)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，然后求解”的最大值與。的

最小值.

【詳解】(1)證明：由/'(x)=xcosx-sinx得/'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

因?yàn)樵趨^(qū)間(0，￡|上ra)=-xsinx<0,所以在區(qū)間0譚上單調(diào)遞減.從而

/(x)</(0)=0.

sinxsinx

(2)當(dāng)x>0時(shí)，“---->。”等價(jià)于'飛皿1一儂>0''；"----<人”等價(jià)于“sinx—法vO”.

XX

令g(x)=sinx-cx,則g'(x)=cosx—c,

當(dāng)cW0時(shí)，8(X)>0對任意》€(wěn)。仁恒成立.

當(dāng)cZl時(shí)，因?yàn)閷θ我鈞e。弓，g'(x)=cosx-c<0,所以g(x)在區(qū)間0,|上單調(diào)遞

減，從而對g(x)Wg(())=O對任意xe0仁恒成立.

當(dāng)0<c<l時(shí)，存在唯一的xe0尚使得g'GJneos/-c=().

g(x)與g'(x)在區(qū)間"上的情況如下：

兀

X0(。,小)X。

2

g'(x)1-c+0—-C

單調(diào)遞單調(diào)遞

171

g(x)0極大值1——C

增減2

因?yàn)間(x)在區(qū)間［0,%］上是增函數(shù)，所以g(%)2g(0)=0,進(jìn)一步，“g(x)N0對任意

恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)g曰=1-［cNO,即0＜cM.

.2」2兀

2「冗-

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)cW—時(shí)，g(x)?O對任意xe0,-恒成立；

71L2_

當(dāng)且僅當(dāng)cNl時(shí)，8(》)《0對任意工€0仁恒成立.

所以，若。＜詠＜。對任意xe恒成立，則。的最大值為冬，人的最小值為1

XL2」兀

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合題，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成

立求參數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力，計(jì)算能力.

22.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率等于它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線

2

x2=8y的準(zhǔn)線上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵點(diǎn)P(2,百)，QQ-百)在橢圓上，A8是橢圓上位于直線PQ