高考數學習題及答案 (三)

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數學試卷

（滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1、圓：尤之+y_4x+6y=0和圓：/+丁-6x=0交于A、B兩點，則AB的垂直平分

線的方程是（）

A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0

2、圓：/+y2—2x-2y+l=0上的點到直線x-y=2的距離最大值是()

歷

A、2B、1+V2C、1+—D、I+2V2

2

3、若MN是兩個集合，則下列關系中成立的是（）

A.0gMB.(MCINKMC.(MuN)三ND.NS(MUN)

4、若a>b,CGR,則下列命題中成立的是（）

A.ac>heB.—>1C.ac2>he2D.—<—

bab

5、直線x+2y+3=0的斜率和在y軸上的截距分別是（）

A._工和一3B.，和一3C.」和3D.」和_。

222222

6、不等式卜-1|<2的解集是（）

A.x<3B.x>-lC.x<-l或x>3D.-l<x<3

7、下列等式中，成立的是()

A.sin(----x)-cost--x)B.sin(2^4-x)=-sinx

22

C.sin(x+2%)=sinxD?cos(r4-x)=cosx

8、互相平行的三條直線，可以確定的平面?zhèn)€數是（）

A.3或1B.3C.2D.1

9.已知夕表示平面，/，九〃表示直線，下列結論正確的是（）

A.若〃，根，〃，則/〃帆B.若/，〃，根貝〃，m

C若/〃。，m〃a,則/〃加口若/~L私相〃私則/"L

10.已知橢圓了十不二的焦點分別是片，居，點M在橢圓上，如果串1書M=°,那么

點M到％軸的距離是（）

3」

A.V2B.GC.D.1

11.等邊AABC的邊長為a,過AABC的中心0作€^，平面48（：,且0P=*a,則

O

點P到4ABC的邊的距離為（）

書\[sm

A.aB.C.D.

乙JJ

12.已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，給出下列6個函數：

①g（x）=sm:（J‘I"叉）；②g（x）=sin（|Ji+x）；③g（x）=

1-sinxz

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

_____2

④g(x)=lgsinx⑤g(x)—lg(^/x2+l+x)；⑥g(x)=ex01T。

其中可以使函數F（x）=f（x）?g（x）是偶函數的函數是（）

A.①⑥B.①⑤C.⑤⑥D.③⑤

二、填空題（共4小題，每小題5分；共計20分）

1.已知復數（〃+2i）（l+i）的實部為0,其中i為虛數單位，則實數a的值是——.

2.拋物線y2=2x上到直線x—y+3=0距離最短的點的坐標為.

3.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是行，艮R,這個長方體對角線

的長是.

4.設定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+l)+f(x)=l,且當xG[1,2]時，f(x)=2—x,

則f(8.5)=.

三、大題：(滿分70分)

1.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.

(1)求cosA的值；

(2)若b=3,點M在線段BC上，AB+AC=2AM,|AM|=3V2,求△ABC的面積.

2.在如圖所示的圓臺中，AB,CD分別是下底面圓0,上底面圓。'的直徑，滿足

K

AB1CD,又DE為圓臺的一條母線，且與底面ABE成角?

(I)若面BCD與面ABE的交線為1,證明：1〃面CDE；

(II)若AB=2CD,求平面BCD的與平面ABE所成銳二面角的余弦值.

3.如圖為2017屆淮北師范大學數學與應用數學專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績

(百分制)分布直方圖，已知80?90分數段的學員數為21人.

(I)求該專業(yè)畢業(yè)總人數N和90?95分數段內的人數n；

(II)現欲將90?95分數段內的n名畢業(yè)生隨機的分配往A、B、C三所學校，

若每所學校至少分配兩名畢業(yè)生，且甲乙兩人必須進同一所學校，共有多少種不

同的分配方法？

(III)若90?95分數段內的這n名畢業(yè)生中恰有兩女生，設隨機變量&表示n

名畢業(yè)生中分配往乙學校的兩名學生中女生的人數，求&的分布列和數學期望.

組距

0.05

0.04

0.03

0.01

o65707580859095100分數

4.直線/2*+丫-4=(),求4關于直線/：3x+4y-1=0對稱的直線4的方程.

5.不論m取什么實數，直線(2m-l)x+(m+3)y-(加-11)=0都經過一個定點，并求出

這個定點.

6.一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室.為節(jié)約經費,

他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框旋置桌上，斜靠展出.已知鏡框對桌面的

傾角為￡(90”。＜180。)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a〃?、bm

3”),學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳?

參考答案：

一、選擇題：

1-5題答案:CBBCD

6To題答案：DCADB

11T2題答案:BC

9.已知〃表示平面，/，也〃表示直線，下列結論正確的是()

A.若/則/〃加B.若/〃，根〃，則/

C若/〃。，m〃a,則/〃加0若/~L%加〃巴貝〃~Lm

D【解析】A,B,C選項，直線1與m相交、平行、異面都有可能；D選項，?.?，〃〃￡，,

.?.存在一個平面夕，使得a〃△且加€尸，口叫

二+f=1

10.已知橢圓26的焦點分別是小居，點M在橢圓上,如果6M心"=0,那么

點M至卜軸的距離是()

3&

A.0B.6c.D.1

《+《=]____

【答案】B【解析】橢圓26一，即。=而b3。=必萬=2,設點用的坐

標為(%%),又4"書”=°,.??點M又在以原點為圓心,半徑為2的圓上，圓方程

i+i=1

為/+丁=4,即年+y：=4①，又26②,聯立①②得％=±J3,點M到X軸的距

離是5

二、填空題：

1、2

2、(2,1)

3、R

1

4、2

三、大題：

1.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.

(1)求cosA的值；

(2)若b=3,點M在線段BC上，AB+AC=2AiS,|AM|=3A/2,求AABC的面積.

【解答】(本題滿分為12分)

解：(1)因為acosB=(3c-b)cosA,由正弦定理得：sinAcosB=(3sinC-sinB)

cosA,

即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA,可得：sinC=3sinCcosA,

在AABC中，sinCHO,

所以cosA4.…（5分）

（2）VAB+AC=2AM,兩邊平方得：標'+位?+2靠?正

191

由b=3,|而=3-COSA=3,可得:c+9+2XcX3XT4X18,

解得：c=7或c=-9（舍），

所以ZWC的面積《53'茅=7"…

2.在如圖所示的圓臺中，AB,CD分別是下底面圓0,上底面圓0'的直徑，滿足

兀

AB±CD,又DE為圓臺的一條母線，且與底面ABE成角?\

（I）若面BCD與面ABE的交線為1,證明：1〃面CDE；

（II）若AB=2CD,求平面BCD的與平面ABE所成銳二面角的余弦值.

【解答】（I）證明：如圖，在圓臺00,中，?「CDu圓（V,

」.CD〃平面ABE,

?面BCDC1面ABE=LAl//CD,

?.?CDu平面CDE,平面CDE,

，1〃面CDE；

(II)解:連接00,、BO'、0E,則CD〃OE,

由AB_LCD,得AB_LOE,

又O'B在底面的射影為OB,

由三垂線定理知:O'B±OE,.,.0/B±CD,

NO'B0就是求面BCD與底面ABE所成二面角的平面角.

K

設AB=4,由母線與底面成角可，

可得0E=20'D=2,DE=2,0B=2,00'=V3,

2V7

AcosZ0/B0=1T.

3.如圖為2017屆淮北師范大學數學與應用數學專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績

(百分制)分布直方圖，已知80?90分數段的學員數為21人.

(I)求該專業(yè)畢業(yè)總人數N和9。?95分數段內的人數n；

(II)現欲將90?95分數段內的n名畢業(yè)生隨機的分配往A、B、C三所學校，

若每所學校至少分配兩名畢業(yè)生，且甲乙兩人必須進同一所學校，共有多少種不

同的分配方法？

(III)若90?95分數段內的這n名畢業(yè)生中恰有兩女生，設隨機變量之表示n

名畢業(yè)生中分配往乙學校的兩名學生中女生的人數，求€的分布列和數學期望.

組距

0.05

0.04

0.03

0.01

O65707580859095100分數

【解答】解：(I)80?90分數段的畢業(yè)生的頻率為:

pl=(0.04+0.03)X5=0.35,

此分數段的學員總數為21人，

21

畢業(yè)生的總人數N為N=073^=60,

90?95分數段內的人數頻率為：

p2=l-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)X5=0.1,

...90?95分數段內的人數n=60X0.1=6.

(II)將90?95分數段內的6名畢業(yè)生隨機的分配往A、B、C三所學校,

每所學校至少分配兩名畢業(yè)生，且甲乙兩人必須進同一所學校，

9C22c23

2-■A3

共有：A2=18不同的分配方法.

(III)&所有可能取值為0,1,2,

O2

CC

246

2

pC

-6-15

11

CC

24

8

2-

C

p6-

=-15

2O

CC

241

PO=

S=2)=15

所以&的分布列為:

012

6812

所以隨機變量W數學期望為E(w)=0XT?+1Xl5+2><T5=y.

4.直線4：2x+y-4=(),求4關于直線/：3x+4y-l=0對稱的直線的方程.

分析：本題可有多種不同的解法，給出多種解法的途徑是：一類利用直線方

程的不同形式求解；另一類采用消元思想進行求解.

解法一：由-4=(：得乙與/的交點為玖3,_2),顯見P也在U上.

設4的斜率為左，又4的斜率為-2,/的斜率為-則

33

——=一:，解得卜=-；.

1+(-)(-2)1+(-/11

故力的直線方程為y+2=-5(x-3).即2x+lly+16=0.

解法二：在直線4上取一點A(2,0),又設點A關于直線/的對稱點為3(%,打)，

故由兩點式可求得直線4的方程為2x+lly+16=0.

解法三：設直線4上一動點”(x,y)關于直線/的對稱點為"(x,y)，則

y一y_4

一.

-X

X+X

解得x=7/24y+6一24%—7>+8

顯然"⑺在,上即2.話型+受叱.3,也即"…口.這

便是所求的直線4的方程.

解法四：設直線4上一動點M(x,y)，則M關于/的對稱點“在直線4上，可設

”的坐標為&0,4-2%)，則

|3x+4y-l|_|3x0+4(4-2x0)-l|

5一5，

'y-(4-2x0)=4

x-x03

-(3x+4y-l)_3x0+4(4-2x0)-l

即55

y-(4-2x0)=4

X-XQ3

消去X。，得2x+lly+16=0,即此所求的直線4的方程.

說明：在解法一中，應注意正確運用“到角公式”，明確由哪條直線到哪條

直線的角.在具體解題時，最好能準確畫出圖形，直觀地得出關系式.在解法四

中，脫去絕對值符號時，運用了平面區(qū)域的知識.否則，若從表面上可得到兩種

結果，這顯然很難準確地得出直線A的方程.

本題的四種不同的解法，體現了求直線方程的不同的思想方法，具有一定的

綜合性.除此之外，從本題的不同解法中可以看出，只有對坐標法有了充分的理

解與認識，并具有較強的數形結合意識，才有可能駕馭本題，從而在解法選擇的

空間上，真正做到游刃有余，左右逢源.

5.不論，"取什么實數，直線(2加-l)x+(加+3)y-(m-11)=0都經過一個定點，并求出

這個定點.

分析：題目所給的直線方程的系數含有字母〃,，給加任何一個實數值，就可

以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以，〃為參數的直線系方程.要證明這

個直線系的直線都過一定點，就是證明它是一個共點的直線系，我們可以給出加

的兩個特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點即是直線系中任何直線都

過的定點.

另一思路是由于方程對任意的，"都成立，那么就以,"為未知數，整理為關于〃？

的一元一次方程，再由一元一次方程有無數個解的條件求得定點的坐標.

解法一:對于方程(2加-1)%+(加+3)逐一(加-11)=0，令m=0,得x-3y-l1=0;令6=1,

得x+4y+10=0.

解方程組[、一:一：=；得兩直線的交點為(2,-3).

將點(2,-3)代入已知直線方程左邊，得：

(2m-1)x2+(/n+3)x(-3)-(m-11)=4m—2—3m—9-772+11=0.

這表明不論機為什么實數，所給直線均經過定點(2,-3).

解法二：將已知方程以機為未知數，整理為：

(2x+y-l)m+(-x+3y+11)=0?

由于機取值的任意性，有

f2x+j-l-0解得％=2,y=-3.

[-x+3y+ll=0

所以所給的直線不論，"取什么實數，都經過一個定點(2,-3).

說明：(1)曲線過定點，即與參數無關，則參數的同次幕的系數為0,從而求

出定點.

(2)分別令參數為兩個特殊值，得方程組求出點的坐標，代入原方程滿足，

則此點為定點.

6.一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室.為節(jié)約經費，

他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框旋置桌上，斜靠展出.已知鏡框對桌面的

傾角為a(90"a<180。)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a〃?、bm

(a>b),學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳?

分析：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，A3為畫的寬度，。為下

邊緣上的一點，則可將問題轉化為:

已知ZrO4=a,OA^a,OB=b,在x軸的正方向向上求一點C,