高中數(shù)學考試壓軸題講義-探究代數(shù)表達式函數(shù)方程來發(fā)力（含答案）

專題13探究代數(shù)表達式，函數(shù)方程來發(fā)力【題型綜述】探究代數(shù)表達式包括以下若干類型：（1）參數(shù)值的探索，根據(jù)題中的條件將參數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線與圓錐曲線的交點的坐標的方程或函數(shù)問題，若利用設(shè)而不求思想與韋達定理即可求出參數(shù)的值即存在，否則不存在(2)等式恒成立問題，根據(jù)題中條件和有關(guān)向量、距離公式、平面幾何知識等方法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線與圓錐曲線的交點的坐標的方程或函數(shù)問題，若利用設(shè)而不求思想與韋達定理即可求出參數(shù)的值即存在?！镜淅敢款愋鸵粎?shù)值的探究例1【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線與橢圓E有且只有一個公共點T.（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；（Ⅱ）設(shè)O是坐標原點，直線l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【解析】類型二恒等式成立探究例2.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】類型三面積最小值存在性例3【2015高考湖北，文22】一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復運動時，帶動N繞轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．【解析】類型四面積關(guān)系探究例4.（2011湖南理21）如圖7,橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2),軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)設(shè)與軸的交點為,過坐標原點的直線與相交于點,直線分別與相交于點.(ⅰ)求證:;(ⅱ)記的面積分別為.問:是否存在直線,使得?請說明理由.【擴展鏈接】為橢圓的其中一個焦點，若是橢圓上一點，則.為雙曲線的右焦點，若是雙曲線右支上一點，則，若是雙曲線左支上一點，則，.為橢圓的左焦點，是過左焦點傾斜角為的弦，點在軸上方，則,,,.為拋物線的焦點，是過左焦點傾斜角為的弦，點在軸上方，則，,,.【新題展示】1．【2019四川二診】已知，橢圓C過點，兩個焦點為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為，直線l與橢圓C相切于點A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．【思路引導】可設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計算可得，進而得到b，即可得到所求橢圓方程；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程，運用韋達定理可得E的坐標，由題意可將k換為，可得F的坐標，由直線的斜率公式計算可得直線EF的斜率，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線l的斜率，進而得到所求斜率之和．2．【2019河南新鄉(xiāng)二?！吭O(shè)橢圓的右頂點為，上頂點為．已知橢圓的焦距為，直線的斜率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線（）與橢圓交于，兩點，且點在第二象限．與延長線交于點，若的面積是面積的倍，求的值．【思路引導】（1）利用橢圓的焦距和的斜率列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓標準方程．（2）設(shè)出兩點的坐標，利用“的面積是面積的倍”得到，轉(zhuǎn)化為向量，并用坐標表示出來，求得兩點橫坐標的關(guān)系式．聯(lián)立直線的方程和直線的方程，求得點的橫坐標；聯(lián)立橢圓的方程和直線的方程，求得點的橫坐標，根據(jù)上述求得的兩點橫坐標的關(guān)系式列方程，解方程求得的可能取值，驗證點橫坐標為負數(shù)后得到的值．3．【2019陜西漢中3月聯(lián)考】順次連接橢圓：的四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2），是橢圓上的兩個不同點，若直線，的斜率之積為（為坐標原點），線段上有一點滿足，連接并延長交橢圓于點，求的值．【思路引導】（1）由菱形的面積公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求橢圓方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐標表示和點滿足橢圓方程，結(jié)合直線的斜率公式，化簡變形，即可得到所求值．4．【2019東北三省三校一模】已知橢圓：的左、右兩個頂點分別為，點為橢圓上異于的一個動點，設(shè)直線的斜率分別為，若動點與的連線斜率分別為，且，記動點的軌跡為曲線．（1）當時，求曲線的方程；（2）已知點，直線與分別與曲線交于兩點，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．【思路引導】(1)由題意設(shè)，，再表示出得出．然后求得結(jié)果．(2)由題求出直線的方程為：，直線的方程為：，然后分別與曲線聯(lián)立，求得點E、F的縱坐標，然后再代入面積公式表示出再利用函數(shù)的單調(diào)性求得范圍．5．【2019安徽江南十校3月檢測】已知拋物線的準線方程為．（1）求拋物線的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交拋物線于，兩點，點，連接，與拋物線分別交于，兩點，直線的斜率記為，問：是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【思路引導】（1）根據(jù)標準方程與準線的關(guān)系，可直接求得；（2）假設(shè)存在，通過假設(shè)四點坐標，可以表示出和，然后利用韋達定理求解出．6．【2019安徽六校聯(lián)考】已知橢圓：的左、右焦點分別為，離心率為，直線：與橢圓交于，四邊形的面積為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）作與平行的直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，若的斜率分別為，求的取值范圍．【思路引導】（1）運用橢圓的離心率公式和四邊形的面積求法，以及橢圓中的關(guān)系，列出對應(yīng)的方程組，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于零，得出范圍，利用韋達定理以及中點坐標公式，得到（），根據(jù)的范圍求得結(jié)果．7．【2019安徽黃山一?！恳阎c在拋物線上，且到拋物線焦點的距離為．直線與拋物線交于兩點，且線段的中點為．（Ⅰ）求直線的方程．（Ⅱ）點是直線上的動點，求的最小值．【思路引導】(Ⅰ)由點到拋物線焦點的距離等于到準線的距離，得到，可以求出，即可得到拋物線的方程，然后利用點差法，根據(jù)直線與拋物線交于兩點，且線段的中點為，可以求出斜率，從而得到直線方程；（Ⅱ）都在直線上，設(shè)，設(shè)，可以表示出，然后將直線與拋物線聯(lián)立，可以得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合的表達式，可以求出最小值。8．【2019湖南株洲統(tǒng)一檢測（一)】已知，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且軸，的周長為6．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點，設(shè)為坐標原點，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請說明理由．【思路引導】（Ⅰ）由三角形周長可得，求出，再根據(jù)即可寫出橢圓標準方程（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，分兩類討論（1）當過點的直線的斜率不存在時，寫出A，B坐標，代入可得（2）當過點的直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入中化簡即可求出．【同步訓練】1．已知A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB，AC分別過左右焦點F1，F(xiàn)2，且當線段AF1的中點在y軸上時，cos∠F1AF2=．（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請說明理由．【思路點撥】（1）當線段AF1的中點在y軸上時，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；（2）由（1）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點坐標為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當AB，AC的斜率都存在時，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直線AC的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量共線定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計算即可得到所求定值．【詳細解析】2.（2017?邯鄲二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分別是橢圓G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦點，點P（2，）是橢圓G上一點，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求橢圓G的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若⊥，其中O為坐標原點，判斷O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的定義，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得c的值，則求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）當直線l⊥x軸，將直線x=m代入橢圓方程，求得A和B點坐標，由向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得m的值，求得O到直線l的距離；當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，點到直線的距離公式，即可求得O到直線l的距離為定值．【詳細解析】3.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，直線y=x被橢圓C截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過原點的直線與橢圓C交于兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．設(shè)直線BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值．【思路點撥】（1）由橢圓離心率得到a，b的關(guān)系，化簡橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后求出交點的橫坐標，把弦長用交點橫坐標表示，則a的值可求，進一步得到b的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出A，D的坐標分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標表示B的坐標，把AB和AD的斜率都用A的坐標表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到AD橫縱坐標的和，求出AD中點坐標，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點坐標，由兩點求斜率得到AM的斜率，由兩直線斜率的關(guān)系得到λ的值．【詳細解析】4.已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，則△F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)橢圓方程，由題意列關(guān)于a，b，c的方程組求解a，b，c的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的徑R，則△F1AB的周長=4a=8，=（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F1AB的面積，利用換元法，借助于導數(shù)，即可求得結(jié)論．【詳細解析】5.已知橢圓C：+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為（O為坐標原點）．（1）求橢圓C的方程；（2）若點M在以橢圓C的短軸為直徑的圓上，且M在第一象限，過M作此圓的切線交橢圓于P，Q兩點．試問△PFQ的周長是否為定值？若是，求此定值；若不是，說明理由．【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為（O為坐標原點），列出方程組，求出a=，b=1，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，連結(jié)OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，從而求出△PFQ的周長為定值2．【詳細解析】6.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個頂點的四邊形面積為2．（1）求橢圓C的方程；（2）A、B是橢圓的左右頂點，P（xP，yP）是橢圓上任意一點，橢圓在P點處的切線與過A、B且與x軸垂直的直線分別交于C、D兩點，直線AD、BC交于Q（xQ，yQ），是否存在實數(shù)λ，使xP=λxQ恒成立，并說明理由．【思路點撥】（1）由橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個頂點的四邊形面積為2，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)切線方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程，組合已知條件能求出存在λ=1，使xP=λxQ恒成立．【詳細解析】7.已知橢圓C：=1，直線l過點M（﹣1，0），與橢圓C交于A，B兩點，交y軸于點N．（1）設(shè)MN的中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；（2）設(shè)=λ，=μ，試探究λ+μ是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)點N（0，n），表示出MN中點坐標，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；（2）直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），聯(lián)立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韋達定理，以及向量共線的坐標可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化簡即可．【詳細解析】8.已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（2，0），過點Q（1，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)點P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k1，k2（1）求橢圓C的方程；（2）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出k1+k2的取值范圍．【思路點撥】（1）由題意可知a=2c，a=2，則c=1，b2=a2﹣c2=3，（2）分類討論，當直線線AB的斜率存在時，代入橢圓方程，由韋達定理及直線斜率公式，即可求得的k1+k2值．【詳細解析】9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞1）的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，直線x﹣y+=0與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．（1）求該橢圓C的方程；（2）過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D、E兩點，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，問：是否存在直線AB，使得S1=S2，若存在，求直線AB的方程，若不存在，說明理由．【思路點撥】（1）通過拋物線方程可知c=1，利用點到直線的距離公式可知e==，結(jié)合a、b、c三者之間的關(guān)系可求出a=2、b=1，進而可得橢圓C的方程；（2）通過假設(shè)存在直線AB使得S1=S2，則可設(shè)其方程為：y=k（x+1）（k≠0），并與橢圓C方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），結(jié)合△GFD～△OED可得=，聯(lián)立S1=S2整理得8k2+9=0，由于此方程無解推出假設(shè)不成立．【詳細解析】10.在直角坐標系xOy中，橢圓C1：的離心率為，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1上任意一點，|PF1|2+|PF2|2的最小值為8．（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)橢圓C2：為橢圓C2上一點，過點Q的直線交橢圓C1于A，B兩點，且Q為線段AB的中點，過O，Q兩點的直線交橢圓C1于E，F(xiàn)兩點．（i）求證：直線AB的方程為x0x+2y0y=2；（ii）當Q在橢圓C2上移動時，四邊形AEBF的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請說明理由．【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1上任意一點，|PF1|2+|PF2|2的最小值為8，列出方程，求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程為+．（2）（i）由（1）知橢圓C2：=1，Q（x0，y0）為橢圓E上一點，=1，利用點差法求出直線AB的方程為x0x+2y0y=2，由此能求出直線AB的方程．（ii）聯(lián)立直線EF與橢圓C1的方程，得E（，），F(xiàn)（﹣，﹣），聯(lián)立直線AB與橢圓C1的方程，得：，利用韋達定理求出|AB|=，點E（）、F（﹣）到直線AB的距離為d1，d2，﹣﹣由此能求出當Q在橢圓C2上移動時，四邊形AEBF的面積為定值4．【詳細解析】11.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸長為2，過上頂點E和右焦點F的直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線l過點（1，0），且與橢圓C交于點A，B，則在x軸上是否存在一點T（t，0）（t≠0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB（其中O為坐標原點），若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）由已知可得：b=1，結(jié)合直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．進而可得c2=3，a2=4，即得橢圓C的標準方程；（2）在x軸上是否存在一點T（4，0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合∠OTA=∠OTB時，直線TA，TB的斜率k1，k2和為0，可證得結(jié)論．【詳細解析】12.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線C：x2=2py（p＞0）上不同兩點．（1）設(shè)直線l：y=與y軸交于點M，若A，B兩點所在的直線方程為y=x﹣1，且直線l：y=恰好平分∠AFB，求拋物線C的標準方程．（2）若直線AB與x軸交于點P，與y軸的正半軸交于點Q，且y1y2=，是否存在直線AB，使得+=？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，），由，消去y整理得x2﹣2px+2p=0，直線y=平分∠AFB，可得kAM+kBM=0，利用韋達定理求得p，即可（2）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為零，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0，b＞0），由，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴，由已知可得b=．直線AB的方程為：y=kx+．作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′，B′，+=+=，得k，【詳細解析】【題型綜述】探究代數(shù)表達式包括以下若干類型：（1）參數(shù)值的探索，根據(jù)題中的條件將參數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線與圓錐曲線的交點的坐標的方程或函數(shù)問題，若利用設(shè)而不求思想與韋達定理即可求出參數(shù)的值即存在，否則不存在(2)等式恒成立問題，根據(jù)題中條件和有關(guān)向量、距離公式、平面幾何知識等方法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線與圓錐曲線的交點的坐標的方程或函數(shù)問題，若利用設(shè)而不求思想與韋達定理即可求出參數(shù)的值即存在?！镜淅敢款愋鸵粎?shù)值的探究例1【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線與橢圓E有且只有一個公共點T.（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；（Ⅱ）設(shè)O是坐標原點，直線l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.方程=2\*GB3②的判別式為，由，解得.由=2\*GB3②得.所以，同理，學*科網(wǎng)所以.故存在常數(shù)，使得.類型二恒等式成立探究例2.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.（2）當直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點.如果存在定點Q滿足條件，則，即.所以Q點在y軸上，可設(shè)Q點的坐標為.當直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點.則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.學*科網(wǎng)當直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標分別為.聯(lián)立得.學*科網(wǎng)其判別式，類型三面積最小值存在性例3【2015高考湖北，文22】一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復運動時，帶動N繞轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．.②將①代入②得，.當時，；當時，.因，則，，所以，當且僅當時取等號.所以當時，的最小值為8.學*科網(wǎng)綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8.類型四面積關(guān)系探究例4.（2011湖南理21）如圖7,橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2),軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)設(shè)與軸的交點為,過坐標原點的直線與相交于點,直線分別與相交于點.(ⅰ)求證:;(ⅱ)記的面積分別為.問:是否存在直線,使得?請說明理由.【擴展鏈接】為橢圓的其中一個焦點，若是橢圓上一點，則.為雙曲線的右焦點，若是雙曲線右支上一點，則，若是雙曲線左支上一點，則，.為橢圓的左焦點，是過左焦點傾斜角為的弦，點在軸上方，則,,,.為拋物線的焦點，是過左焦點傾斜角為的弦，點在軸上方，則，,,.【新題展示】1．【2019四川二診】已知，橢圓C過點，兩個焦點為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為，直線l與橢圓C相切于點A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．【思路引導】可設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計算可得，進而得到b，即可得到所求橢圓方程；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程，運用韋達定理可得E的坐標，由題意可將k換為，可得F的坐標，由直線的斜率公式計算可得直線EF的斜率，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線l的斜率，進而得到所求斜率之和．【解析】由題意可設(shè)橢圓C的方程為，且，，即有，，所以橢圓的方程為；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程可得，可得，即有，，由直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，可將k換為，可得，，則直線EF的斜率為，設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程可得：，由直線l與橢圓C相切，可得，化簡可得，解得，則．2．【2019河南新鄉(xiāng)二?！吭O(shè)橢圓的右頂點為，上頂點為．已知橢圓的焦距為，直線的斜率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線（）與橢圓交于，兩點，且點在第二象限．與延長線交于點，若的面積是面積的倍，求的值．【思路引導】（1）利用橢圓的焦距和的斜率列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓標準方程．（2）設(shè)出兩點的坐標，利用“的面積是面積的倍”得到，轉(zhuǎn)化為向量，并用坐標表示出來，求得兩點橫坐標的關(guān)系式．聯(lián)立直線的方程和直線的方程，求得點的橫坐標；聯(lián)立橢圓的方程和直線的方程，求得點的橫坐標，根據(jù)上述求得的兩點橫坐標的關(guān)系式列方程，解方程求得的可能取值，驗證點橫坐標為負數(shù)后得到的值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得，所以，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)點，，由題意，且，由的面積是面積的倍，可得，所以，從而，所以，即．易知直線的方程為，由，消去，可得．由方程組，消去，可得．由，可得，整理得，解得或．當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去．綜上，的值為．3．【2019陜西漢中3月聯(lián)考】順次連接橢圓：的四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2），是橢圓上的兩個不同點，若直線，的斜率之積為（為坐標原點），線段上有一點滿足，連接并延長交橢圓于點，求的值．【思路引導】（1）由菱形的面積公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求橢圓方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐標表示和點滿足橢圓方程，結(jié)合直線的斜率公式，化簡變形，即可得到所求值．【解析】（1）由題可知，，解得，．所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，∵，∴，∴，．又∵，∴，即，．∵點在橢圓上，∴，即．∵，在橢圓上，∴，①．②又直線，斜率之積為，∴，即，③將①②③代入得，解得．4．【2019東北三省三校一?！恳阎獧E圓：的左、右兩個頂點分別為，點為橢圓上異于的一個動點，設(shè)直線的斜率分別為，若動點與的連線斜率分別為，且，記動點的軌跡為曲線．（1）當時，求曲線的方程；（2）已知點，直線與分別與曲線交于兩點，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．【思路引導】(1)由題意設(shè)，，再表示出得出．然后求得結(jié)果．(2)由題求出直線的方程為：，直線的方程為：，然后分別與曲線聯(lián)立，求得點E、F的縱坐標，然后再代入面積公式表示出再利用函數(shù)的單調(diào)性求得范圍．【解析】（1）設(shè)，則，因為，則所以，整理得．所以，當時，曲線的方程為．（2）設(shè)．由題意知，直線的方程為：，直線的方程為：．由（Ⅰ）知，曲線的方程為，聯(lián)立，消去，得，得聯(lián)立，消去，得，得設(shè)則在上遞增又，的取值范圍為5．【2019安徽江南十校3月檢測】已知拋物線的準線方程為．（1）求拋物線的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交拋物線于，兩點，點，連接，與拋物線分別交于，兩點，直線的斜率記為，問：是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【思路引導】（1）根據(jù)標準方程與準線的關(guān)系，可直接求得；（2）假設(shè)存在，通過假設(shè)四點坐標，可以表示出和，然后利用韋達定理求解出．【解析】（1）由準線方程可知：（2）設(shè)，，，（互不相等）則，同理三點共線即同理將拋物線與直線聯(lián)立得：由韋達定理：6．【2019安徽六校聯(lián)考】已知橢圓：的左、右焦點分別為，離心率為，直線：與橢圓交于，四邊形的面積為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）作與平行的直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，若的斜率分別為，求的取值范圍．【思路引導】（1）運用橢圓的離心率公式和四邊形的面積求法，以及橢圓中的關(guān)系，列出對應(yīng)的方程組，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于零，得出范圍，利用韋達定理以及中點坐標公式，得到（），根據(jù)的范圍求得結(jié)果．【解析】由（1）可得，，帶入得，橢圓方程為（2）設(shè)直線的方程為由，得，得，設(shè)，則（）7．【2019安徽黃山一?！恳阎c在拋物線上，且到拋物線焦點的距離為．直線與拋物線交于兩點，且線段的中點為．（Ⅰ）求直線的方程．（Ⅱ）點是直線上的動點，求的最小值．【思路引導】(Ⅰ)由點到拋物線焦點的距離等于到準線的距離，得到，可以求出，即可得到拋物線的方程，然后利用點差法，根據(jù)直線與拋物線交于兩點，且線段的中點為，可以求出斜率，從而得到直線方程；（Ⅱ）都在直線上，設(shè)，設(shè)，可以表示出，然后將直線與拋物線聯(lián)立，可以得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合的表達式，可以求出最小值?！窘馕觥浚á瘢佄锞€的準線方程為，拋物線方程為設(shè)，直線的方程為即（Ⅱ）都在直線上，則，設(shè)又當時，的最小值為8．【2019湖南株洲統(tǒng)一檢測（一)】已知，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且軸，的周長為6．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點，設(shè)為坐標原點，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請說明理由．【思路引導】（Ⅰ）由三角形周長可得，求出，再根據(jù)即可寫出橢圓標準方程（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，分兩類討論（1）當過點的直線的斜率不存在時，寫出A，B坐標，代入可得（2）當過點的直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入中化簡即可求出．【解析】（Ⅰ）由題意，，，∵的周長為6，∴∴，∴橢圓的標準方程為．（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件．（1）當過點的直線的斜率不存在時，，，∴，∴當時，；（2）當過點的直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，化簡得，∴，．∴∴，解得：即時，；綜上所述，當時，．【同步訓練】1．已知A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB，AC分別過左右焦點F1，F(xiàn)2，且當線段AF1的中點在y軸上時，cos∠F1AF2=．（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請說明理由．【思路點撥】（1）當線段AF1的中點在y軸上時，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；（2）由（1）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點坐標為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當AB，AC的斜率都存在時，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直線AC的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量共線定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計算即可得到所求定值．同理λ1=，可得λ1+λ2=6；②若AC⊥x軸，則λ2=1，λ1==5，這時λ1+λ2=6；若AB⊥x軸，則λ1=1，λ2=5，這時也有λ1+λ2=6；綜上所述，λ1+λ2是定值6．學*科網(wǎng)2.（2017?邯鄲二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分別是橢圓G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦點，點P（2，）是橢圓G上一點，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求橢圓G的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若⊥，其中O為坐標原點，判斷O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的定義，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得c的值，則求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）當直線l⊥x軸，將直線x=m代入橢圓方程，求得A和B點坐標，由向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得m的值，求得O到直線l的距離；當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，點到直線的距離公式，即可求得O到直線l的距離為定值．②當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，則，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，則y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，學*科網(wǎng)∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①則原點O到直線l的距離d=，∴d2=（）2==，②將①代入②，則d2==，∴d=，綜上可知：點O到直線l的距離為定值．學*科網(wǎng)3.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，直線y=x被橢圓C截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過原點的直線與橢圓C交于兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．設(shè)直線BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值．【思路點撥】（1）由橢圓離心率得到a，b的關(guān)系，化簡橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后求出交點的橫坐標，把弦長用交點橫坐標表示，則a的值可求，進一步得到b的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出A，D的坐標分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標表示B的坐標，把AB和AD的斜率都用A的坐標表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到AD橫縱坐標的和，求出AD中點坐標，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點坐標，由兩點求斜率得到AM的斜率，由兩直線斜率的關(guān)系得到λ的值．4.已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，則△F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)橢圓方程，由題意列關(guān)于a，b，c的方程組求解a，b，c的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的徑R，則△F1AB的周長=4a=8，=（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F1AB的面積，利用換元法，借助于導數(shù)，即可求得結(jié)論．由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，．則=，令，則m2=t2﹣1，學*科網(wǎng)∴=，令f（t）=3t+，則f′（t）=3﹣，當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，≤3，即當t=1，m=0時，≤3，由=4R，得Rmax=，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為．故直線l：x=1，△F1AB內(nèi)切圓面積的最大值為．學*科網(wǎng)5.已知橢圓C：+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為（O為坐標原點）．（1）求橢圓C的方程；（2）若點M在以橢圓C的短軸為直徑的圓上，且M在第一象限，過M作此圓的切線交橢圓于P，Q兩點．試問△PFQ的周長是否為定值？若是，求此定值；若不是，說明理由．【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為（O為坐標原點），列出方程組，求出a=，b=1，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，連結(jié)OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，從而求出△PFQ的周長為定值2．6.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個頂點的四邊形面積為2．（1）求橢圓C的方程；（2）A、B是橢圓的左右頂點，P（xP，yP）是橢圓上任意一點，橢圓在P點處的切線與過A、B且與x軸垂直的直線分別交于C、D兩點，直線AD、BC交于Q（xQ，yQ），是否存在實數(shù)λ，使xP=λxQ恒成立，并說明理由．【思路點撥】（1）由橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個頂點的四邊形面積為2，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)切線方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程，組合已知條件能求出存在λ=1，使xP=λxQ恒成立．7.已知橢圓C：=1，直線l過點M（﹣1，0），與橢圓C交于A，B兩點，交y軸于點N．（1）設(shè)MN的中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；（2）設(shè)=λ，=μ，試探究λ+μ是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)點N（0，n），表示出MN中點坐標，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；（2）直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），聯(lián)立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韋達定理，以及向量共線的坐標可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化簡即可．8.已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（2，0），過點Q（1，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)點P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k1，k2（1）求橢圓C的方程；（2）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出k1+k2的取值范圍．【思路點撥】（1）由題意可知a=2c，a=2，則c=1，b2=a2﹣c2=3，（2）分類討論，當直線線AB的斜率存在時，代入橢圓方程，由韋達定理及直線斜率公式，即可求得的k1+k2值．（2）當直線AB的斜率不存在時，不妨設(shè)A（1，），B（1，﹣），則k1==，k2==，故k1+k2=2，當直線AB的斜率存在時，設(shè)其為k，則直線AB：y=k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去y，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，學*科網(wǎng)k1+k2=+=+=，===2，綜上可知：k1+k2為定值，定值為2．9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞1）的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，直線x﹣y+=0與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．（1）求該橢圓C的方程；（2）過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D、E兩點，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，問：是否存在直線AB，使得S1=S2，若存在，求直線AB的方程，若不存在，說明理由．【思路點撥】（1）通過拋