高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-超越方程反解難巧妙構(gòu)造變簡單（含答案）

【題型綜述】導(dǎo)數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項式或開方表示的函數(shù)，與超越方程相對的是代數(shù)方程．超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進行．大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解．在探求諸如，方程的根的問題時，我們利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好的解決．此類題的一般解題步驟是：1、構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域．2、求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點．3、畫出函數(shù)草圖．4、數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點情況求解．【典例指引】例1．已知函數(shù)在處取得極小值．（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點且，設(shè)線段的中點為，試問是否為的根？說明理由．例2．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．例3．已知函數(shù)（）（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【新題展示】1．【2019山西祁縣中學(xué)上學(xué)期期末】已知函數(shù),．若（1）求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．2．【2019浙江臺州上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù)，R．（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）若對任意的實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；（Ⅲ）設(shè)，若對任意的實數(shù)，關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．3．【2019浙江杭州高級中學(xué)上學(xué)期期中】已知函數(shù).（1）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.（2）求證：當(dāng)時，.【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)（），且的導(dǎo)數(shù)為．（Ⅰ）若是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若方程有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸．（1）求實數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個實數(shù)滿足，求證：．3．已知函數(shù)（），．（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線．①求實數(shù)的值；②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．（2）當(dāng)時，求證：對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù)，，都有成立．4．已知函數(shù)．（1）設(shè)，①記的導(dǎo)函數(shù)為，求；②若方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在上存在一點使成立，求實數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時，方程在上有三個不相等的實數(shù)根，并求出相應(yīng)的實數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線．（1）求的值；（2）對任意的，都存在，使得，求的取值范圍；（3）已知方程有兩個根，若，求證:．7．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），，．（1）若，，求在上的最大值的表達式；（2）若時，方程在上恰有兩個相異實根，求實根的取值范圍；（3）若，，求使的圖象恒在圖象上方的最大正整數(shù)．8．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)的值；（3）若方程，有兩個不相等的實數(shù)根，比較與0的大小．【題型綜述】導(dǎo)數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項式或開方表示的函數(shù)，與超越方程相對的是代數(shù)方程．超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進行．大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解．在探求諸如，方程的根的問題時，我們利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好的解決．此類題的一般解題步驟是：1、構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域．2、求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點．3、畫出函數(shù)草圖．4、數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點情況求解．【典例指引】例1．已知函數(shù)在處取得極小值．（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點且，設(shè)線段的中點為，試問是否為的根？說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)，解得，最后列表驗證（2）即研究是否成立，因為，利用，得，所以=0，轉(zhuǎn)化為．其中，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定方程解的情況（2）由（1）知函數(shù)．∵函數(shù)圖象與軸交于兩個不同的點，（），∴，．兩式相減得．學(xué)*科網(wǎng)．下解．即．令，∵，∴，即．令，．又，∴，∴在上是増函數(shù)，則，從而知，故，即不成立．故不是的根．學(xué)*科網(wǎng)例2．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求導(dǎo)數(shù)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間；（2）先構(gòu)造函數(shù)再由以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，知導(dǎo)函數(shù)恒成立，再轉(zhuǎn)化為求解；（3）先把握有唯一實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為有唯一實數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解．【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間．例3．已知函數(shù)（）（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求出，分兩種情況討論，分別令得增區(qū)間，令得減區(qū)間；（2），令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點定理可得結(jié)果．試題解析：（1），當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）依題意，，令，則，學(xué)*科網(wǎng)令，則，即在上單調(diào)遞增．又，，存在唯一的，使得．當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞減．，，，且當(dāng)時，，又，，．學(xué)*科網(wǎng)故要使不等式解集中有且只有兩個整數(shù)，的取值范圍應(yīng)為．【新題展示】1．【2019山西祁縣中學(xué)上學(xué)期期末】已知函數(shù),．若（1）求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，解出即可；（2）得到xlnxk，令g（x）＝xlnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．【解析】所以當(dāng)時，，即的值域為．所以使方程有實數(shù)解的的取值范圍．2．【2019浙江臺州上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù)，R．（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）若對任意的實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；（Ⅲ）設(shè)，若對任意的實數(shù)，關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得切線方程．（Ⅱ）參變分離后求函數(shù)的最小值可得的最大值．（Ⅲ）因為，故無零根，參變分離后考慮的圖像與直線總有兩個不同的交點，從而得到實數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ），.且，所以在處的切線方程為.所以.（其中）所以的最大值為.（ⅰ）當(dāng)時，即時，則，即在，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為.此時對任意的實數(shù)，原方程恒有且只有兩個不同的解.（ⅱ）當(dāng)時，有兩個非負根，，所以在，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時有4個交點，或有3個交點，均與題意不合，舍去.（ⅲ）當(dāng)時，則有兩個異號的零點，，不妨設(shè)，則在，單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減.當(dāng)時，的取值范圍為，當(dāng)時，的取值范圍為，所以當(dāng)時，對任意的實數(shù)，原方程恒有且只有兩個不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以.所以當(dāng)或時，原方程對任意實數(shù)均有且只有兩個解.3．【2019浙江杭州高級中學(xué)上學(xué)期期中】已知函數(shù).（1）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.（2）求證：當(dāng)時，.【思路引導(dǎo)】（1）關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根等價于，x與y=a有兩個不同的交點；（2）要證當(dāng)時，即證【解析】（2）證明：，由得在上單調(diào)遞增，又,根據(jù)零點存在定理可知，存在，使得當(dāng)時，，f（x）在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，f（x）在上單調(diào)遞增；故.由，得到，即，，故，其中，令，，由，得到在上單調(diào)遞減，故，即，綜上：有當(dāng)時，.【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)（），且的導(dǎo)數(shù)為．（Ⅰ）若是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若方程有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得結(jié)果；（Ⅱ）原方程等價于，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得結(jié)果．令，解得或．列表得：100增極大值減極小值增由表可知當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值．又當(dāng)時，，，此時．學(xué)*科網(wǎng)因此當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此實數(shù)的取值范圍是．2．已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸．（1）求實數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個實數(shù)滿足，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由題可設(shè)切點坐標(biāo)為，由原函數(shù)和切線的斜率為可得方程組，解方程組得值；（2）由題知，可構(gòu)造去絕對值后的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，最后可令，利用單調(diào)性可得結(jié)論．且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，學(xué)*科網(wǎng)記，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則3．已知函數(shù)（），．（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線．①求實數(shù)的值；②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．（2）當(dāng)時，求證：對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù)，，都有成立．【思路引導(dǎo)】（1）①首先求函數(shù)的圖象在處的切線，，，又因為切點為，所以切線方程為，于是問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象相切，于是可以根據(jù)直線與拋物線相切進行解題；②問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，參變量分離得，設(shè)，，研究的單調(diào)性、極值，轉(zhuǎn)化為直線與有且只有一個交點，（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，，于是問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以求出的取值范圍．∵，∴，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減，∵，，且時，，∴；證明：（2）不妨設(shè)，則，，∴可化為∴設(shè)，即，∴在上單調(diào)遞減，∴恒成立，即在上恒成立，∵，∴，從而，當(dāng)時，命題成立．4．已知函數(shù)．（1）設(shè)，①記的導(dǎo)函數(shù)為，求；②若方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在上存在一點使成立，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）①對進行求導(dǎo)，將代入可得的值；②對進行二次求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性得其符號，從而可得的單調(diào)性，結(jié)合圖象的大致形狀可得的取值范圍；（2）將題意轉(zhuǎn)化為，令，題意等價于在上的最小值小于0，對進行求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)進行分類討論，判斷單調(diào)性得其最值．（2）由題可得，∴，∴，令，則在上的最小值小于0，又，1，當(dāng)時，即，在上遞減，所以，解得；2，當(dāng)即，在遞增，∴解得；3，當(dāng)，即，此時要求又，所以，所以此時不成立，綜上或．學(xué)*科網(wǎng)點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求考查函數(shù)與方程的聯(lián)系單調(diào)區(qū)間最值，同時考查不等式的存在性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．在正確求導(dǎo)的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也是在高考中的必考內(nèi)容也是基礎(chǔ)內(nèi)容；注意存在性問題與恒成立問題的區(qū)別．5．已知函數(shù)．（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時，方程在上有三個不相等的實數(shù)根，并求出相應(yīng)的實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)為某個單調(diào)區(qū)間的子集得的取值范圍，（2）結(jié)合三次函數(shù)圖像確定的取值范圍：當(dāng),且時，方程在上有可能有三個不等實根，再根據(jù)端點值大小確定實數(shù)的滿足的條件：，最后解不等式可得實數(shù)的取值范圍．只需滿足即可．因為，且，因而，所以，即，學(xué)*科網(wǎng)綜上所述，當(dāng),且時，滿足題意，此時實數(shù)的取值范圍是．6．已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線．（1）求的值；（2）對任意的，都存在，使得，求的取值范圍；（3）已知方程有兩個根，若，求證:．【思路引導(dǎo)】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，，設(shè)直線與函數(shù)相切與點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，解得，求出；（2）對任意的，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別求、的值域，即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意得,兩式相減得，，所以，令，則，則，令，對求導(dǎo)，判斷的單調(diào)，證明．(2)由（1）得，所以，當(dāng)，時，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，時，，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，依題意得，所以，解得．(3)依題意得,兩式相減得，所以，方程可轉(zhuǎn)化為7．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），，．（1）若，，求在上的最大值的表達式；（2）若時，方程在上恰有兩個相異實根，求實根的取值范圍；（3）若，，求使的圖象恒在圖象上方的最大正整數(shù)．【思路引導(dǎo)】(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)定義域以及取值分類討論導(dǎo)函數(shù)是否變號，確定函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)最值，(2)作差函數(shù)，求導(dǎo)得原函數(shù)先減后增，因此要有兩個相異實根，需極小值小于零，兩個端點值大于零，解不等式可得的取值范圍；(3)實際為一個不等式恒成立問題，先轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題（利用導(dǎo)數(shù)求差函數(shù)最小值），再研究最小值恒大于零問題，繼續(xù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合零點存在定理限制或估計極點范圍，最后范圍確定最大正整數(shù)．試題解析：(1)時，,；①當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，此時，②當(dāng)