數(shù)學物理方法第二章

1.有向曲線:

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,2.1復變函數(shù)的積分(與實函數(shù)積分相似，定義為和的極限)——復平面上的線積分第一頁1第二頁，共96頁。簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.第二頁2第三頁，共96頁。2.積分的定義:第三頁3第四頁，共96頁。(第四頁4第五頁，共96頁。關于定義的說明:第五頁5第六頁，共96頁。3.存在的條件和計算法證正方向為參數(shù)增加的方向,第六頁6第七頁，共96頁。第七頁7第八頁，共96頁。根據(jù)線積分的存在定理,第八頁8第九頁，共96頁。當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,第九頁9第十頁，共96頁。在形式上可以看成是公式積分的計算法1第十頁10第十一頁，共96頁。積分的計算法2第十一頁11第十二頁，共96頁。在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.第十二頁12第十三頁，共96頁。設L是簡單逐段光滑曲線，f,g在L上連續(xù)，則性質：常數(shù)因子可以移到積分號外函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分之和反轉積分路徑，積分反號全路徑上的積分等于各段上積分之和第十三頁13第十四頁，共96頁。注意到性質(5)可以寫為

特別地，若在L上有，L的長記為L，則性質(5)成為

注意：數(shù)學分析中的積分中值定理不能推移到復變函數(shù)積分上來，例如：而

(6)第十四頁14第十五頁，共96頁。例1解直線方程為第十五頁15第十六頁，共96頁。這兩個積分都與路線C無關第十六頁16第十七頁，共96頁。例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第十七頁17第十八頁，共96頁。(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第十八頁18第十九頁，共96頁。y=x(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第十九頁19第二十頁，共96頁。例3解積分路徑的參數(shù)方程為第二十頁20第二十一頁，共96頁。例4解積分路徑的參數(shù)方程為第二十一頁21第二十二頁，共96頁。重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.第二十二頁22第二十三頁，共96頁。2.2柯西定理討論復變函數(shù)積分與積分路徑的關系（一）單通區(qū)域情形在區(qū)域中做任何簡單閉合圍道，圍道內的點都屬于該區(qū)域單連通區(qū)域：復連通區(qū)域，或稱多連通區(qū)域

區(qū)別：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點。

連續(xù)變形：變形時曲線始終屬于該區(qū)域。第二十三頁23第二十四頁，共96頁。復習：二元函數(shù)積分的格林公式路徑無關的充要條件：實變線積分在單連通區(qū)域B內與在B內的偏導數(shù)連續(xù)，并且由于復變函數(shù)的積分可轉化為兩個實變線積分因此可得到復變函數(shù)的積分與路徑無關的充要條件第二十四頁24第二十五頁，共96頁。單連通區(qū)域柯西定理：

如果函數(shù)f(z)在閉單連通域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有

推廣：如果函數(shù)f(z)在單通域B上解析，在閉單連通域B上連續(xù)，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有Bl第二十五頁25第二十六頁，共96頁。由定理得第二十六頁26第二十七頁，共96頁。連續(xù)，且格林公式同理連續(xù)，且證明：回路積分化成面積分第二十七頁27第二十八頁，共96頁。例1解根據(jù)柯西定理,有第二十八頁28第二十九頁，共96頁。例2證由柯西定理,第二十九頁29第三十頁，共96頁。由柯西定理,由上節(jié)例4可知,第三十頁30第三十一頁，共96頁。例3解根據(jù)柯西－古薩定理得第三十一頁31第三十二頁，共96頁。第三十二頁32第三十三頁，共96頁。奇點：復變函數(shù)不解析的點

若f(z)在z=b不解析（或沒有定義），而在z=b的無心鄰域0<

z?b

<R內解析，則z=b為f(z)的孤立奇點。含孤立奇點的區(qū)域，可將其每個奇點的有限小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺屯▍^(qū)域（二）復通區(qū)域情形有時，所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析第三十三頁33第三十四頁，共96頁。沿著一條簡單曲線C有兩個相反的方向，其中一個方向是：當觀察者順此方向沿C前進一周時，C的內部一直在C的左方，即“逆時針”方向，稱為正方向；另一個方向是：當觀察者順此方向沿C前進一周時，C的外部一直在C的左方，即“順時針”方向，稱為負方向。區(qū)域境界線正方向：第三十四頁34第三十五頁，共96頁。在

l

圍成的區(qū)域中含f(z)的孤立奇點

，則可引入曲線l1將此奇點挖掉，在余下的區(qū)域(一復連通區(qū)域)中，

f(z)解析。由柯西定理或又

l與l1方向相反，但與-l1方向相同。第三十五頁35第三十六頁，共96頁。(多連通域柯西定理)

設B是以邊為界的有界n+1連通區(qū)域，其中l(wèi)1，l2，…，ln是簡單光滑閉曲線l內部互相外離的n條簡單光滑閉曲線。若f(z)在

上連續(xù)，在B內解析，則有其中C取關于區(qū)域B的正向，或寫為：第三十六頁36第三十七頁，共96頁。例1解依題意知,第三十七頁37第三十八頁，共96頁。根據(jù)復合閉路定理,第三十八頁38第三十九頁，共96頁。例2解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,第三十九頁39第四十頁，共96頁。例3解第四十頁40第四十一頁，共96頁。由復合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內即可.第四十一頁41第四十二頁，共96頁。例4解由上例可知第四十二頁42第四十三頁，共96頁。柯西定理總結閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內外境界線正方向的積分和為零。閉復通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內境界線逆時針方向的積分的和。固定起點和終點，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分第四十三頁43第四十四頁，共96頁。定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內的積分只與起點和終點有關,(如下頁圖)1.兩個主要定理:2.3不定積分第四十四頁44第四十五頁，共96頁。第四十五頁45第四十六頁，共96頁。定理二證利用導數(shù)的定義來證.第四十六頁46第四十七頁，共96頁。由于積分與路線無關,第四十七頁47第四十八頁，共96頁。第四十八頁48第四十九頁，共96頁。由積分的估值性質,第四十九頁49第五十頁，共96頁。此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]第五十頁50第五十一頁，共96頁。2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關系:證第五十一頁51第五十二頁，共96頁。那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]第五十二頁52第五十三頁，共96頁。3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)第五十三頁53第五十四頁，共96頁。證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.第五十四頁54第五十五頁，共96頁。典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,第五十五頁55第五十六頁，共96頁。例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)第五十六頁56第五十七頁，共96頁。例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,第五十七頁57第五十八頁，共96頁。例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”第五十八頁58第五十九頁，共96頁。例4解利用分部積分法可得課堂練習答案第五十九頁59第六十頁，共96頁。例5解第六十頁60第六十一頁，共96頁。例6解所以積分與路線無關,根據(jù)?！R公式:第六十一頁61第六十二頁，共96頁。2.4柯西公式

柯西積分公式:

若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，l為B境界線，

為B內的任一點，那么證明：由于只需證明第六十二頁62第六十三頁，共96頁。如果l是圓周z=

+reiθ，這就是說，一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周的平均值。

若f(z)在l所圍區(qū)域上存在奇點，這就要考慮挖去奇點后的復通區(qū)域。在復通區(qū)域上f(z)解析，顯然柯西公式仍然成立，只要將l理解為所有境界線，并且其方向均取正向。

定理：解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為：其中l(wèi)為解析區(qū)域內圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。第六十三頁63第六十四頁，共96頁。Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）設f(z)在區(qū)域G中連續(xù)，如果對于G中的任何閉合圍道l，都有則f(z)在G內解析。證明：由路徑無關性，定義f(z)

的連續(xù)性0所以F(z)解析，其導數(shù)為f(z)，再由高階導數(shù)的存在性，f(z)在G內解析。第六十四頁64第六十五頁，共96頁。模數(shù)定理：f(z)在某個閉區(qū)域上解析，則|f(z)|只能在境界線上取極大值應用柯西公式證明：對若|f(z)|在l上極大值為M，|z|的極小值為

，l的長為s第六十五頁65第六十六頁，共96頁。

Liouville定理：如

f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|

N，則

f(z)必為常數(shù)。半徑為R的園周總結復數(shù)復數(shù)函數(shù)復數(shù)函數(shù)單值復數(shù)函數(shù)多值復數(shù)函數(shù)單值復數(shù)函數(shù)單值函數(shù)與實變函數(shù)相似兩個二元實變函數(shù)的有序組合重點第六十六頁66第六十七頁，共96頁。奇點柯西定理及推論極限連續(xù)積分導數(shù)(微分)解析函數(shù)解析區(qū)域柯西公式高階導數(shù)公式u,v可微C-R條件點點可導(不解析的點)積分區(qū)域有無奇點第六十七頁67第六十八頁，共96頁。典型例題例1解第六十八頁68第六十九頁，共96頁。由柯西積分公式第六十九頁69第七十頁，共96頁。例2解由柯西積分公式第七十頁70第七十一頁，共96頁。例3解由柯西積分公式第七十一頁71第七十二頁，共96頁。例４解根據(jù)柯西積分公式知,第七十二頁72第七十三頁，共96頁。例5解第七十三頁73第七十四頁，共96頁。例5解第七十四頁74第七十五頁，共96頁。由閉路復合定理,得例5解第七十五頁75第七十六頁，共96頁。例6解根據(jù)柯西積分公式知,第七十六頁76第七十七頁，共96頁。比較兩式得第七十七頁77第七十八頁，共96頁。例1解第七十八頁78第七十九頁，共96頁。第七十九頁79第八十頁，共96頁。根據(jù)復合閉路定理第八十頁80第八十一頁，共96頁。第八十一頁81第八十二頁，共96頁。例2解第八十二頁82第八十三頁，共96頁。第八十三頁83第八十四頁，共96頁。例3解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得第八十四頁84第八十五頁，共96頁。第八十五頁85第八十六頁，共96頁。課堂練習答案第八十六頁86第八十七頁，共96頁。例4解第八十七頁87第八十八頁，共96頁。根據(jù)復合閉路定理和高階導數(shù)公式,第八十八頁88第八十九頁，共96頁。第八十九頁89第九十頁，共96頁。例5(Morera定理)證依題意可知第九十頁90第九