運(yùn)輸包裝課件三章振動(dòng)

第三章包裝中的振動(dòng)基本理論第一節(jié)振動(dòng)的基本概念第二節(jié)單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)第三節(jié)考慮易損部件的強(qiáng)迫振動(dòng)第四節(jié)隨機(jī)振動(dòng)第一節(jié)振動(dòng)的基本概念一、概念二、包裝件的力學(xué)模型三、緩沖材料的一些力學(xué)特性四、機(jī)械振動(dòng)的分類一、概念

振動(dòng)是由振源向振動(dòng)系統(tǒng)輸入信號，系統(tǒng)所作的響應(yīng)。激勵(lì)（振源）：促使物體振動(dòng)的各種外因阻尼：阻礙物體振動(dòng)的因素，如空氣的阻力，材料的內(nèi)阻，物體之間的摩擦等一、概念與運(yùn)輸包裝動(dòng)力學(xué)相關(guān)的一些物理定律：牛頓第一定律（慣性定律）：一個(gè)物體如果不受力或作用于物體上的力是平衡力，則其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變。牛頓第二定律：在慣性系中，質(zhì)點(diǎn)受力作用將獲得加速度。牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力大小相等，方向相反。胡克定律：在彈性限度內(nèi)，若彈簧在外力的作用下產(chǎn)生位移，則二、包裝件的力學(xué)模型外包裝箱產(chǎn)品緩沖襯墊(a)部分緩沖結(jié)構(gòu)產(chǎn)品(b)有易損部件的全面緩沖結(jié)構(gòu)k阻尼器mm1cm3c2c1k2k1m1m2產(chǎn)品

簡化的力學(xué)模型三、緩沖材料的一些力學(xué)特性材料的彈性ε

x

緩沖襯墊P

h

σo

材料的粘性

緩沖材料，特別是泡沫塑料等高分子材料，在受到振動(dòng)與沖擊時(shí)，其內(nèi)部會產(chǎn)生與運(yùn)動(dòng)方向相反的阻力，這種阻力稱為材料的內(nèi)阻，用R表示。設(shè)變化的載荷使得緩沖材料以運(yùn)動(dòng)。則通過試驗(yàn)可知粘性阻力為：式中R為粘性阻尼力。c為阻力系數(shù)，也稱為阻尼，其單位是三、緩沖材料的一些力學(xué)特性緩沖材料的等效彈性剛度

緩沖襯墊P

P

h

緩沖襯墊的等效彈性剛度就可用彈簧的剛度來表示即：

三、緩沖材料的一些力學(xué)特性緩沖墊的串聯(lián)緩沖墊的并聯(lián)四、機(jī)械振動(dòng)的分類按系統(tǒng)自由度分——單自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)

連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)振動(dòng)按微分方程分——線性振動(dòng)非線性振動(dòng)按系統(tǒng)輸入類型分——自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)自激振動(dòng)(結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到自身控制的激勵(lì)作用時(shí)所引起的振動(dòng))按輸出規(guī)律分——周期振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)第二節(jié)單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)作用在質(zhì)量塊上的彈性力總是指向平衡位置(恢復(fù)力)。若沒有能量損耗，振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大位移不變，稱之為振幅。自由振動(dòng)具有周期性。從某一位置開始運(yùn)動(dòng)，總是在一個(gè)固定的時(shí)間性內(nèi)回到開始位置，這一時(shí)間叫做振動(dòng)的周期，單位為秒。為了描述振動(dòng)的快慢程度，引入振動(dòng)的頻率f，它定義為單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，單位為赫茲（Hz）。頻率f和周期互為倒數(shù)，即：一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)力學(xué)模型設(shè)彈簧的原長為L0，彈簧靜變形一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的建立考慮到得：由圖（d）可知，質(zhì)量塊受到的合力為：由牛頓第二定理得：即：，式中整理為：一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)根據(jù)因?yàn)閗，m

均大于0，令得假設(shè)時(shí)，質(zhì)量塊的初始位移和速度分別是：那么于是得到位移方程為：式中一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)無阻尼單自由度振動(dòng)的固有頻率和固有圓頻率物塊振動(dòng)一次經(jīng)歷的時(shí)間Τ稱為周期。根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，時(shí)間每經(jīng)歷一個(gè)周期，正弦函數(shù)的相位角增加2π，故：因?yàn)樗裕芷跒轭l率為一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例：已知一包裝件的產(chǎn)品質(zhì)量m=10kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k=10000N/m，將其簡化為無阻尼單自由度模型，給緩沖墊一個(gè)初始位移x0=-0.01m，使之從靜止開始振動(dòng)，求固有頻率和位移方程。解：由公式得系統(tǒng)固有圓頻率為：

固有頻率為：（Hz）又已知初始條件為：x0=-0.01m，v0=0。得：因此運(yùn)動(dòng)方程為：一、無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由于包裝緩沖系統(tǒng)都是有阻尼的，所以，分析有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)具有十分重要的作用。圖有阻尼單自由度振動(dòng)的受力分析物塊m作自由振動(dòng)，在任一瞬時(shí)t，作用在物塊上的力有：重力

mg彈性力

阻力

根據(jù)牛頓第二定律，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：將方程簡化后得：令上式中，，就得到有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式式中：——是物塊彈簧系統(tǒng)的固有圓頻率；

n

——是阻尼系數(shù)，其單位為s-1

二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)設(shè)特解為代入上式得：根據(jù)微分方程解方程得

n

＞ω，稱為大阻尼。物塊受初干擾離開平衡位置后又緩慢地回到平衡位置，不可能振動(dòng)；

n

=ω，稱為臨界阻尼。

n＜ω，稱為小阻尼。物塊系統(tǒng)受干擾產(chǎn)生振動(dòng)。因此我們只討論這種情況二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)當(dāng)n＜ω時(shí)，設(shè)，故將上式代入中得：將它按歐拉公式展開，得到兩個(gè)特解：將這兩個(gè)特解線性組合，即得通解為二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由上式可以看出：小阻尼n＜ω時(shí)包裝件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為正弦波形；因?yàn)?1≤≤1，所以包裝件的位移被限制在兩條曲線和之間；包裝件的振動(dòng)隨時(shí)間的增加而逐漸衰減，是衰減振動(dòng)。二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)設(shè)初始條件為：，由此可確定常數(shù)A和

計(jì)算公式為：，得：衰減振動(dòng)雖然不是真正地周期性運(yùn)動(dòng)，但它仍具有等時(shí)性，因此物塊來回往復(fù)一次所經(jīng)歷的時(shí)間仍然稱為周期，用表示二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)阻尼對自由振動(dòng)的影響主要表現(xiàn)在振幅。設(shè)相鄰兩次振動(dòng)的振幅分別為和，則前后兩次的振幅比為：d

稱為振幅系數(shù)，由上式得：因?yàn)閐＞1，所以小阻尼自由振動(dòng)的振幅按幾何級數(shù)的規(guī)律迅速衰減?！?、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例：已知一包裝件產(chǎn)品質(zhì)量m=10kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k=10000N/m，將其簡化為有阻尼單自由度模型，設(shè)阻尼比為。給緩沖墊一個(gè)初始位移x0=－0.01m，使之從靜止開始振動(dòng)，求振動(dòng)周期、位移方程，并計(jì)算振動(dòng)多少次后的振幅小于初始振幅的5%。解：系統(tǒng)的固有圓頻率為：得無阻尼固有圓頻率為：阻尼系數(shù)為：振動(dòng)周期為：

二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)又已知初始條件為：x0=－0.01，v0=0得得由公式得位移方程為：因?yàn)?，，所以振幅系?shù)為：有即要求二、有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)作業(yè)一已知一包裝件的產(chǎn)品質(zhì)量m=6kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k=600N/m，當(dāng)其作無阻尼自由振動(dòng)時(shí)振幅為A=0.04m，使之從靜止開始振動(dòng)，求其固有頻率、位移方程。已知一包裝件產(chǎn)品質(zhì)量m=8kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k=500N/m，將其簡化為有阻尼單自由度模型，設(shè)阻尼比為。當(dāng)其作有阻尼自由振動(dòng)時(shí)振幅為A=0.02m，使之從靜止開始振動(dòng)，求振動(dòng)周期、位移方程，并計(jì)算振動(dòng)多少次后的振幅小于初始振幅的10%。三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)：有周期性變化的外力（激振力）在振動(dòng)過程中一直作用在系統(tǒng)上，則系統(tǒng)會產(chǎn)生響應(yīng)。這種由激振力引起的振動(dòng)就是強(qiáng)迫振動(dòng)。建立力學(xué)模型：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)支座作持續(xù)的簡諧運(yùn)動(dòng)：式中：——為振動(dòng)臺的最大振幅；

p

——是振動(dòng)臺的振動(dòng)圓頻率。在系統(tǒng)振動(dòng)的任一瞬時(shí)，物塊所受的彈性力為：根據(jù)牛頓第二定律，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：令化簡得運(yùn)動(dòng)方程為：上式的解是由兩部分組成的：式中：

x1

——為與運(yùn)動(dòng)方程對應(yīng)的齊次方程的通解；

x2——為運(yùn)動(dòng)方程的特解。運(yùn)動(dòng)方程的齊次方程是：若加上初始條件，就成為無阻尼單自由度振動(dòng)方程，它的通解就是，其中三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)將上式代入物塊運(yùn)動(dòng)微分方程得化簡得所以運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為：根據(jù)實(shí)驗(yàn)知道，系統(tǒng)的響應(yīng)頻率與激振頻率相等。因此設(shè)三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)因此，運(yùn)動(dòng)微分方程的解（也就是位移方程）為：由于x1

是自由振動(dòng)，在實(shí)際情況中會很快衰減，故穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的位移方程可寫為：上式表明，系統(tǒng)在外部持續(xù)激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)也是簡諧運(yùn)動(dòng)，其頻率與激勵(lì)頻率相同。振幅與系統(tǒng)本身及外部激勵(lì)的性質(zhì)有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)。三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅放大系數(shù)振幅反映強(qiáng)迫振動(dòng)的強(qiáng)弱，因此要推導(dǎo)振幅放大系數(shù)，從而通過已知的外部激勵(lì)振幅求出系統(tǒng)響應(yīng)的振幅。將改寫成令響應(yīng)振幅與輸入振幅之比為：系統(tǒng)響應(yīng)圓頻率與系統(tǒng)固有圓頻率之比為：則上式可寫成如下形式：取λ為橫坐標(biāo)，β為縱坐標(biāo)，畫出一條曲線，稱為幅頻函數(shù)。三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)通過β—λ曲線可以看出以下規(guī)律：強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)頻率等于激振頻率，都是；式為放大系數(shù)，也叫幅頻函數(shù)；3.放大系數(shù)中表示激振頻率與系統(tǒng)固有頻率之比。當(dāng)時(shí)，，這種現(xiàn)象叫共振，這時(shí)響應(yīng)加速度也趨于無窮大，從而振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)力也趨于無窮大，所以一般振動(dòng)破壞都發(fā)生在產(chǎn)生共振的時(shí)刻。三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)由運(yùn)動(dòng)學(xué)而知，有了位移方程，我們可以通過對時(shí)間求導(dǎo)，從而得到速度與加速度值。由外部激振方程可得激振輸入的最大加速度為：響應(yīng)的最大加速度為：因此得于是由輸入最大加速度和放大系數(shù)可求得系統(tǒng)響應(yīng)最大加速度：同樣可求出響應(yīng)速度與輸入速度的關(guān)系：三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)例：有一包裝件，產(chǎn)品質(zhì)量為m=1kg，襯墊的彈性系數(shù)為k=200N/m。將其放置在振動(dòng)臺上做實(shí)驗(yàn)，振動(dòng)臺輸入的激振頻率為2.5Hz，最大輸入加速度為0.01g，求產(chǎn)品響應(yīng)的最大位移和最大加速度值。解：包裝件的固有頻率為：已知f=2.5Hz，所以放大系數(shù)為：式中負(fù)號表示輸入與輸出方向相反三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)最大響應(yīng)加速度為：因?yàn)?，，所以最大位移為：三、無阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)建立力學(xué)模型：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)支座作持續(xù)的簡諧運(yùn)動(dòng)：式中：——為振動(dòng)臺的最大振幅；

——是振動(dòng)臺的振動(dòng)圓頻率。在系統(tǒng)振動(dòng)的任一瞬時(shí)，物塊所受的彈性力為：物塊所受的阻尼力為：根據(jù)牛頓第二定律，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：化簡得：為將上式等到號的右邊化簡成一個(gè)正弦函數(shù)的形式，令運(yùn)動(dòng)微分方程就化成：四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)再令運(yùn)動(dòng)微分方程又可化成：上式的解是由兩部分組成的：

x1相對應(yīng)的齊次方程的通解是：由于阻尼的影響，上式很快衰減。x2是穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫振動(dòng)的特解，設(shè)其為將其代入式，得四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)因?yàn)榭杀硎緸閷⑵浯隭2

式中化簡得：四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)因?yàn)樵谡駝?dòng)的任一瞬時(shí)τ，上式都成立。所以前的系數(shù)都應(yīng)為0。即：從而求得：四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)令，再將代入得

將式代入式，就得到物塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅公式：四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)同理將式代入可得到物塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的相位差的正切為：四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)的放大系數(shù)與幅頻函數(shù)令響應(yīng)振幅與輸入振幅之比為：系統(tǒng)響應(yīng)圓頻率與系統(tǒng)固有圓頻率之比為：阻尼比為：于是系統(tǒng)的幅頻函數(shù)為：為了便于分析，取為參變量，取λ為橫坐標(biāo)，β為縱坐標(biāo)，繪出一系列不同的β—λ曲線，就是幅頻特性曲線。四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)的幅頻特性曲線四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)由上圖可看出如下規(guī)律：當(dāng)λ=0時(shí)，β=1，即各條β—λ曲線有共同的起點(diǎn)；當(dāng)λ=時(shí)，又有β=1，即各條β—λ曲線相交于這個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)0＜λ＜時(shí)，β＞1，且β—λ曲線有最大值；當(dāng)較小而λ又接近于1時(shí)，系統(tǒng)會產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為共振。當(dāng)λ＞時(shí)，放大系數(shù)小于1，并逐漸趨于0，即激振頻率越高系統(tǒng)響應(yīng)振幅越小。所以對包裝件來說，損壞基本都發(fā)生在低頻區(qū)域。四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)為求共振時(shí)的放大系數(shù)，令，求導(dǎo)得：共振時(shí)的頻率比為：將上式代入幅頻函數(shù)中，就可求得βmax

。當(dāng)不是很大時(shí)當(dāng)很小時(shí)（＜0.15）時(shí)，可近似取λ0

=1

，四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)相頻曲線將，代入得：根據(jù)上式繪出φ—λ曲線，稱為相頻特性曲線。在較小的情況下，φ—λ曲線在λ=1時(shí)初有突變，這一特征可用于測試系統(tǒng)的共振頻率。四、有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)例：設(shè)有一個(gè)包裝件系統(tǒng)，其固有頻率f=30Hz，阻尼比

，試求這個(gè)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的激振頻率；已知外部激勵(lì)振幅為0.8