《數(shù)學(xué)史概論》教案

《數(shù)學(xué)史概論》教案主講人：林壽導(dǎo)言主講人簡介：林壽，寧德師專教授，漳州師院特聘教授，四川大學(xué)博士生導(dǎo)師，德國《數(shù)學(xué)文摘》和美國《數(shù)學(xué)評論》評論員。1978.4~1980.2寧德師專數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)；1984.9~1987.7蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生；1998.9~2000.5浙江大學(xué)理學(xué)院攻讀博士學(xué)位。拓撲學(xué)方向的科研項目先后20次獲得國家自然科學(xué)基金、國家優(yōu)秀專著出版基金等的資助，研究課題涉及拓撲空間論、集合論拓撲、函數(shù)空間拓撲等，在國內(nèi)外重要數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表拓撲學(xué)論文90多篇，科學(xué)出版社出版著作3部。1992年獲國務(wù)院政府特殊津貼，1995年被授予福建省優(yōu)秀專家，1997年獲第五屆中國青年科技獎、曾憲梓高等師范院校教師獎一等獎。個人主頁：/ls.asp一、數(shù)學(xué)史要學(xué)習(xí)什么？為什么要開設(shè)數(shù)學(xué)史的選修課？數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。對于深刻認識作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，及全面了解整個人類文明的發(fā)展都具有重要的意義。龐加萊（法，1854－1912年）語錄：如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。薩頓（美，(\o"1884"1884-\o"1956"1956年)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學(xué)家，但它產(chǎn)生更溫雅的數(shù)學(xué)家，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們高雅的質(zhì)量。數(shù)學(xué)史的分期：1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展（公元前6世紀）；2、初等數(shù)學(xué)時期（公元前6世紀－16世紀）；3、近代數(shù)學(xué)時期（17世紀－18世紀）；4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（1820年至今）。二、教學(xué)工作安排授課形式：講解與自學(xué)相結(jié)合，分13講。第一講：數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展；第二講：古代希臘數(shù)學(xué)；第三講：中世紀的東西方數(shù)學(xué)I；第四講：中世紀的東西方數(shù)學(xué)II；第五講：文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)；第六講：牛頓時代：解析幾何與微積分的創(chuàng)立；第七講：18世紀的數(shù)學(xué)：分析時代；第八講：19世紀的代數(shù)；第九講：19世紀的幾何與分析I；第十講：19世紀的幾何與分析II；第十一講：20世紀數(shù)學(xué)概觀I；第十二講：20世紀數(shù)學(xué)概觀II；第十三講：20世紀數(shù)學(xué)概觀III；選講：數(shù)學(xué)論文寫作初步。作業(yè)：每一講寫600字左右的讀書筆記，30%記入學(xué)期總成績?？疾椋好课煌瑢W(xué)選取一名數(shù)學(xué)家，以這數(shù)學(xué)家為主題寫一篇數(shù)學(xué)史講稿（約2000字），并把講稿內(nèi)容制作成PowerPoint文檔（約15分鐘，5－8張文檔），70%記入學(xué)期總成績。要求：講稿用A4紙單面打印，連同PowerPoint文檔于2008年6月18日（第17周星期三）上交。三、主要參考書1、[美]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想.牛津大學(xué)出版社，1972（中譯本：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979~1981，4卷本）；2、張奠宙.20世紀數(shù)學(xué)經(jīng)緯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2002；3、吳文俊主編.世界著名數(shù)學(xué)家傳記（上、下冊）.北京：科學(xué)出版社，1995；4、程民德主編.中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳（5卷本）.南京：江蘇教育出版社，1994－2002；5、中國大百科全書編輯委員會.中國大百科全書（數(shù)學(xué)卷）.北京：中國大百科全書出版社，1988；6、王元，嚴士健，石鐘慈，談德顏編譯.數(shù)學(xué)百科全書（5卷本）.北京：科學(xué)出版社，1994－2000；7、郭金彬，孔國平.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史.北京：科學(xué)出版社，2004；8、徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號史.北京：科學(xué)出版社，2006。第一講數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展主要內(nèi)容：數(shù)與形概念的產(chǎn)生、河谷文明與早期數(shù)學(xué)、西漢以前的中國數(shù)學(xué)。1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生從原始的“數(shù)”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個緩慢、漸進的過程。人從生產(chǎn)活動中認識到了具體的數(shù)，導(dǎo)致了記數(shù)法?！扒缚蓴?shù)”表明人類記數(shù)最原始、最方便的工具是手指。如，手指計數(shù)（伊朗，1966），結(jié)繩計數(shù)（秘魯，1972）（美國自然史博物館藏有古代南美印加部落用來記事的繩結(jié)，當(dāng)時人稱之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數(shù)字），西安半坡遺址出土的陶器殘片。早期幾種記數(shù)系統(tǒng)，如古埃及、古巴比倫、中國甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個地區(qū)、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。世界上不同年代出現(xiàn)了五花八門的進位制和眼花繚亂的記數(shù)符號體系，足以證明數(shù)學(xué)起源的多元性和數(shù)學(xué)符號的多樣性。2、河谷文明與早期數(shù)學(xué)2.1古代埃及的數(shù)學(xué)背景：古代埃及簡況埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開始出現(xiàn)一些小國家，公元前3000年左右開始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國家。古代埃及可以分為5個大的歷史時期：早期王國時期（公元前3100－前2688年）、古王國時期（前2686－前2181年）、中王國時期（前2040－前1768年）、新王國時期（前1567－前1086年）、后期王國時期（前1085－前332年）。（1）古王國時期：前2686－前2181年。埃及進入統(tǒng)一時代，開始建造金字塔，是第一個繁榮而偉大的時代。（2）新王國時期：前1567－前1086年。埃及進入極盛時期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國。直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國家，有了相當(dāng)發(fā)達的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978），它顯示了埃及人極其精確的測量能力，其中它的邊長和高度的比例約為圓周率的一半。古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻：紙草書，來自現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)問題集。萊茵德紙草書（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購得，現(xiàn)藏倫敦大英博物館，主體部分由84個數(shù)學(xué)問題組成，其中還有歷史上第一個嘗試“化圓為化”的公式）。莫斯科紙草書（1893年由俄國貴族戈列尼雪夫購得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細藝術(shù)博物館，包含了25個數(shù)學(xué)問題）。埃及紙草書（民主德國，1981）。數(shù)學(xué)貢獻：記數(shù)制，基本的算術(shù)運算，分數(shù)運算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。公元前4世紀希臘人征服埃及以后，這一古老的數(shù)學(xué)完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。2.2古代巴比倫的數(shù)學(xué)背景：古代巴比倫簡況兩河流域（美索不達米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時發(fā)明了文字“楔形文字”。（1）古巴比倫王國：公元前1894－前729年。漢穆拉比（在位前1792－前1750）統(tǒng)一了兩河流域，建成了一個強盛的中央集權(quán)帝國，頒布了著名的《漢穆拉比法典》。（2）亞述帝國：前8世紀－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩蘇爾市）。（3）新巴比倫王國：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）統(tǒng)治時期達到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，是古代西方人眼中的全部世界，而中國的長城距他們太遠了。記錄者古希臘哲學(xué)家費隆·拜占廷說過：“心眼所見，永難磨滅”。公元前6世紀中葉，波斯國家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國。了解古代美索不達米亞文明的主要文獻是泥版，迄今已有約50萬塊泥版出土。蘇美爾計數(shù)泥版（文達，1982）?，F(xiàn)在泥版文書中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻：以60進制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，長于計算，發(fā)展程序化算法的熟練技巧（開方根），能處理三項二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。泥版楔形文，普林頓322（現(xiàn)在美國哥倫比亞大學(xué)圖書館，年代在公元前1600年以前，數(shù)論意義：整勾股數(shù)）。巴比倫泥板和彗星（不丹，1986）。2.3西漢以前的中國數(shù)學(xué)黃河壺口瀑布（中國，2002）《史記·夏本紀》大禹治水（公元前21世紀）中提到“左規(guī)矩，右準繩”，表明使用了規(guī)、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”。考古學(xué)的成就，充分說明了中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展。1952年在陜西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻畫的符號中，有一些符號就是表示數(shù)字的符號。在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是記錄數(shù)字的文字，表明中國已經(jīng)使用了完整的十進制記數(shù)，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數(shù)字為三萬。殷墟甲骨上數(shù)學(xué)（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984年間河南安陽出土）。算籌（1971年陜西千陽縣西漢墓出土）是中國古代的計算工具，它的起源大約可上溯到公元前5世紀，后來寫在紙上便成為算籌記數(shù)法。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴格的十進位制籌算記數(shù)（約公元前300年）。怎樣用算籌記數(shù)呢？公元3－4世紀成書的《孫子算經(jīng)》記載說：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)。”為了避免涂改，在唐代以后，我國又創(chuàng)用了一種商業(yè)大寫數(shù)字，又叫會計體：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點是建立在籌算基礎(chǔ)之上，是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻，這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。我國是世界上首先發(fā)現(xiàn)和認識負數(shù)的國家。戰(zhàn)國時法家李悝（約公元前455－前395年）曾任魏文侯相，主持變法，我國第一部比較完整的法典《法經(jīng)》（現(xiàn)已失傳）中已應(yīng)用了負數(shù)，“衣五人終歲用千百不足四百五十”，意思是說，5個人一年開支1500錢，差450錢。甘肅居延海附近（今甘肅省張掖市管領(lǐng)）發(fā)現(xiàn)的漢簡中有“負四筭（suàn，籌碼，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。在2002年中國考古發(fā)現(xiàn)報告會上，介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發(fā)現(xiàn)：湖南龍山里耶戰(zhàn)國－秦漢時期城址及秦代簡牘。2002年7月，考古人員在湖南龍山里耶戰(zhàn)國－秦漢古城出土了36000余枚秦簡，記錄的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝歷史，其中有一份完整的“九九乘法口訣表”。在《管子》、《荀子》、《戰(zhàn)國策》等先秦典籍中，都提到過“九九”，但實物還是首次發(fā)現(xiàn)，這是我國有文字記錄最早的乘法口訣表。最后給一首數(shù)字詩，取自宋朝理學(xué)家邵康節(jié)（公元1011－1077年，中國占卜界的主要代表人物）寫的一首詩，描繪像花園一樣美麗的地方，一幅樸實自然的鄉(xiāng)村風(fēng)俗畫，宛如一副淡雅的水墨畫：一去二三里，煙村四五家。亭臺六七座，八九十枝花。思考題1、您對《數(shù)學(xué)史》課程的期望。2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么?3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。4、從數(shù)學(xué)的起源簡述人類活動對文化發(fā)展的貢獻。5、數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示。6、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的意義。第二講古代希臘數(shù)學(xué)主要內(nèi)容：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，亞歷山大學(xué)派，古希臘數(shù)學(xué)的衰落家，簡述11位哲學(xué)家或科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。恩格斯指出：“沒有希臘的文化和羅馬帝國奠定的基礎(chǔ)，沒沒有現(xiàn)代的歐洲?！薄叭绻恢肋h溯古希臘各代前輩所建立和發(fā)展的概念、方法和結(jié)果，我們就不可能理解近年來數(shù)學(xué)的目標，也不可能理解它的成就?！薄狢laudeHugoHermannWeyl背景：古希臘的變遷古希臘地圖。希臘時期（公元前11世紀－前3世紀）：分為愛奧尼亞時期和雅典時期。愛奧尼亞時期：公元前11世紀－前6世紀，其中公元前11世紀－前9世紀希臘各部落進入愛琴地區(qū)，公元前9－前6世紀希臘各城邦先后形成，前776年召開了第一次奧林匹克運動會，標志著古希臘文明進入了興盛時期。希波戰(zhàn)爭（前499－前449年）以后，雅典成為希臘的霸主。雅典時期：公元前6－前3世紀，伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭（前431－前404年，雅典及其同盟者與以斯巴達為首的伯羅奔尼撒同盟之間的戰(zhàn)爭），希臘各城邦陷入混戰(zhàn)之中。馬其頓帝國崛起：前6世紀－前323年。馬其頓位于希臘的北部，處于希臘文明的邊緣，被希臘人視為蠻族。公元前4世紀起馬其頓逐漸成為希臘北部的重要國家，正當(dāng)希臘的城邦在經(jīng)歷將近100年的內(nèi)戰(zhàn)之后都精疲力竭的時候，馬其頓的菲利普二世（公元前382－前336年）把整個希臘統(tǒng)一于其統(tǒng)治之下，前337年希臘各城邦承認馬其頓的霸主地位。前334年，亞歷山大（公元前356－前323年）率大軍渡海東征，拉開了征服世界的序幕。亞歷山大最大的敵人是強大的波斯帝國，他先后從波斯人手中奪取了敘利亞和埃及，攻下巴比倫，波斯帝國滅亡。前323年，亞歷山大病死，他龐大的帝國也隨之分裂，古希臘歷史結(jié)束。但在帝國擴張的過程中將希臘文明傳播至東方，史稱希臘化時代。希臘化時期（公元前3世紀－公元7世紀）：分為亞歷山大時期和亞歷山大后期。亞歷山大時期：公元前323－前30年，前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及。亞歷山大后期：公元前30－公元640年，公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書。羅馬帝國：公元前27－公元395年（公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷，現(xiàn)為土耳其的伊斯坦布爾），西羅馬帝國：公元395－公元476年（為日爾曼人所滅），東羅馬帝國：公元395－公元1453年（610年改稱拜占廷帝國，為奧斯曼土耳其人所滅）。本講分三節(jié)介紹：古典時期的希臘數(shù)學(xué)、亞歷山大學(xué)派時期、希臘數(shù)學(xué)的衰落。1、古典時期的希臘數(shù)學(xué)公元前600－前300年。1.1愛奧尼亞學(xué)派（米利都學(xué)派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于愛奧尼亞的米利都城，早年經(jīng)商，被稱為“希臘哲學(xué)、科學(xué)之父”。哲學(xué)：萬物源于水，即“水生萬物，萬物復(fù)歸于水”。其思想的影響是巨大的，在他的帶動下，人們開始擺脫神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經(jīng)過數(shù)百年的努力，出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮。泰勒斯首創(chuàng)之功，不可磨滅。數(shù)學(xué)：創(chuàng)數(shù)學(xué)命題邏輯證明之先河，希臘幾何學(xué)的鼻祖，最早留名于世的數(shù)學(xué)家，證明了一些幾何命題，如“圓的直徑將圓分為兩個相等的部分”，“等腰三角形兩底角相等”，“兩相交直線形成的對頂角相等”，“如果一個三角形有兩角、一邊分別與另一個三角形的對應(yīng)角、邊相等，那么這兩個三角形全等”，“半圓上的圓周角是直角”（泰勒斯定理），測量過金字塔的高度。預(yù)報了公元前585年的一次日食。1.2畢達哥拉斯學(xué)派：畢達哥拉斯（約公元前560－前480年），出生于小亞細亞的薩摩斯島，與中國的孔子（公元前551－前479年）同時，曾師從愛奧尼亞學(xué)派，年青時曾游歷埃及和巴比倫，在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學(xué)、科學(xué)性質(zhì)的學(xué)派，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究，繁榮興旺達一個世紀以上。哲學(xué)（，智力愛好）：萬物皆為數(shù)。沒有數(shù)就既不可能表達、也不可能理解任何事物，宣稱宇宙萬物的主宰者用數(shù)來統(tǒng)御宇宙，試圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙永恒的真理。數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)研究抽象概念的認識歸功于畢達哥拉斯學(xué)派，“μαθηματιχα”（可學(xué)到的知識），“畢達哥拉斯定理”（希臘，1955），完全數(shù)（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，…）、親和數(shù)（一對數(shù)，其中每一個數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個數(shù)，如220，284），正五角星作圖與“黃金分割”（正五角星是該學(xué)派的標志，正五角星相鄰兩個頂點的距離與其邊長之比，或簡單說正五邊形邊長與其對角線之比，正好是黃金比），發(fā)現(xiàn)了“不可公度量”，困惑古希臘的數(shù)學(xué)家，出現(xiàn)的邏輯困難史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。希波戰(zhàn)爭以后，雅典成為希臘民主政治與經(jīng)濟文化的中心，希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，可謂哲學(xué)盛行、學(xué)派林立、名家百出。雅典古衛(wèi)城最宏偉、最精美、最著名的建筑是為敬奉城市庇護女神雅典娜建造的“帕提農(nóng)神廟”（也稱“巴臺農(nóng)神廟”，建造于公元前447－前432年），其中應(yīng)用了一些數(shù)學(xué)原理。雅典時期：開創(chuàng)演繹數(shù)學(xué)。擲鐵餅者（米隆，約前450年）。1.3伊利亞學(xué)派：芝諾（約公元前490－前430年），出生于意大利南部半島的伊利亞城邦，畢達哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。芝諾悖論：兩分法，運動不存在。再由是：位移事物在達到目的地之前必須先抵達一半處，即不可能在有限的時間內(nèi)通過無限多個點，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者，它根本起動不了。阿基里斯（荷馬史詩《依里亞特》中的希臘名將，善跑）、飛矢不動。芝諾的功績在于把動和靜的關(guān)系、無限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系以非數(shù)學(xué)的形態(tài)提出，并進行了辯證的考察。1.4詭辯學(xué)派（智人學(xué)派）：活躍于公元前5世紀下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱，詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱智人學(xué)派。古典幾何三大作圖問題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。安蒂豐（約公元前480－前411年），有關(guān)他的生平至今沒有確切的定論，只知他在雅典從事學(xué)術(shù)活動，是智人學(xué)派的代表人物，在數(shù)學(xué)方面的突出成就是用“窮竭法”討論化圓為方問題。他從一個圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、、持續(xù)重復(fù)這一過程，隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個邊長極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認為這個內(nèi)接正多邊形將與圓重合，既然通常能夠作出一個等于任何已知多邊形的正方形，那么就能作出等于一個圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒有真正解決化圓為方問題，但安蒂豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。希臘人對三大作圖問題的所有解答都無法嚴格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年，法國科學(xué)院拒絕再審查化圓為方問題的解。直到19世紀，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識弄清了這三大問題實際上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852－1939年）證明了數(shù)的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。1.5柏拉圖學(xué)派：柏拉圖（約公元前427－前347年），出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢達哥拉斯學(xué)派，哲學(xué)家蘇格拉底（公元前469－前399年）的學(xué)生。作為一名哲學(xué)家，柏拉圖對于歐洲的哲學(xué)乃至整個文化的發(fā)展，有著深遠的影響，特別是他的認識論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想，后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖，在古代希臘社會條件下，對于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進作用。代表作《理想國》。柏拉圖說：“上帝按幾何原理行事”，“不懂幾何者免進”，認為打開宇宙之迷的鑰匙是數(shù)與幾何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識的思想。柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱，公元前387年以萬貫家財在雅典創(chuàng)辦學(xué)院，講授哲學(xué)與數(shù)學(xué)，直到529年東羅馬君王查士丁尼下令關(guān)閉所有的希臘學(xué)校才告終止。意大利文藝復(fù)興三杰之一拉斐爾?桑蒂（1483－1520年）的壁畫：雅典學(xué)院（創(chuàng)作于1509－1510年）。古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家：亞里士多德（公元前384－前322年）（烏拉圭，1996），柏拉圖的學(xué)生。1.6亞里士多德學(xué)派（呂園學(xué)派）：出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn)，公元前335年建立了自己的學(xué)派，講學(xué)于雅典的呂園，又稱“呂園學(xué)派”，相傳亞里士多德還做過亞歷山大大帝的老師?！拔釔畚釒煟嵊葠壅胬怼?。集古希臘哲學(xué)之大成，把古希臘哲學(xué)推向最高峰，將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化，創(chuàng)立了獨立的邏輯學(xué)，堪稱“邏輯學(xué)之父”，“矛盾律”、“排中律”成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心，努力把形式邏輯的方法運用于數(shù)學(xué)的推理上，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ)，被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經(jīng)院哲學(xué)，對亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來適應(yīng)基督教教義，試圖從哲學(xué)上以理性的名義來論證上帝的存在。亞歷山大帝國版圖、亞歷山大帝國解體。希臘化時期的數(shù)學(xué)（公元前300－公元600年）。亞歷山大去世后，帝國一分為三：安提柯王朝（馬其頓）、托勒密王朝（埃及）、塞琉古王朝（敘利亞）。亞歷山大燈塔（匈牙利，1980）。亞歷山大城現(xiàn)在是埃及最大的海港城市。郵票中的主圖是世界古代七大奇觀之一的亞歷山大（法羅斯）燈塔，建于托勒密王朝鼎盛時期的公元前285－前247年，建成的燈塔高達117米，1375年的一次猛烈地震，燈塔全毀，法羅斯島連同附近海岸地區(qū)慢慢沉入海底，千古奇觀從此煙消云散。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，那是古代西方人眼中的全部世界，而中國的長城距他們太遠了。記錄者古希臘哲學(xué)家費隆·拜占廷說過：“心眼所見，永難磨滅”。2、亞歷山大學(xué)派時期公元前300－前30年。托勒密（托勒密·索特爾，約前367－前283年）統(tǒng)治下的希臘埃及，定都于亞歷山大城，于公元前300年左右，開始興建亞歷山大藝術(shù)博物館和圖書館，提倡學(xué)術(shù)，羅致人才，進入了亞歷山大時期：希臘數(shù)學(xué)黃金時代，先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。2.1歐幾里得（公元前325－前265年）早年學(xué)習(xí)于雅典，公元前300年應(yīng)托勒密一世之請來到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古，成為后人難以跨躍的高峰?！皫缀螣o王者之道”，后推廣為：“求知無坦途”。《原本》（Στοιχετα，意指：學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理）。13卷：第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達哥拉斯定理（世界最早、完整、嚴格的證明）、初等作圖法等；第二卷：幾何方法解代數(shù)問題，求面積、體積等；第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切；第五、六卷：比例論與相似形；第七、八、九、十卷：數(shù)論；第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來源。采用了亞里士多德對公理、公設(shè)的區(qū)分，由5條公理，5條公設(shè)，119條定義和465條命題組成，構(gòu)成了歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系。5公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。5公設(shè)：（1）假定從任意一點到任意一點可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長；（3）以任意中心和直徑可以畫圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交?！对尽肥菙?shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，確立了數(shù)學(xué)的演繹范式，正如英國著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)家羅素（1872－1970年）說過：“歐幾里得的《原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一”。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一個拉丁文印刷本在威尼斯問世以來，已出了各種文字的版本1000多個。存在缺陷，定義借助直觀，公理系統(tǒng)不完備。2.2數(shù)學(xué)之神：阿基米德（公元前287－前212年）與牛頓（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以來最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門生?！敖o我一個支點，我就可以移動地球”。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻是，在《圓的度量》中，發(fā)展了200年前安蒂豐的窮竭法，用于計算周長、面積或體積，通過計算圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長，求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間（約為3.14），這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周率的方法，把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，阿基米德之死（在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺）。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形：球及其外切圓柱。2.3阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190年），出生于小亞細亞的珀爾加，年青時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的門生學(xué)習(xí)，貢獻涉及幾何學(xué)和天文學(xué)，最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線論，以歐幾里得嚴謹風(fēng)格寫成的傳世之作《圓錐曲線》，是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾何的手段達到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，確實令人驚嘆，對圓錐曲線研究所達到的高度，直到17世紀笛卡兒、帕斯卡出場之前，始終無人能夠超越?！秷A錐曲線》全書共8卷，含487個命題。克萊因（美，1908－1992年）：它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少從幾何上幾乎不能再對這個問題有新的發(fā)言權(quán)。這確實可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。貝爾納（英，1901－1971年）：他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開普勒和牛頓可以原封不動地搬用，來推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。3、希臘數(shù)學(xué)的衰落公元180年前后的羅馬帝國版圖。公元前6世紀，在意大利半島的臺伯河畔，有一座羅馬城逐漸建立起來。公元前509年，羅馬建立了共和國。古羅馬經(jīng)過多個世紀的戰(zhàn)爭，時分時合多次。公元前27年，羅馬建立了元首政治，共和國宣告滅亡，從此進入羅馬帝國時代。在公元前1世紀完全征服了希臘各國而奪得了地中海地區(qū)的霸權(quán)，建立了強大的羅馬帝國。1世紀時，羅馬帝國繼續(xù)擴張，到2世紀，帝國版圖確定下來，它地跨歐、亞、非三洲，地中海成了它的內(nèi)湖。傳統(tǒng)的史學(xué)家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國。進入晚期羅馬帝國時期，帝國在戰(zhàn)亂中于395年由最后一個君主提奧多正式把帝國分為兩部分，西部以羅馬為首都分給了長子阿卡狄（稱為西羅馬帝國），東部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布爾）為首都分給了次子賀諾里（稱為東羅馬帝國）。476年，西羅馬帝國皇帝被日耳曼人廢掉，西羅馬帝國滅亡，西歐奴隸制社會的歷史結(jié)束了，從此進入了封建社會時期。古羅馬斗獸場（建于公元70－82年）。西班牙古羅馬高架引水橋（建于公元1世紀末2世紀初）高架引水橋從遙遠的雪山引水到阿爾卡薩城堡，全長15公里，有166個拱門，它由2萬多塊大石頭堆砌而成，石塊間沒有任何水泥等灰漿類物質(zhì)黏合，至今仍能堅固完好，實在令人嘆為觀止。據(jù)說，這座已經(jīng)1900歲引水橋的引水功能，直到1950年還在使用呢！如今它是塞哥維亞的標志性建筑。羅馬帝國的建立，唯理的希臘文明從而被務(wù)實的羅馬文明所取代。同氣勢恢弘的羅馬建筑相比，羅馬人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠談不上有什么顯赫的功績。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對自由研究的寬松態(tài)度，在相當(dāng)長一段時間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年－公元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。3.1托勒密（埃及，90－165年），在亞歷山大城工作，最重要的著作是《天文學(xué)大成》（《至大論》）13卷第一、二卷：地心體系的基本輪廓；第三卷：太陽運動；第四卷：月亮運動；第五卷：計算月地距離和日地距離；第六卷：日食和月食的計算；第七、八卷：恒星和歲差現(xiàn)象；第九－十三卷：分別討論五大行星的運動，本輪和均輪的組合在這里得到運用。提出地心說而成為整個中世紀西方天文學(xué)的經(jīng)典?！洞蟪伞分锌偨Y(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識，其中最有意義的貢獻是包含有一張正弦三角函數(shù)表，這是歷史上第一個有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。托勒密的本輪－均輪模型。3.2丟番圖（公元200－284年）《算術(shù)》亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標志是丟番圖的《算術(shù)》，這是一部具有東方色彩、對古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作，其中最有名的一個不定方程：將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù)。17世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在閱讀《算術(shù)》時對該問題給出一個邊注，引出了后來舉世矚目的“費馬大定理”。另一重要貢獻是創(chuàng)用了一套縮寫符號，一種“簡寫代數(shù)”，是真正的符號代數(shù)出現(xiàn)之前的一個重要階段。關(guān)于丟番圖的生平，知之甚少，推測大約公元250年前后活動于亞歷山大城，知道他活了84歲。丟番圖的墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途。這相當(dāng)于方程：1/6?x+1/12?x+1/7?x+5+1/2?x+4=x，x=84。古希臘數(shù)學(xué)的落幕。基督教在羅馬被奉為國教后，將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說，對異教學(xué)者橫加迫害。公元415年，亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（公元370－415年）被一群聽命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個中世紀歐洲數(shù)學(xué)的厄運。柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年東羅馬皇帝查士丁尼（527－565年）下令封閉了雅典的所有學(xué)校，包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。亞歷山大圖書館（當(dāng)時世界上藏書最多的圖書館）三劫，希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊，大火殃及亞歷山大圖書館，70萬卷圖書付之一炬。第2次劫難：公元392年羅馬狄奧多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬件希臘文手稿被毀。第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書籍予以焚毀。附：埃及陽歷、儒略歷、格里歷、公歷目前通行世界的公歷，是我們大家最熟悉的一種陽歷。這部歷法浸透了人類幾千年間所創(chuàng)造的文明，是古羅馬人向埃及人學(xué)得，并隨著羅馬帝國的擴張和基督教的興起而傳播于世界各地。由于計算尼羅河泛濫周期的需要，產(chǎn)生了古埃及的天文學(xué)和太陽歷。埃及陽歷：每年365天，12個月，每月30天，外加5天年終節(jié)日。天文學(xué)家索西吉斯（前90－？）建議羅馬儒略·凱撒（前100－前44年）大帝使用陽歷，注意4年置閏一次；公元前46年制定儒略歷。儒略歷：平年365天，12個月，大月31天，小月30天，單月為大月（凱撒生日在7月），8月也定為大月（屋大維（奧古斯都，前63－公元14年，凱撒姐姐的兒子，是凱撒遺囑的第一繼承人，生日在8月），從8月開始，單月為小，雙月為大，所欠缺的天數(shù)均從2月（不吉利的月份）里扣除，使之成為28天。閏年366天，使2月成為29天。儒略歷從公元前45年1月1日開始實行。公元325年，羅馬教皇將儒略歷規(guī)定為教歷。公歷的紀元，就是從“耶穌降生”的那年算起的，這與基督教的興盛密切相關(guān)。問題：一年365.25天比實際回歸年長度365.2422多0.0078天，至公元1582年，已與實際天數(shù)多了10天。為了不違背宗教的規(guī)定，滿足教會對歷法的要求，羅馬教皇格里高利13世設(shè)立了改革歷法的專門委員會，比較了各種方案后，決定采用意大利醫(yī)生利里奧的方案，在400年中去掉儒略歷多出的三個閏年。格里歷：羅馬教皇格里高利13世，將1582年10月5日直接變成15日；在4年一閏的基礎(chǔ)上每逢百之年只有能被400整除的才算閏年；歷年的平均長度為365.2425，更接近回歸年長度（與回歸年長度相差25.92秒），要過3333歷年兩者才會相差1日。由于格里歷的內(nèi)容比較簡潔，便于記憶，而且精度較高，與天時符合較好，因此它逐步為各國政府所采用。公歷：格里歷先在天主教國家使用，20世紀初為全世界普遍采用，所以又叫公歷。我國于1912年開始采用公歷，但仍用中華民國紀年，1949年中華人民共和國成立后，采用公歷紀年。思考題1、試分析芝諾悖論：飛矢不動。2、歐幾里得《原本》對數(shù)學(xué)以及整個科學(xué)的發(fā)展有什么意義？3、簡述歐幾里得《原本》的現(xiàn)代意義？4、以“化圓為方”問題為例，說明未解決問題在數(shù)學(xué)中的重要性。5、體驗阿基米德方法：通過計算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長，計算圓周率的近似值，計算到小數(shù)點后3位數(shù)。6、畢達哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機的？他們?yōu)槭裁匆獙@次數(shù)學(xué)危機采取回避的態(tài)度？第三講：中世紀的東西方數(shù)學(xué)I中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀至公元14世紀。分成三個階段：《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》、劉徽與祖沖之、宋元數(shù)學(xué)，這反映了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰，簡述9位中國科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、中算發(fā)展的第一次高峰：數(shù)學(xué)體系的形成秦始皇陵兵馬俑（中國，1983），秦漢時期形成中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。我們通過一些古典數(shù)學(xué)文獻說明數(shù)學(xué)體系的形成。1983－1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫在一支竹簡背面的字跡辨認，這部竹簡算書的書名叫《算數(shù)書》，它是中國現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著。經(jīng)研究，它和《九章算術(shù)》（公元1世紀）有許多相同之處，體例也是“問題集”形式，大多數(shù)題都由問、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語也與《九章算術(shù)》的一樣。《周髀算經(jīng)》（髀：量日影的標桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學(xué)著作（“蓋天說”－天圓地方；中國古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說”－大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數(shù)學(xué)知識有的可以追溯到公元前11世紀（西周），其中包括兩項重要的數(shù)學(xué)成就：勾股定理的普遍形式（中國最早關(guān)于勾股定理的書面記載），數(shù)學(xué)在天文測量中的應(yīng)用（測太陽高或遠的“陳子測日法”，陳子約公元前6、7世紀人，相似形方法）。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》（東漢，公元100年）。它不是出自一個人之手，是經(jīng)過歷代多人修訂、增補而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程“六藝”（禮、樂、射、御、書、數(shù)）中有一門是“九數(shù)”?！毒耪滤阈g(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來。在秦焚書（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。經(jīng)過西漢張蒼（約公元前256－152年，約公元前200年，西漢陽武（今河南原陽）人）、耿壽昌（公元前73－49年，約公元前50年）等人刪補，大約成書于東漢時期，至遲在公元100年。全書246個問題，分成九章：（1）方田（土地測量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環(huán)形、弓形、截球體的表面積計算，另有約分、通分、四則運算，求最大公約數(shù)等運算法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級分配物資或按等級攤派稅收的比例分配算法；（4）少廣（開平方和開立方法）；（5）商功（立體形求體積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問題，包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的比例分配問題；（7）盈不足（盈虧類問題解法及其應(yīng)用）；（8）方程（一次方程組解法和正負數(shù)）；（9）勾股（直角三角形），介紹利用構(gòu)股定理測量計算高、深、廣、遠的問題。所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的，主要內(nèi)容包括分數(shù)四則和比例算法、面積和體積的計算、關(guān)于勾股測量的計算等，既有算術(shù)方面的，也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容。如方程第一題，其算籌式為它完整地敘述了當(dāng)時已有的數(shù)學(xué)成就，對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，如同《原本》對西方數(shù)學(xué)發(fā)展的影響一樣深遠，在長達一千多年間，一直作為中國的數(shù)學(xué)教科書，并被公認為世界數(shù)學(xué)古典名著之一?！毒耪滤阈g(shù)》標志以籌算為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系正式形成。2、中算發(fā)展的第二次高峰：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展三國演義（中國，1998）。從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國數(shù)學(xué)史上一個獨特而豐產(chǎn)的時期，是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時期?！毒耪滤阈g(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。2.1劉徽（魏晉，公元3世紀）（中國，2002），淄鄉(xiāng)（今山東鄒平縣）人，布衣數(shù)學(xué)家，于263年撰《九章算術(shù)注》，不僅對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”（圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積）。在劉徽之前，通常認為“周三徑一”，即圓周率取為3。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，通過計算圓內(nèi)接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250（=3.1416）（阿基米德計算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長）。為方便計算，劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出157/50（=3.14）作為圓周率，后人常把這個值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來推算圓周率的數(shù)學(xué)家，并享有國際聲譽。讓我們來體會劉徽的“割圓術(shù)”。劉徽對π的估算值（密克羅尼西亞，1999）。劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現(xiàn)存中國古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學(xué)傳入中國之前，再沒有人超過甚至達到劉徽的水平。2000年國家最高科學(xué)技術(shù)獎得主吳文俊院士指出：“從對數(shù)學(xué)貢獻的角度來衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時期被祖沖之推進和發(fā)展。2.2祖沖之（429－500年），范陽遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推?！弊鏇_之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻記載在《隋書》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”即，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率。1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫（1875－1950年）在《中國和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱355/113為祖率。祖沖之如何算出如此精密結(jié)果，《隋書·律歷志》寫道：“所著之書，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理”?！毒Y術(shù)》失傳了，沒有任何史料流傳下來。史學(xué)家認為，祖沖之除開繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間?！毒Y術(shù)》的另一貢獻是祖氏原理：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因為1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598－1647年）獨立提出，對微積分的建立有重要影響。在數(shù)學(xué)成就方面，整個唐代卻沒有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)（604－672年）等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書》（約656年），即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》（劉徽）、《孫子算經(jīng)》（約成書于公元400年，內(nèi)有“物不知數(shù)”問題）、《夏候陽算經(jīng)》（成書于公元6、7世紀，內(nèi)有“百雞問題”：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經(jīng)》（張邱建，北魏清河（今邢臺市清河縣）人，約成書于公元466－485年間）、《綴術(shù)》（祖沖之）、《五曹算經(jīng)》（北周甄鸞（字叔遵，河北無極人）著）、《五經(jīng)算經(jīng)》（北周甄鸞著）和《緝古算經(jīng)》（約成書于626年前后，唐王孝通，內(nèi)有三次方程及其根，但沒有解題方法）。十部算經(jīng)對繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國數(shù)學(xué)發(fā)展的水平，是當(dāng)時科舉考試的必讀書（公元587年隋文帝開創(chuàng)中國的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。3、中算發(fā)展的第三次高峰：數(shù)學(xué)全盛時期社會背景：公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國（907－960年）割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到了廣泛應(yīng)用。雕版印書的發(fā)達，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明（平民發(fā)明家畢升總結(jié)了歷代雕版印刷的豐富的實踐經(jīng)驗，經(jīng)過反復(fù)試驗，制成了膠泥活字，實行排版印刷，完成了印刷史上一項重大的革命，關(guān)于畢升的生平事跡，人們卻一無所知，幸虧畢升創(chuàng)造活字印刷術(shù)的事跡，比較完整地記錄在北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢溪筆談》里），給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國封建社會發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達到了鼎盛時期。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進的數(shù)學(xué)計算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產(chǎn)。下面介紹宋元時期的一些計算技術(shù)。3.1賈憲三角賈憲（約公元11世紀）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細草》的著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開方法”，是中算史上第一個完整、可推廣到任意次方的開方程序，一種非常有效和高度機械化的算法。在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”，因為法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問題》。算術(shù)三角形（利比里亞，1999）。3.2隙積術(shù)沈括（1030－1094年），北宋錢塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032－1227年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過6年的軟禁之苦后，開始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，被英國著名科學(xué)史家李約瑟譽為“中國科學(xué)史的里程碑”。他對數(shù)學(xué)的主要成就有兩項，會圓術(shù)（解決由弦求孤的問題）和隙積術(shù)（開創(chuàng)研究高階等差級數(shù)之先河）。3.3天元術(shù)李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問。1248年撰成代數(shù)名著《測圓海鏡》，該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，稱未知數(shù)為天元，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說是符號代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負術(shù)”中云：“正算赤，負算黑”，李冶感到用筆記錄時換色的不便，便在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數(shù)?！胺e財千萬，不如薄技在身”。李冶的天元術(shù)列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4大衍術(shù)秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》，內(nèi)容分為九類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類，其中有兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位?！稊?shù)書九章》是我國古算中最早用圓圈Ο表示0號的著作。一是發(fā)展了一次同余組解法，創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”（一種解一次同余式的一般性算法程序，現(xiàn)稱中國剩余定理，所謂“求一”，通俗他說，就是求“一個數(shù)的多少倍除以另一個數(shù)，所得的余數(shù)為一”）的一般解法。中算家對于一次同余式問題解法最早見于《孫子算經(jīng)》（約公元400年）中的“物不知數(shù)問題”（亦稱“孫子問題”）：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？?！秾O子算經(jīng)》給出的答案是23，但其算法很簡略，未說明其理論根據(jù)。秦九韶在《數(shù)書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盤書》中給出了兩個一次同余問題，但沒有一般算法，1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707－1783年）和1801年德國數(shù)學(xué)家高斯（1777－1855年）才對一次同余組進行了深入研究，重新獲得與中國剩余定理相同的結(jié)果。二是總結(jié)了高次方程數(shù)值解法，將賈憲的“增乘開方法”推廣到了高次方程的一般情形，提出了相當(dāng)完備的“正負開方術(shù)”（現(xiàn)稱秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼（1765－1822年）才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無理根的近似值問題，而1819年英國數(shù)學(xué)家霍納（1786－1837年）才提出與“增乘開方法”演算步驟相同的算法，西方稱霍納法。3.5垛積術(shù)楊輝（公元13世紀），南宋錢塘（今浙江杭州）人，曾做過地方官，足跡遍及錢塘、臺州、蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻是“垛積術(shù)”，這是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。3.6四元術(shù)朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當(dāng)時的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時期，朱世杰在經(jīng)過長期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。中國數(shù)學(xué)自晚唐以來不斷發(fā)展的簡化籌算的趨勢有了進一步的加強，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及，南宋時期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學(xué)術(shù)成就而論，《四元玉鑒》遠超《算學(xué)啟蒙》，它是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標志，主要貢獻有四元術(shù)和招差術(shù)（高次內(nèi)插公式）。四元術(shù)是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數(shù)最多可達四個，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會元”，其中四元布列意為即元氣（常數(shù)項）居中，天元（未知數(shù)x）于下，地元（未知數(shù)y）于左，人元（未知數(shù)z）于右，物元（未知數(shù)u）于上，所以上述方程指“”。朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說道：《四元玉鑒》，其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮。清代數(shù)學(xué)家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》中說：漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。美國著名科學(xué)史家薩頓（1884－1956年）說：朱世杰是漢民族，他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家。3.7內(nèi)插法郭守敬（1231－1316年），順德邢臺（今河北邢臺）人，元代大天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、水利專家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監(jiān)事和昭文館大學(xué)士等官職。與太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法的精華，運用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就（包括沈括的會圓術(shù)），使用了三次內(nèi)插公式，在1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時歷》。設(shè)定一年為365.2425天，比地球繞太陽一周的實際運行時間只差26秒，早于歐洲1582年開始使用的“格里歷”300年，使用時間長達363年（1281－1643年），中國古代的歷法也發(fā)展到了高峰。此外，1276年，郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了“景符”測影器，制造了世界聞名的簡儀、高表、窺（kuí）幾、仰儀、日晷（guǐ）、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封觀星臺留存至今。古希臘數(shù)學(xué)以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。這一時期創(chuàng)造的宋元算法，如隙積術(shù)、大衍術(shù)、開方術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位。4、中算的衰落朱世杰可以被看作是中國宋元時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物，是中國以籌算為主要計算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說是宋元（960－1368年）數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀中、后葉，明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，在國家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明初起300余年內(nèi)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退，致使明代大數(shù)學(xué)家看不懂宋元重要數(shù)學(xué)成就。明清兩朝（1368－1911年）共543年，不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在18世紀中葉“乾嘉學(xué)派”重新發(fā)掘研究以前，像“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹長期失傳、無人通曉。中國與西方科學(xué)發(fā)展示意圖。思考題簡述劉徽的數(shù)學(xué)貢獻。2、用數(shù)列極限證明：圓內(nèi)椄正6?2^{n}邊形的周長的極限是圓周長。3、《九章算術(shù)》在中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和意義如何？4、試比較阿基米德證明體積計算公式的方法與中國古代數(shù)學(xué)家的球體積計算公式的推導(dǎo)方法的異同。5、更精確地計算圓周率是否有意義？談?wù)勀睦碛伞?、分析宋元時期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會條件。第四講：中世紀的東西方數(shù)學(xué)II主要內(nèi)容：印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀的歐洲數(shù)學(xué)，簡述了10位科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、印度數(shù)學(xué)（公元5－12世紀）背景：古印度簡況印度古文明的歷史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大約在公元前2000年紀中葉出現(xiàn)在印度西北部，逐漸向南擴張。雅利安（梵（fàn）文，原意是“高貴的”或“土地所有者”）人入侵印度，征服了土著居民達羅毗荼人，影響逐漸擴散到整個印度，在到達以后的第一個千年里，創(chuàng)造了書寫和口語的梵文，在印度創(chuàng)立了更為持久的文明，印度土著文化從此衰微不振。吠陀教也是雅利安人創(chuàng)造的，這是印度最古老而又有文字記載的宗教?？梢哉f，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵語之上。史前時期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民開始使用文字；哈拉帕文化（1922年印度哈拉帕地區(qū)發(fā)掘發(fā)現(xiàn)）：前2300－前1750年，印度河流域出現(xiàn)早期國家；早期吠陀時代：前1500－前900年，前1500年左右，吠陀時代開始，印度文明的中心漸次由西向東推進到恒河流域，后雅利安人侵入印度；后期吠陀時代：前900－前600年，雅利安人的國家形成，婆羅門教形成；列國時代：前6－前4世紀，摩揭陀國在恒河流域中部稱霸，開始走上統(tǒng)一北印度的道路，佛教產(chǎn)生；帝國時代：前4－公元4世紀，從孔雀王朝到貴霜帝國；印度歷史上曾出現(xiàn)過強盛的王朝，如孔雀王朝（前324－前187年）、笈多王朝（公元320－540年），但總體而言，整個古代和中世紀，富庶的南亞次大陸幾乎不斷地處于外族的侵擾之下，如波斯帝國、馬其頓帝國、貴霜帝國的入侵及匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占，所以古代印度文化不可避免地呈現(xiàn)出多元復(fù)雜的背景，最顯著的特色是其宗教性。印度的宗教主要是婆羅門教、印度教，梵天是婆羅門教、印度教的創(chuàng)造神。婆羅門教是印度古代宗教之一，起源于公元前2000年的吠陀教，形成于公元前7世紀。公元前6世紀－公元4世紀是婆羅門教的鼎盛時期，公元4世紀以后，由于佛教和耆（qí）那（梵文，本意“勝利者”或“征服者”）教的發(fā)展，婆羅門教開始衰弱。公元8、9世紀，婆羅門教吸收了佛教和耆那教的一些教義，結(jié)合印度民間的信仰，經(jīng)商羯羅改革，逐漸發(fā)展成為印度教。印度教與婆羅門教沒有本質(zhì)上的區(qū)別，其教義基本相同，都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神，主張善惡有報、人生輪回，輪回的形態(tài)取決于現(xiàn)世的行為，只有達到“梵我同一”方可獲得解脫，修成正果。印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時期（約公元前3000－前1400年）、吠陀時期（約公元前10－前3世紀）、悉檀多時期（公元5－12世紀）。1.1吠陀時期（公元前10－前3世紀）《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意為知識、光明）是印度雅利安人的作品，成書于公元前15－前5世紀，歷時1000年左右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》（前8－前2世紀）是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計與測量的部分（釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚佛教時期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達摩·悉達多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛），包含幾何、代數(shù)知識，如畢達哥拉斯定理、圓周率的近似值等。阿育王（在位年代約為公元前268－前232年）是印度第一個信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊爾，1996）記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。公元前2世紀至公元后3世紀的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料主要是1881年發(fā)現(xiàn)的書寫在樺樹皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利當(dāng)時和古代大部分時間屬于印度，今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊），其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分數(shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤計算、比例算法、級數(shù)求和、代數(shù)方程等，出現(xiàn)了完整的十進制數(shù)碼，其中有“?”（點）表示0，后來逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的“0”，這一過程至遲于公元9世紀已完成，有公元876年的“瓜廖爾石碑”為證，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明。印度頭等重要的天文學(xué)著作，無名氏著的《蘇利耶歷數(shù)全書》（梵文，意思是太陽的知識，相傳為太陽神蘇利耶所著）大約是公元5世紀所寫（1860年被譯為英文）。印度數(shù)學(xué)從這個時期開始對天文學(xué)比對宗教更有用。1.2“悉檀多”時期（公元5世紀－12世紀）悉檀多是梵文，佛教術(shù)語，為“宗”或“體系”之意，意譯為“歷數(shù)書”。這是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時期，是以計算為中心的實用數(shù)學(xué)的時代，數(shù)學(xué)貢獻主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家。1.2.1阿耶波多（公元476－約550年）在印度的科學(xué)史上有重要的影響的人物，“阿耶波多號”人造衛(wèi)星（印度，1975）。最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》（圣使天文書）傳世（相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代），最突出之處在于對希臘三角學(xué)的改進,制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的“庫塔卡”（原意為“粉碎”）法。1.2.2婆羅摩笈多（598－約665年）印度古天文臺：烏賈因天文臺。在這段時間（中國的隋唐時期），整個世界（無論東方還是西方）都沒有產(chǎn)生一個大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺工作，在望遠鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》（宇宙的開端），這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分數(shù)成就十分可貴，比較完整地敘述了零的運算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。1.2.3婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）印度的第二顆人造衛(wèi)星“婆什迦羅號”（1979）。印度古代和中世紀最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德爾，成年后來到烏賈因天文臺工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來還做了這家天文臺的臺長。古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年，中國的南宋時期），其中有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》?！端惴ū驹础分饕接懘鷶?shù)問題?！独蚶值佟罚ㄔ狻懊利悺保囊粋€印度教信徒的祈禱開始展開，講的是算術(shù)問題，流傳著一個浪漫的故事?！独蚶值佟分械囊粋€算術(shù)問題：帶著微笑眼睛的美麗少女，請你告訴我，按照你的理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？根據(jù)反演法，從2這個數(shù)開始回推，于是（2?10－8）^2＝144，144＋52＝196，＝14，14?（3/2）?7?（4/7）/3=28，答案是28。由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來文化影響較深，但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計算為中心的實用化特點。現(xiàn)代初等算術(shù)運算方法的發(fā)展，起始于印度，可能在大約10、11世紀，它被阿拉伯人采用，后來傳到歐洲，在那里，它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀歐洲算術(shù)家們的充分注意。與算術(shù)和代數(shù)相比，印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外，印度人用詩的語言來表達數(shù)學(xué)，他們的著作含糊而神秘（雖然發(fā)明了零號），且多半是經(jīng)驗的，很少給出推導(dǎo)和證明。2、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（公元8－15世紀）背景：阿拉伯簡況阿拉伯帝國的興盛被認為是人類歷史上最精彩的插曲之一，這當(dāng)然與先知穆罕默德（公元570－632年）的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當(dāng)時是一個遠離商業(yè)、藝術(shù)和文化中心的落后地區(qū)，穆罕默德在極其艱苦的條件下長大成人。25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經(jīng)濟狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆罕默德領(lǐng)悟到有且只有一個全能的神主宰世界，并確信真主安拉選擇了他作為使者，在人間傳教。穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年一個以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國家出現(xiàn)于阿拉伯半島。這就是伊斯蘭教的來歷，它在阿拉伯語里的意思是“順從”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服從先知的人）。四大哈里發(fā)時期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四個繼任者，哈里發(fā)為阿拉伯文的音譯，意為真主使者的“繼承人”。以“圣戰(zhàn)”為名進行大規(guī)模的武力擴張，為阿拉伯帝國的建立奠定了基礎(chǔ)。大約在650年，依據(jù)穆罕默德和他的信徒所講的啟示輯錄而成的《古蘭經(jīng)》（伊斯蘭教的最根本經(jīng)典，伊斯蘭教義的最高準則和綱領(lǐng)，伊斯蘭教法的立法依據(jù)，由先知穆罕默德從610－632年歷時22年的傳教過程中陸續(xù)頒布的）問世，被穆斯林認為是上天的啟示。《圣訓(xùn)》（穆罕默德闡釋《古蘭經(jīng)》和實踐伊斯蘭教理的言行錄）中說：學(xué)問雖遠在中國，亦當(dāng)求之。倭（wō）馬亞王朝時期（661－750年）：主要支持者是敘利亞和埃及的大貴族，因此他們把首都遷至大馬士革，遵奉伊斯蘭教的遜尼派（正統(tǒng)派），崇尚白色，中國史籍稱“白衣大食”。倭馬亞王朝發(fā)動大規(guī)模的對外戰(zhàn)爭，版圖東起印度西部，西至西班牙，北抵里海和中亞，南達北非，成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國。迄今為止，這可能是人類歷史上最大的帝國。倭馬亞王朝的不斷擴張和森嚴的等級統(tǒng)治逐漸激起了尖銳的階級矛盾。各教派和各族人民的反抗斗爭不斷發(fā)生。在今天的伊朗一帶崛起了一個新的教派——阿拔斯派。他們利用東方各地人民起義的力量推翻了倭馬亞王朝的統(tǒng)治，750年，盛極一時的“白衣大食”滅亡了。阿拔斯王朝時期（750－1258年）：阿拉伯帝國第二個封建王朝，因其旗幟尚黑，中國史籍稱“黑衣大食”。750年，由阿拉伯貴族艾布·阿拔斯（750－754年在位）創(chuàng)建，故名。755年阿拉伯帝國分裂為兩個獨立王國，東部王國阿拔斯王朝762年遷都巴格達，750－842年是帝國的極盛時代，哈里發(fā)哈龍?蘭希（公元786－808年統(tǒng)治巴格達）因《天方夜譚》（又名《一千零一夜》）而為人們所熟知，巴格達成為阿拉伯人創(chuàng)建的“一座舉世無雙的城市”，國際貿(mào)易與文化中心之一，創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期（750－850年）的100年是阿拉伯文化的飛速發(fā)展時期，同時也是譯述活動的繁榮時期，希臘語占首位，其次是古敘利亞語、波斯語、梵語、希伯來語和奈伯特語，許多重要的學(xué)術(shù)著作在政府的規(guī)劃下有組織、有領(lǐng)導(dǎo)地被譯成阿拉伯文，史稱“百年翻譯運動”。9世紀中葉后，王朝進入分裂和衰落時代，1258年蒙古軍隊攻陷巴格達。麥加城大清真寺：伊斯蘭教第一圣寺。阿拉伯人之所以重視天文學(xué)，是因為他們需要知道祈禱的準確時間（每天5次），使廣大帝國內(nèi)的臣民在祈禱時能夠明辨方向（面朝麥加）?？梢哉f，阿拉伯人對數(shù)學(xué)的需要主要是通過天文學(xué)和占星術(shù)（根據(jù)天象來預(yù)卜人間事務(wù)的一種方術(shù)）等。伊斯坦布爾的天文學(xué)家（1971）。9－15世紀阿拉伯科學(xué)繁榮了600年，創(chuàng)立了文化中心巴格達（波斯語，“神賜的禮物”）。公元830年，哈里發(fā)麥蒙（公元809－833年統(tǒng)治巴格達）下令在巴格達建造了智慧宮，這里面有巨大的圖書館、觀象臺、研究院，是一個集圖書館、科學(xué)院和翻譯局于一體的聯(lián)合機構(gòu)，掀起了著名的翻譯運動，包括《原本》、《圓錐曲線》和《天文學(xué)大成》等在內(nèi)的希臘天文、數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯成了阿拉伯文。無論從哪方面來看，它都是公元前3世紀亞歷山大圖書館建立以來最重要的學(xué)術(shù)機關(guān)。很快，它就成為世界的學(xué)術(shù)中心，形成后人所謂的“巴格達學(xué)派”，研究的內(nèi)容包括哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、動物學(xué)、植物學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)、機械、建筑、伊斯蘭教教義或阿拉伯語語法學(xué)，等等。阿拉伯科學(xué)（突尼斯，1980）。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的貢獻，消化希臘數(shù)學(xué)，吸收印度數(shù)學(xué)，對文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)的進步有深刻的影響。最突出的事實：值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上的大量精神財富的保存者，在黑暗時代過去之后，這些精神財富得以傳給歐洲人。2.1早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（8世紀中葉－9世紀）阿爾·花拉子米（783－850年）（蘇聯(lián)，1983），生于波斯北部花拉子模地區(qū)（今烏茲別克境內(nèi)），813年來到巴格達，后成為智慧宮的領(lǐng)頭學(xué)者。820年出版《還原與對消概要》，以其邏輯嚴密、系統(tǒng)性強、通俗易懂和聯(lián)系實際等特點被奉為“代數(shù)教科書的鼻祖”，1140年被羅伯特（英）譯成拉丁文傳入歐洲，成為歐洲延用幾個世紀標準的代數(shù)學(xué)教科書，這也使得花拉子米成為中世紀對歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，這對東方數(shù)學(xué)家來說十分罕見。阿拉伯語的“al-jabr”意為還原，即移項，傳入歐洲后，到14世紀演變?yōu)槔≌Z“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代數(shù)），因此花拉子米的上述著作通常稱為《代數(shù)學(xué)》?？梢哉f，正如埃及人發(fā)明了幾何學(xué)，阿拉伯人命名了代數(shù)學(xué)。《代數(shù)學(xué)》所討論的數(shù)學(xué)問題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問題簡單，但它探討了一般性解法，因而遠比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代數(shù)?！洞鷶?shù)學(xué)》中關(guān)于三項二次方程的求解?；ɡ用椎牧硪槐緯队《扔嬎惴ā?，系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進制記數(shù)法，12世紀，這本書便傳入歐洲并廣為傳播（其拉丁文手稿現(xiàn)存于劍橋大學(xué)圖書館），所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。976年的西班牙數(shù)碼。印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼用較少的符號，最方便地表示一切數(shù)和運算，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來很大的方便，是一一項卓越的偉大貢獻。它傳入歐洲以后，加快了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家對這套集體智慧的發(fā)現(xiàn)贊美不絕。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749－1827年）寫道：“用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以至我們忽視了它的真正偉績，簡直無法估計它的奇妙程度。而當(dāng)我們想到它竟逃過古代希臘最偉大的阿基米德和阿波羅尼奧斯兩位天才思想的關(guān)注時，我們更感到這成就的偉大了?！庇《龋⒗?dāng)?shù)碼13世紀傳入我國，是元朝伊斯蘭教徒從當(dāng)時西方帶進來的一套阿拉伯?dāng)?shù)碼，中國人沒有采用它。公元16世紀，西洋歷算書大量輸入我國，原著上的印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，我國一律用中國數(shù)碼一、二、三等改譯出來。光緒十一年（公元1885年）上海出版了一本用上?？谝糇g出的西算啟蒙書，書中正式出現(xiàn)了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字通用原型。1892年，美國傳教士狄考文（W.M.Calvin,1836－1908年）和清代鄒立文合譯《筆算數(shù)學(xué)》一書，首次正式采用了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字是按書籍直寫的。直到1902－1905年，中國數(shù)學(xué)教科書或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，并且一律與西洋算書一樣橫排。阿拉伯的三角學(xué)。阿爾·巴塔尼（858－929年），出生于哈蘭（今土耳其東南部），對希臘三角學(xué)系統(tǒng)化的工作，最重要的著作《歷數(shù)書》（或《天文論著》、《星的科學(xué)》）中發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個經(jīng)常變動的橢圓，創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果，對中世紀歐洲影響最大的天文學(xué)家。2.2中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（10－12世紀）奧馬·海雅姆（1048－1131