高中數(shù)學(xué)《排列與排列數(shù)》教案與分層同步練習(xí)

《6.2.1排列與排列數(shù)》教案

（第一課時(shí)排歹!J）

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1通.過(guò)實(shí)例理解排列的概念.通過(guò)學(xué)習(xí)排列的概念，進(jìn)一步提

2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

“排列三”是中國(guó)福利彩票的一種，它是使用搖獎(jiǎng)機(jī)、搖獎(jiǎng)球進(jìn)行搖獎(jiǎng)的，“排

列三”，“排列五”共同搖獎(jiǎng)，一次搖出5個(gè)號(hào)碼，“排列三”的中獎(jiǎng)號(hào)碼為當(dāng)

期搖出的全部中獎(jiǎng)號(hào)碼的前3位，“排列五”的中獎(jiǎng)號(hào)碼為當(dāng)期搖出的全部中

獎(jiǎng)號(hào)碼，每日進(jìn)行開(kāi)獎(jiǎng).

問(wèn)題福彩3D即“排列三”搖出的號(hào)碼的總的結(jié)果數(shù)是多少？

提示以第1位數(shù)為例，第1位的獎(jiǎng)號(hào)是從0到9這10個(gè)數(shù)字中搖出一個(gè)，每

個(gè)數(shù)字都有相同概率搖出，所以第1位上就有10種可能，同理第2位、第3位

都各有10種可能，前3位總共就有1000種組合方法.

A知識(shí)梳理

排列的定義

排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序”

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（mWn）個(gè)元素，并按照一定的順序排成一

列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

拓展深化

［微判斷］

1.在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.（X）

提示在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列與原來(lái)的排列不同.

2.在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).（J）

3.從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列.（X）

提示從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一

個(gè)排列.

4.從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽的所有不同的選法是一

個(gè)排列問(wèn)題.（J）

［微訓(xùn)練］

1.有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則送法共有

（）

A.5種B.3種

C.60種D.15種

解析從5本不同的書(shū)中選出3本分別送給3名同學(xué)的一種送法，對(duì)應(yīng)于從5

個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此，共有送法5X4X3=60（種）.

答案C

2.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有種不同的選法（用數(shù)字

作答）.

解析從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，即從5個(gè)不同元素中選出2個(gè)元

素進(jìn)行排列，不同的選法種數(shù)為5X4=20.

答案20

［微思考］

用1,2,3這三個(gè)數(shù)字共可以排成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？123與321是

不是相同的排列？

提示共可以得到6個(gè)三位數(shù)，123與321是不同的排列，只有兩個(gè)排列元素

相同，順序也相同時(shí)，才是同一個(gè)排列.

【課堂互動(dòng)】

題型一排列的概念

【例1】判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題.

(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的

票價(jià)相同)；

⑵選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；

⑶選2個(gè)小組去種菜；

(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；

(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；

(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信.

解(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)

題，所以不是排列問(wèn)題.

⑵植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.

(3),(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題.

(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)

題，屬于排列問(wèn)題.

(6)A給B寫(xiě)信與B給A寫(xiě)信是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.

所以在上述各題中(2),(5),(6)屬于排列問(wèn)題.

規(guī)律方法判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的方法

［變換元素的位置)

［排列問(wèn)題)［非排列問(wèn)題)

【訓(xùn)練11下列問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？

(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其結(jié)果有多少種不同的可

能？

(2)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其結(jié)果有多少種不同的可

能？

⑶會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排

3位客人入座，又有多少種方法？

解(1)不是；(2)是；(3)第一問(wèn)不是，第二問(wèn)是.

理由：由于加法運(yùn)算滿足交換律，所以選出的兩個(gè)元素做加法求結(jié)果時(shí)，與兩

個(gè)元素的位置無(wú)關(guān)，但列除法算式時(shí)，兩個(gè)元素誰(shuí)作除數(shù)，誰(shuí)作被除數(shù)不一

樣，此時(shí)與位置有關(guān).選出3個(gè)座位與順序無(wú)關(guān)，“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”，

與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排3位客人入座是排列問(wèn)題.

題型二排列的列舉問(wèn)題

【例2】（1）從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位

數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？

⑵寫(xiě)出從4個(gè)元素a,b,c,d中任取3個(gè)元素的所有排列.

解（1）由題意作"樹(shù)狀圖”，如下.

1234

/K/1\/1\/N

234134124123

故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,

共有共個(gè).

⑵由題意作“樹(shù)狀圖”，如下.

cdb（Ibccdadacbdadabbeacab

故所有的排列為abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,

bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,eda,edb,dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

規(guī)律方法利用“樹(shù)狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問(wèn)題的適用范圍及策略

⑴適用范圍：“樹(shù)狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問(wèn)題時(shí)，是一種比較有效

的表示方式.

（2）策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)

準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)

排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹(shù)狀圖寫(xiě)出排列.

【訓(xùn)練2】寫(xiě)出A,B,C,D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可

能站法.

解由題意作“樹(shù)狀圖”，如下，

ZBC

4\/4/\

CDABAC

IIZII

Z/II

CDAABZDIABCA

IIIIIIIIII

DCDCDBDCBB

故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,

DABC,DACB,DBAC,DCAB.

題型三排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例3]用具體數(shù)字表示下列問(wèn)題.

⑴從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，其商的個(gè)數(shù)；

（2）由0,1,2,3組成的能被5整除且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)；

（3）有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大

學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，其分配方案的個(gè)

數(shù).

解（1）從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商

共有100X99=9900（個(gè)）.

⑵因?yàn)榻M成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字

一定是“0"，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即

可，共有3X2X1=6（個(gè)）.

（3）可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單

位，共有5X4X3X2=120（個(gè)）分配方案.

規(guī)律方法要想正確地表示排列問(wèn)題的排列個(gè)數(shù)，應(yīng)弄清這件事中誰(shuí)是分步的

主體，分清m個(gè)元素和n（m〈n）個(gè)不同的位置各是什么.

【訓(xùn)練3】（1）有7本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共

有多少種不同的送法？

（2）有7種不同的書(shū)，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的

送法？

解（1）從7本不同的書(shū)中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)不同元素中任取

3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有7X6X5=210（種）不同的送法.

（2）從7種不同的書(shū)中買3本書(shū)，這3本書(shū)并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)

數(shù)原理知，共有7X7X7=343（種）不同的送法.

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.排列有兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”.這

里“一定的順序”是指每次取出的元素與它所排的“位置”有關(guān)，所以，取出

的元素與“順序”有無(wú)關(guān)系就成為判斷問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn).

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算

它們的結(jié)果，在這些問(wèn)題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問(wèn)題（）

A.1B.3

C.2D.4

解析因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與

兩數(shù)字位置無(wú)關(guān)，故不是排列問(wèn)題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是

排列問(wèn)題.

答案C

2.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

解析選出兩人，兩人的不同順序都要考慮.

答案C

3.某電視臺(tái)一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個(gè)廣告，其中2個(gè)不同的商業(yè)

廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個(gè)商

業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（）

A.8種B.16種

C.18種D.24種

解析可分三步：第一步，排最后一個(gè)商業(yè)廣告，有2種；第二步，在前兩個(gè)

位置選一個(gè)排第二個(gè)商業(yè)廣告，有2種；第三步，余下的兩個(gè)排公益宣傳廣

告，有2種.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的播放方式共有2X2X2=8（種）.故選

A.

答案A

4.8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有種不同

的種法（用數(shù)字作答）.

解析本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問(wèn)題，所以不同的種法

共有8X7X6X5=1680（種）.

答案1680

5.某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可

以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，則一共可以表示

種不同的信號(hào).

解析第1類，掛1面旗表示信號(hào)，有3種不同方法；

第2類，掛2面旗表示信號(hào)，有3X2=6（種）不同方法；

第3類，掛3面旗表示信號(hào)，有3X2X1=6（種）不同方法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以表示的信號(hào)共有3+6+6=15（種）.

答案15

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.（多選題）下面問(wèn)題中，不是排列問(wèn)題的是（）

A.由1,2,3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

B.從40人中選5人組成籃球隊(duì)

C.從100人中選2人抽樣調(diào)查

D.從1,2,3,4,5中選2個(gè)數(shù)組成集合

解析選項(xiàng)A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān)，選項(xiàng)B,C,D只需取出

元素即可，與元素的排列順序無(wú)關(guān).

答案BCD

2.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為（）

A.6B.4

C.8D.10

解析列‘'樹(shù)狀圖"如下:

甲一乙甲一丙

//

丙乙

\\

乙——甲丙一甲

故共有丙甲乙,丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4種排列方法.

答案B

3.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的不同結(jié)果有（）

A.6個(gè)B.10個(gè)

C.12個(gè)D.16個(gè)

解析不同結(jié)果有4X3=12（個(gè)）.

答案C

4.從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共

可得到lga-lgb的不同值的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.10

C.18D.20

解析lga—lgb=lgp從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,共

1339

有5X4=20（種），其中l(wèi)g§=lg喻=坨勺，故其可得到18種結(jié)果.

答案C

5.四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不

同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.9

C.12D.24

解析組成的四位數(shù)列舉如下：

1012,1021,1102,1120,1201,

1210,2011,2101,2110,共9個(gè).

答案B

二、填空題

6.某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫(xiě)一條畢業(yè)留言，那么

全班共寫(xiě)了條畢業(yè)留言（用數(shù)字作答）.

解析根據(jù)題意，得40X39=1560,故全班共寫(xiě)了1560條畢業(yè)留言.

答案1560

7.2020北京車展期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、

E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為.

解析由題意可知，問(wèn)題為從5個(gè)元素中選3個(gè)元素的排列問(wèn)題，所以安排方

法有5X4X3=60（種）.

答案60

8.有3名大學(xué)畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應(yīng)聘，若每家公司至多招聘一名

新員工，且3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有種

不同的招聘方案（用數(shù)字作答）.

解析將5家招聘員工的公司看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3名

大學(xué)畢業(yè)生，則本題即為從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列問(wèn)題.所以不

同的招聘方案共有5X4X3=60（種）.

答案60

三、解答題

9.判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題：

（1）從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得

多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？

（2）從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開(kāi)座談會(huì)，有多少種不同的抽取方法？

⑶某商場(chǎng)有四個(gè)大門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)去，購(gòu)買物品后再?gòu)牧硪粋€(gè)門(mén)出來(lái)，不同

的出入方式共有多少種？

⑷從集合M={1,2,…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a,b,可以得到多少個(gè)焦

22

點(diǎn)在X軸上的橢圓方程X方V+￡=1?可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線方程

ab

解（1）由于取出的兩數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一數(shù)作縱坐標(biāo)的順

序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問(wèn)題.

(2)因?yàn)槿魏我环N從10名同學(xué)抽取兩人去學(xué)校開(kāi)座談會(huì)的方式不用考慮兩人的

順序，所以這不是排列問(wèn)題.

(3)因?yàn)閺囊婚T(mén)進(jìn)，從另一門(mén)出是有順序的，所以是排列問(wèn)題.

22

⑷第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，第二問(wèn)是排列問(wèn)題.若方程/X+￡V=1表示焦點(diǎn)在x

ab

22

XV

軸上的橢圓，則必有a>b,a,b的大小關(guān)系一定；在雙曲線下一口=1中，不

ab

22

管a>b還是aVb,方程FX—6V=1均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的

ab

雙曲線，故是排列問(wèn)題.

10.京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長(zhǎng)1318公里，途經(jīng)

北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市，設(shè)立包括北京南、天

津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站，計(jì)算鐵路部門(mén)

要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的火車票？

解對(duì)于兩個(gè)火車站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因

為每張票對(duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站，因此，結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中，

每次取出2個(gè)不同元素的排列的個(gè)數(shù)為21X20=420.所以一共需要為這21個(gè)

車站準(zhǔn)備420種不同的火車票.

能力提升

11.將4張相同的博物館的參觀票分給5名同學(xué)，每名同學(xué)至多1張，并且票

必須分完，那么不同的分法的種數(shù)為()

A.5'B.45

C.5X4X3X2D.5

解析由于參觀票只有4張，而人數(shù)為5人，且每名同學(xué)至多1張，故一定有

1名同學(xué)沒(méi)有票.因此從5名同學(xué)中選出1名沒(méi)有票的同學(xué)，有5種選法.又

因?yàn)?張參觀票是相同的，不加以區(qū)分，所以不同的分法有5種.

答案D

12.將A,B,C,D四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在

第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹(shù)狀圖列出所有可能

的排法.

解由題意作“樹(shù)狀圖”，如下:

D\

AC

IA

BAB

I

I—

CBA

Bac

,BCDA,DAAl)CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共

有9種.

創(chuàng)新猜想

13.（多選題）下列問(wèn)題中是排列問(wèn)題的是（）

A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組

B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)

C.從a,b,c,d中選出3個(gè)字母

D.從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)

解析由排列的定義知AD是排列問(wèn)題.

答案AD

14.（多空題）從a,b,c,d,e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成

個(gè)以b為首的不同的排列，它們分別是.

解析畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：

可知共12個(gè)，它們分別是bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,

bea,bee,bed.

答案12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed

第二課時(shí)排列數(shù)

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.

通過(guò)排列數(shù)公式的學(xué)習(xí)，提升數(shù)

2.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用

學(xué)抽象素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng).

排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

【課前預(yù)習(xí)】

新知探究

A情境引入

在上海交通大學(xué)建校120年周年之際，有29位曾是交大學(xué)子的名人大家，要在

慶祝會(huì)上逐一介紹，那么這29位大家的排列順序有多少種？這樣的排列順序問(wèn)

題能否用一個(gè)公式來(lái)表示呢？

問(wèn)題上述情景中的問(wèn)題能否用一個(gè)公式來(lái)表示？

提示上述問(wèn)題情景中的問(wèn)題可以用公式虐來(lái)表示.

A知識(shí)梳理

1.排列數(shù)的定義

從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不

同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A：表示.

2.排列數(shù)公式

注意排列數(shù)公式的特征：m個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積；最大的因數(shù)是n,最小的因數(shù)是

n—m+1

A"=n(n—1)(n—2)???(n—m+1)(n,m￡N*,mWn)=~7----、,.

------------------------(n-m)!

3.全排列

將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的

階乘，用n!表示，于是n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫(xiě)成：A：=n!,另外規(guī)

定，0!=1.

拓展深化

［微判斷］

1.排列與排列數(shù)的含義相同.(義)

提示“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指完成的具體的

一件事，其過(guò)程要先取后排，它不是一個(gè)數(shù)；而排列數(shù)是指完成具體的一件事

的所有方法的種數(shù)，即所有排列的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù).

2.從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列數(shù)為用=24.(J)

［微訓(xùn)練］

1.A；等于()

A.9X3B.93

C.9X8X7D.9X8X7X6X5X4X3

答案C

2.若A；°=10X9X…義5,JJliJm=.

答案6

［微思考］

1.排列數(shù)A；公式的特點(diǎn)是什么？

提示第一個(gè)因數(shù)是n,后面一個(gè)因數(shù)比它前面的一個(gè)少1,最后一個(gè)因數(shù)是n

-m+1,共m個(gè)因數(shù)相乘.

2.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？

提示4X3X2=24(4").

【課堂互動(dòng)】

題型一排列數(shù)公式及應(yīng)用

【例1】(1)用排列數(shù)表示(55—n)(56—n)…(69—n)(nGN*且，n<55)；

2AI+7A：

(2)計(jì)算

Al—A；°

⑶證明A：+1—A：=mA：i.

(1)解因?yàn)?5—n,56—n,…，69—n中的最大數(shù)為69—n,且共有69—n—

(55—n)+1=15(個(gè))元素，

所以(55—n)(56—n)(69—n)=^-n.

2A1+7A；

⑵解

As-A；j

2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

8X7X6X5X4X3><2><1-9X8X7X6X5

8X7X6X5X(8+7)

=8X7X6X5X(24-9)=1

⑶證明法一因?yàn)锳%—A：

(n+l)!n!

(n+1—m)!(n—m)!

n!(n+1

(n-m)!(n+1—m

n!m

----------?---------

(n—m)!n+1-m

=m(n+1-m)!=<I

所以A%—A：=mA『.

法二AM表示從n+1個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列個(gè)數(shù)，其中不含元素a的

有A：個(gè).

含有ai的可這樣進(jìn)行排列：

先排a”有m種排法，再?gòu)牧硗鈔個(gè)元素中取出m—1個(gè)元素排在剩下的m—l

個(gè)位置上，有A『種排法.

故A〉i=mA：i+A；,

所以mA：T=A%—A：.

規(guī)律方法排列數(shù)公式的形式及選擇方法

排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計(jì)

算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進(jìn)行計(jì)算，而要對(duì)含有字母的排

列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證時(shí)，一般用階乘式.

【訓(xùn)練1】不等式￡<6AL的解集為()

A.[2,8]B.[2,6]

C.(7,12)D.{8}

8?R?

解析由AK6Al。得，Q.、<6X?,

(8—x)!?(10—x)!

化簡(jiǎn)得X2—19X+84〈0,

解得7<x<12,①

xW8,

又＜

_x—220,

所以2WxW8,②

由①②及x6N*,得x=8.

答案D

題型二排隊(duì)問(wèn)題

[例2]三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.

(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

(2)如果女生必須全分開(kāi)，可有多少種不同的排法？

(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整

體，這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有就種不同的排法.對(duì)

于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又有A：種不同的排法，因此共有A；?A：=4

320(種)不同的排法.

(2)(插空法)要保證女生全分開(kāi)，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間

留出一個(gè)空位，這樣共有四個(gè)空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)

位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女

生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有虐種不同排

法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)讓三個(gè)女生插入都有

屈種排法，因此共有AM山=14400(種)不同的排法.

(3)法一(位置分析法)因?yàn)閮啥硕疾荒芘排?，所以兩端只能挑選五個(gè)男生中

的兩個(gè)，有片種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種不同的排法，其余六個(gè)位置

都有A；種不同的排法,所以共有用?就=14400（種）不同的排法.

法二（間接法）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有A；種不同的排法，從中扣除

女生排在首位的A；?A；種排法和女生排在末位的A；?A；種排法，但兩端都是女生

的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況

時(shí)又被扣去一次，所以還需加回來(lái)一次，由于兩端都是女生有A”A?種不同的

排法，所以共有A；—2A；?A；+A>A；=14400（種）不同的排法.

法三（元素分析法）從中間六個(gè)位置挑選三個(gè)讓三個(gè)女生排入，有解種不同的

排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余五個(gè)位置又都有點(diǎn)種不同的排法，所以

共有人?您=14400（種）不同的排法.

（4）法一（位置分析法）因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排匀绻孜慌帕四猩?/p>

那么末位就不再受條件限制了，這樣可有A；種不同的排法；如果首位排女

生，有A：種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有?就種不同的排法，

因此共有A；?A；+A；?As?A；=36000（種）不同的排法.

法二（間接法）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有就種不同的排法，從中扣除

兩端都是女生的排法用?您種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有

就一A”A；=36000（種）不同的排法.

規(guī)律方法排隊(duì)問(wèn)題的相鄰、不相鄰問(wèn)題的解題策略

排隊(duì)問(wèn)題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰等問(wèn)題.

（1）對(duì)于相鄰問(wèn)題，可采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素視為一個(gè)整體進(jìn)行

排列.

（2）對(duì)于不相鄰問(wèn)題，可采用“插空法”解決，即先排其余的元素，再將不相鄰

的元素插入空中.

【訓(xùn)練2】分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù).

（1）6名學(xué)生排3排,前排1人，中排2人，后排3人；

（2）6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；

（3）6人排成一排，甲、乙不相鄰.

解（1）分排與直排一一對(duì)應(yīng)，故排法種數(shù)為A；=720.

⑵甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有A：種選法，然后其他5人

排，有A荊排法，故排法種數(shù)為A氏=480.

（3）甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已

排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有A氏=480（種）排法.

題型三定序問(wèn)題

【例3】五個(gè)人排成一排，求滿足下列條件的不同排列各有多少種.

（1）A,B,C三人左中右順序不變（不一定相鄰）；

（2）A在B的左邊且C在D的右邊（可以不相鄰）.

解（1）首先五個(gè)人站成一排，共有內(nèi)種排法，其中A,B,C三人的全排列有A：

A5

種排法，而A,B,C從左到右的順序只是其中一種，所以滿足條件的排法共消

A3

=20（種）.

（2）同（1）,不過(guò)此題中A和B,C和D被指定了順序，則滿足條件的排法共

A5

備=30（種）?

規(guī)律方法在有些排列問(wèn)題中，某些元素的前后順序是確定的（不一定相

鄰）.解決這類問(wèn)題的基本方法有兩個(gè)：

（1）整體法，即若有m+n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素之間的先后順序確定

不變，則先將這m+n個(gè)元素排成一列，有用曹種不同的排法；然后任取一個(gè)排

列，固定其他n個(gè)元素的位置不動(dòng)，把這m個(gè)元素交換順序，有A：種排法，其

中只有一個(gè)排列是我們需要的，因此共有早種滿足條件的不同排法；

（2）插空法，即m個(gè)元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個(gè)元素，只有

一種排法，然后把剩下的n個(gè)元素分類或分步插入由以上m個(gè)元素形成的空

中.

【訓(xùn)練3】（1）7人排成一列，甲必須在乙的后面（可以不相鄰），有

種不同的排法.

⑵用1,2,3,4,5,6,7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若1,3,5,7的順

序一定，則有個(gè)七位數(shù)符合條件.

解析（1）7人排隊(duì)，2人順序固定，.?.共有*=2520（種）不同的排法.

（2）若1,3,5,7的順序不定，有A：=24（種）排法，故1,3,5,7的順序一定

的排法數(shù)只占總排法數(shù)的《，故有，A；=210（個(gè)）七位數(shù)符合條件.

答案（1）2520（2）210

【素養(yǎng)達(dá)成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

2.排列數(shù)公式有兩種形式，可以根據(jù)要求靈活選用.

3.求解排列問(wèn)題的主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁

捆綁法

元素的內(nèi)部排列

對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

插空法

元素插在前面元素排列的空當(dāng)中

定序問(wèn)題對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元

除法處理素的全排列

間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.考生甲填報(bào)某高校專業(yè)意向，打算從5個(gè)專業(yè)中挑選3個(gè)，分別作為第一、

第二、第三志愿，則不同的填法有（）

A.10種B.60種

C.125種D.243種

解析依題意，滿足題意的不同的填法共有用=60（種），選B.

答案B

2.六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同

的排法共有（）

A.192種216種

C.240種288種

解析根據(jù)甲、乙的位置要求分為兩類：第一類：甲在最左端，有解=

5X4X3X2X1=120（種）方法；第二類：乙在最左端，有4A；=4X4X3X2X1

=96（種）方法.

所以共有120+96=216（種）方法.

答案B

3.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙必須排在一起的不同排法共有（）

A.720種B.360種

C.240種D.120種

解析將甲、乙兩人視為1人與其余4人排列，有虐種排列方法，甲、乙兩人

可互換位置，所以總的排法有A”A：=240（種）.

答案C

4.將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，

如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是.

解析5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號(hào)，方法數(shù)為：1

和2,2和3,3和4,4和5,四種連號(hào)，其他號(hào)碼各為一組，分給4人，共有

4XA：=96（種）.

答案96

5.解方程ALH=140A：.

解根據(jù)題意，原方程等價(jià)于

「2x+124,

x23,

xGN*,

、(2x4-1)?2x?(2x-l)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),

「x23,

xGN\

(2x+l)(2x-l)=35(x-2)，

整理得44-35x+69=0(x23,xGN*),

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.4*5*6........(n—l)?n等于()

A.A：B.AL

C.n!-4!D.A：-3

解析因?yàn)锳：=n(n—1)(n—2)…(n—m+1),所以A：7=n(n—1)(n—2)…[n—

(n—3)+1]=n?(n—1)(n—2)........6,5,4.

答案D

2.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，

那么不同的排法有()

A.60種B.48種

C.36種D.24種

解析把A,B視為一人，且B排在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，故

有A；=24(種)排法.

答案D

3.某班級(jí)從A,B,C,D,E,F六名學(xué)生中選四人參加4X100m接力比賽，其

中第一棒只能在A,B中選一人，第四棒只能在A,C中選一人，則不同的選派

方法共有()

A.24種B.36種

C.48種D.72種

解析若第一棒選A,則有A：種選派方法；若第一棒選B,則有2A汗中選派方

法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有用+2解=3后=36(種)選派方法.

答案B

4.已知A%—A：=10,則n的值為()

A.4B.5

C.6D.7

解析因?yàn)锳'1一A：=10,則(n+l)n—n(n—1)=10,整理得2n=10,即n=5.

答案B

5.由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶

數(shù)共有（）

A.60個(gè)B.48個(gè)

C.36個(gè)D.24個(gè)

解析由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有2A：=

48,大于50000的偶數(shù)共有2A；=12,所以小于50000的偶數(shù)共有48—12=

36（個(gè)）.

答案C

二、填空題

6.從班委會(huì)的5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育

委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種（用

數(shù)字作答）.

解析文娛委員有3種選法，則安排學(xué)習(xí)委員、體育委員有￡=12（種）方

法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3X12=36（種）選法.

答案36

7.不等式A：—nV15的解集為.

解析由不等式A：—nV15,得n（n—1）—n—15V0,

整理得「一21）—15<0,解得一3VnV5.

又因?yàn)閚22且n6N*,所以n=2,3,4.

答案｛2,3,4）

8.用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)

夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的五位數(shù)有種.

解析分兩類：0夾在1,3之間有A混種排法，0不夾在1,3之間又不在首位

有A；A雙A荊排法.所以一共有A混+A；磔擄=28（種）排法.

答案28

三、解答題

9.一場(chǎng)晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單.

（1）3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開(kāi)始和結(jié)尾，有多少種排法？

（2）前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？

解（1）先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置有A；種排法，再將剩余的

3個(gè)演唱節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間6個(gè)位置上有就種排法，故共有不同排法

A次=14400（種）.

（2）先不考慮排列要求，有用種排法，其中前四個(gè)節(jié)目沒(méi)有舞蹈節(jié)目的情況，可

先從5個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在前四個(gè)位置，然后將剩余四個(gè)節(jié)目排列在

后四個(gè)位置，有A氏種排法，所以前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有虐一A：A；=

37440（種）.

10.4個(gè)男同學(xué)和3個(gè)女同學(xué)（其中含甲、乙、丙）站成一排.

（1）3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？

（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

（3）甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？

解（1）3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，共有A；種排法；

由于3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，則可視排好的女同學(xué)為一個(gè)整體，再與4個(gè)男

同學(xué)排隊(duì)，應(yīng)有虐種排法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，有A；內(nèi)=720（種）不同的排法.

（2）先將男同學(xué)排好，共有A；種排法，再在這4個(gè)男同學(xué)的中間及兩頭的5個(gè)空

當(dāng)中插入3個(gè)女同學(xué)，則有用種方法.

故符合條件的排法共有A：A；=1440（種）.

（3）先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A：種排法；

由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，有屐種排法；

最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的中間及兩頭的5

個(gè)空當(dāng)中，則有屋種排法.

所以共有A：A揮=960（種）不同的排法.

能力提升

11.旅游體驗(yàn)師小李受某旅游網(wǎng)站的邀約，決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)

進(jìn)行體驗(yàn)式旅游，若甲景區(qū)不能最先旅游，乙景區(qū)和丁景區(qū)不能最后旅游，則

小李旅游的方法數(shù)為（）

A.24B.18

C.16D.10

解析第一類，甲是最后一個(gè)體驗(yàn)，則有A：種方法；第二類，甲不是最后一個(gè)

體驗(yàn)，則有A火種方法，所以小李旅游的方法共有房+A氏=10(種)，故選D.

答案D

12.7名班委中有A,B,C三人，有7種不同的職務(wù)，現(xiàn)對(duì)7名班委進(jìn)行職務(wù)

具體分工.

(1)若正、副班長(zhǎng)兩職只能從A,B,C三人中選兩人擔(dān)任，有多少種分工方案？

(2)若正、副班長(zhǎng)兩職至少要選A,B,C三人中的一人擔(dān)任，有多少種分工方

案？

解(1)先排正、副班長(zhǎng)有A：種方法，再安排其余職務(wù)有相種方法，依分步乘法

計(jì)數(shù)原理，知共有屈點(diǎn)=720(種)分工方案.

(2)7人中任意分工方案有A；種，其中A,B,C三人中無(wú)一人任正、副班長(zhǎng)的分

工方案有A譚種，因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班長(zhǎng)的方案有A；一A；

As=3600(種).

創(chuàng)新猜想

13.(多選題)下列等式成立的是()

A.An=(n—2)AnB.-A：+i=A：+；

n

C.nA：—：=A：D.A：一1=A：

n—m

解析A中右邊=(n—2)(n—l)n=A：=左邊；

C中左邊=n(n-l)(n-2)X…X2=n(n-1)(n—2)X…X2X1=A：=右邊；

n(n—1)1n?

D中左邊------若————1廠=用=右邊，只有B不正確.

答案ACD

14.(多空題)由四個(gè)不同的數(shù)字1,2,4,x組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

(1)若x=9,則其中能被3整除的共有個(gè)；

(2)若x=0,則其中的偶數(shù)共有個(gè)；

(3)若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252,則x=.

解析(1)因?yàn)楦魑粩?shù)字之和能被3整除時(shí)，該數(shù)就能被3整除，所以這種三位

數(shù)只能由2,4,9或1,2,9排列組成，所以共有2XA：=12(個(gè)).

(2)偶數(shù)數(shù)字有3個(gè)，個(gè)位數(shù)必是一個(gè)偶數(shù)，同時(shí)0不能在百位，可分兩類考

慮:①0在個(gè)位的，有用=6個(gè).

②個(gè)位是2或4的，有A；XA；XA；=8個(gè).

所以偶數(shù)共有6+8=14(個(gè)).

(3)顯然x#0,因?yàn)?,2,4,x在各個(gè)數(shù)位上出現(xiàn)的次數(shù)都相同，且各自出現(xiàn)

A”A漱，

所以這樣的數(shù)字之和是(l+2+4+x)?AJ-AL

即(l+2+4+x)?A：?相=252,

所以7+x=14,所以x=7.

答案⑴12(2)14(3)7

《6.2.1排列與排列數(shù)》分層同步練習(xí)

【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練】

L等等于(

)

A.12B.24C.30D.36

畫(huà)粵=7X6衰6A缸36.

A5AS

答案|D

2.6本不同的書(shū)擺放在書(shū)架的同一層上,要求甲、乙兩本書(shū)必須擺放在兩端,丙、

丁兩本書(shū)必須相鄰,則不同的擺放方法有()

A.24種B.36種C.48種D.60種

麗第1步，甲、乙兩本書(shū)必須擺放在兩端，有A纖中不同的擺放方法；

第2步，丙、丁兩本書(shū)視為整體與其他兩本共三本,有A,A：種不同的擺放方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有AgA§A4=24(種)不同的擺放方法,故選A.

3.已知A"i—Ak=10,則n的值為()

A.4B.5C.6D.7

解析|由A"1-A^=10,得（n+l）n-n（nT）=10,解得n=5.

U]B

4.將4名司機(jī)、4名售票員要分配到4輛汽車上,每輛汽車上有一名司機(jī)和一名

售票員，則可能的分配方法有（）

A.Ag種B.Ag種C.A2A々種D.2A々種

而司機(jī)、售票員各有A1種安排方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有種不同的

安排方法.

答案|c

5.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.

若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，

則不同的安排方案共有（）

A.504種B.960種

C.1008種D.1108種

函甲、乙相鄰的所有方案有A如旨=1440（和1）.其中滿足甲、乙兩人值班安排在

相鄰兩天旦丙在10月1日值班的方案有A±A5A%240（種）；

滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方案有

AgA,A；=240（種）;

滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班

的方案有A/A§A*48（種）.

故符合題設(shè)要求的不同安排方案有1440-2X240+48=1008（種），故選C.

ggc

6.由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成能被5整除，且無(wú)重復(fù)數(shù)字的不同的五位數(shù)有

（）

A.（2A1-A1）個(gè)B.（2At-Ag）個(gè)

C.2Ag個(gè)D.5Ag個(gè)

畫(huà)能被5整除，則個(gè)位需為5或0,有2Ag個(gè),但其中個(gè)位是5的含有0在首位

的排法有A%個(gè),故共有（2At-A1）個(gè).

7.某一天上午的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育共4節(jié)課,如果第一節(jié)不

排體育,最后一節(jié)不排數(shù)學(xué),那么共有不同排法種.

麗（方法一）若第一節(jié)排數(shù)學(xué),共有A：6（種）排法；

若第一節(jié)不排數(shù)學(xué),第一節(jié)有2種排法,最后一節(jié)有2種排法,中間兩節(jié)任意排,

有2X2X2=8（種）排法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有6+8=14（種）排法,故答案為14.

（方法二間接法）4節(jié)課全部可能的排法有A%24（種），其中體育排第一節(jié)的有

Ag=6（種），數(shù)學(xué)排最后一節(jié)的有Ag=6（種），體育排第一節(jié)且數(shù)學(xué)排最后一節(jié)的有

A>2（種），故符合要求的排法有Ab2XAg4-A,=14（種）.

ggl4

8.7名班委有7種不同的職務(wù)，甲、乙、丙三人在7名班委中，現(xiàn)對(duì)7名班委進(jìn)行

職務(wù)具體分工.

（1）若正、副班長(zhǎng)兩職只能從甲、乙、丙三人中選兩人擔(dān)任，有多少種不同的分工

方案？

（2）若正、副班長(zhǎng)兩職至少要選甲、乙、丙三人中的一人擔(dān)任，有多少種不同的分

工方案？

解（1）先排正、副班長(zhǎng)，有A專種方案，再安排其余職務(wù)有A&種方案，由分步乘法計(jì)

數(shù)原理,知共有AMW=720（種）不同的分工方案.

（2）7人中任意分工，有A殲中不同的分工方案，甲、乙、丙三人中無(wú)一人擔(dān)任正、

副班長(zhǎng)的分工方案有種，因此甲、乙、丙三人中至少有一人擔(dān)任正、副班長(zhǎng)

的分工方案有A3-AiA|=3600（種）.

9.把1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),并把它們按由小到大的順

序排列成一個(gè)數(shù)列.

（1）43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？

⑵這個(gè)數(shù)列的第96項(xiàng)是多少？

（3）求這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和.

解（1）先考慮大于43251的數(shù)，分為以下三類：

第1類，以5開(kāi)頭的有A%=24（個(gè)）;

第2類，以45開(kāi)頭的有A,=6（個(gè)）；

第3類，以435開(kāi)頭的有A>2（個(gè)）.

故不大于43251的五位數(shù)有Ag-（AZ+Ag+A分=88（個(gè)），即43251是第88項(xiàng).

（2）數(shù)列共有Ag=120（項(xiàng)），96項(xiàng)以后還有120-96=24（項(xiàng)），即比96項(xiàng)所表示的五

位數(shù)大的五位數(shù)有24個(gè)，所以小于以5開(kāi)頭的五位數(shù)中最大的一個(gè)就是該數(shù)列

的第96項(xiàng)，即為45321.

⑶因?yàn)?,2,3,4,5各在萬(wàn)位上時(shí)都有A%個(gè)五位數(shù)，所以萬(wàn)位上數(shù)字的和為

（1+2+3+4+5）-At-10000,同理它們?cè)谇?、百位、十位、個(gè)位上也都有A%個(gè)五

位數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和為（1+2+3+4+5）?At?（1+10+100+1000+10

000）=15X24X11111=3999960.

【能力提升練】

1.若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大,則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”.

現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)