人教A版（新）選擇性必修三第六章計(jì)數(shù)原理6.3二項(xiàng)式定理

第6章復(fù)習(xí)課1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能結(jié)合具體問(wèn)題的特征，合理選擇兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來(lái)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.理解排列、組合的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)和組合數(shù)公式，掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并能用它們解決實(shí)際問(wèn)題.3.能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)題型探究達(dá)標(biāo)檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝

種不同的方法.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn答案3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)

排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)公式排列數(shù)公式

＝n(n－1)(n－2)…

＝________組合數(shù)公式

＝____＝_______________________＝____________性質(zhì)當(dāng)m＝n時(shí)，

為全排列

＝n??；0?。絖_備注n，m∈N*且m≤n(n－m＋1)1答案4.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容.(a＋b)n＝

.答案返回解析答案題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破類型一數(shù)學(xué)思想方法在求解計(jì)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用角度1分類討論思想例1

從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時(shí)，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個(gè)時(shí)，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答).反思與感悟解析1與3是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.答案60反思與感悟反思與感悟解答排列、組合中的一些較復(fù)雜的問(wèn)題，常用分類討論思想.討論時(shí)，要注意不重復(fù)不遺漏，對(duì)于本題解答中，“沒(méi)有數(shù)字1和3”這一類容易被遺漏.跟蹤訓(xùn)練1

用紅、黃、藍(lán)三種顏色對(duì)如圖所示的三個(gè)方框進(jìn)行涂色，若要求每個(gè)小方格，涂一種顏色，且涂成紅色的方格數(shù)為偶數(shù)，則不同的涂色方案種數(shù)是_____.解析因?yàn)橥砍杉t色的方格數(shù)為偶數(shù)，即涂成紅色的方格數(shù)為0或2，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得共有2＋6＋6＝14(種).14解析答案解析答案角度2

“正難則反”思想例2

平面上有9個(gè)點(diǎn)，排成三行三列的方陣，以其中的任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可以組成___個(gè)三角形(用數(shù)字作答).解析正面考慮，需分類且容易出現(xiàn)遺漏或重復(fù).從反面考慮9個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)共線的情況的種數(shù)，問(wèn)題則較易解決.9個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)共線的情況，顯然是三行、三列和兩條對(duì)角線上的點(diǎn)，76反思與感悟反思與感悟?qū)τ谡嫣幚磔^復(fù)雜或不易求解的問(wèn)題，常常從問(wèn)題的對(duì)立面去思考.解析答案跟蹤訓(xùn)練2

從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語(yǔ)三科競(jìng)賽，每科至少1人(且每人僅報(bào)一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時(shí)參加同一競(jìng)賽，則不同的參賽方案共有____種.其中有不符合條件的，∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種).30解析答案類型二排列與組合的綜合應(yīng)用例3

有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)共有多少種放法？解由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有44＝256種放法.(2)恰有1個(gè)盒子中不放球，有多少種放法？再把取出的2個(gè)小球與另外2個(gè)小球(即3組)分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子里，有

種不同的放法，解析答案(3)恰有2個(gè)盒子中不放球，有多少種放法？解恰有2個(gè)盒子中不放球，也就是把4個(gè)不同的小球只放入2個(gè)盒子中，有兩類放法：第1類，1個(gè)盒子中放3個(gè)小球.一個(gè)盒子中放1個(gè)小球.反思與感悟反思與感悟排列與組合的綜合問(wèn)題，首先要分清何時(shí)為排列，何時(shí)為組合.對(duì)含有特殊元素的排列、組合問(wèn)題，一般先進(jìn)行組合，再進(jìn)行排列.對(duì)特殊元素的位置有要求時(shí)，在組合選取時(shí)，就要進(jìn)行分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計(jì)數(shù)時(shí)，要注意考慮全面，排除干凈.解析答案跟蹤訓(xùn)練3

(1)某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種情況：②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，解析答案(2)在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目.①當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解第一步先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái)，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有

＝5040種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5040×24＝120960(種).解析答案②當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解第一步將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列，(如下圖中的“□”)，一共有

＝720種方法.×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即□中“×”的位置)這樣相當(dāng)于7個(gè)“×”選4個(gè)來(lái)排，一共有

＝840種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720×840＝604800(種).解析答案③若已定好節(jié)目單，后來(lái)情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)欄目，但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？但原來(lái)的節(jié)目已定好順序，需要消除，解析答案類型三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例4

已知在

的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項(xiàng)；展開式是常數(shù)項(xiàng)，于是有理項(xiàng)為T1＝x5和T7＝13440.解析答案(2)求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；所以r＝7，當(dāng)r＝7時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)r＝0時(shí)，T1＝x5，當(dāng)r＝10時(shí)，所以系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為解析答案反思與感悟1.求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的步驟反思與感悟反思與感悟2.二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a＋b)n中的n進(jìn)行討論.(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.3.展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第r＋1項(xiàng)最大，應(yīng)用

解出r，即得出系數(shù)的最大項(xiàng).解析答案跟蹤訓(xùn)練4

(1)(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是_____.＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.1.34解析答案(2)已知二項(xiàng)式

展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和的16倍.①求n；解令x＝1得二項(xiàng)式

展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(5－1)n＝4n，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，由題意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.解析答案②求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)：③求展開式中所有x的有理項(xiàng).所以展開式中所有x的有理項(xiàng)為解析答案類型四二項(xiàng)式定理的“賦值”問(wèn)題例5

若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；解(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，a2是展開式中x2的系數(shù)，(2)求a1＋a2＋…＋a10；解令x＝1，代入已知式可得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0得：a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.解析答案(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.解令x＝－1可得：(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0把這兩個(gè)等式相乘可得：(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.反思與感悟與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，主要方法是賦值法，通過(guò)觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng)，此時(shí)要專門求出這一項(xiàng)，而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí)，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練5

(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，那么自然數(shù)n的值為(

)A.6 B.5 C.4 D.3解析令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n令x＝0得：a0＝n，an＝1.a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－n－3＝29－n.∴2n＋1＝32＝25，∴n＝5.B(2)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝_____.解析對(duì)(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，令x＝1得：(a0＋a2＋…＋a10＋a12)＋(a1＋a3＋…＋a9＋a11)＝36. ①令x＝－1得：(a0＋a2＋…＋a10＋a12)－(a1＋a3＋…＋a9＋a11)＝1. ②由①＋②得：令x＝0得：a0＝1，364解析答案返回解析答案達(dá)標(biāo)檢測(cè)1231.4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有(

)A.24種 B.36種 C.48種 D.60種解析分兩類：第一類：有3名被錄用，有

＝24種，第二類，4名都被錄用，則有一家企業(yè)錄用2名，有

＝36(種).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：共有24＋36＝60(種).D4解析答案2.(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)9的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.120 B.119 C.210 D.209解析(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)9展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為D1234解析答案3.四位男生和兩位女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法種數(shù)是_____.解析先從4位男生選2位捆綁在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3個(gè)空中，1441234解析答案4.若二項(xiàng)式

的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.解析由已知得：2n＝64，∴n＝6.令12－3r＝0，解得：r＝4.故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240.2401234規(guī)律與方法1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列、組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之分解，達(dá)到求解的目的.正確地分類與分步是用好兩個(gè)原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，這是選用計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵.注意有些復(fù)雜的問(wèn)題往往在分步中有分類，分類中有分步，兩個(gè)原理往往交錯(cuò)使用.2.排列與組合主要是排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式、性質(zhì)的應(yīng)用以及排列、組合應(yīng)用題.排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問(wèn)題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式，在證明恒等式時(shí)，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡(jiǎn)的原則，有時(shí)也會(huì)從兩邊向中間靠攏.對(duì)于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.有限制條件的排列問(wèn)題，通常從以下兩種途徑考慮