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第三章圓3.3垂徑定理等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果將一等腰三角形沿底邊上的高對(duì)折,可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?如果以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心,腰長(zhǎng)為半徑畫圓,得到的圖形是否是軸對(duì)稱圖形呢?類比引入③AM=BM,●OABCDM└①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.條件結(jié)論
如圖,AB是⊙O的一條弦,作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M。
(1)該圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?
(2)你能圖中有哪些等量關(guān)系?說(shuō)一說(shuō)你的理由。猜想探索連接OA,OB,則OA=OB.●OABCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL).∴AM=BM.∠AOC=∠BOC∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒
AD=BD.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(包括優(yōu)弧和劣?。缀握Z(yǔ)言垂徑定理?xiàng)l件結(jié)論(1)過(guò)圓心(2)垂直于弦}{(3)平分弦(4)平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?)平分弦所對(duì)的劣弧分析CD為直徑,CD⊥AB}{點(diǎn)C平弧ACB點(diǎn)D平分弧ADB1.判斷下列圖形,能否使用垂徑定理?OCDBA注意:定理中的兩個(gè)條件缺一不可——直徑(半徑),垂直于弦××√想一想BOCDAOCDE2、請(qǐng)畫圖說(shuō)明垂徑定理的條件和結(jié)論.垂徑定理的逆定理●OCD●AB如圖,AB是⊙O的弦(不是直徑),作一條平分AB的直徑CD,交AB于點(diǎn)M.(1)下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?
(2)圖中有哪些等量關(guān)系?說(shuō)一說(shuō)你的理由.M③CD⊥AB,垂徑定理的逆定理●OCD
由①CD是直徑②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●AB平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖,AB是⊙O的弦(不是直徑),作一條平分AB的直徑CD,交AB于點(diǎn)M.垂徑定理的推論的題設(shè)和結(jié)論可用符號(hào)語(yǔ)言表示為:為什么要強(qiáng)調(diào)這條弦不是直徑?是因?yàn)槿粝沂侵睆?,則直徑之間即使互相平分,也不一定互相垂直。M平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如果該定理少了“不是直徑”,是否也能成立?想一想OCDBAEODCF例:如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中CD,點(diǎn)0是CD所在圓的圓心),其中CD=600m,E為CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑。⌒⌒⌒知識(shí)應(yīng)用解這個(gè)方程,得R=545.EODCF解:連接OC,設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m?!逴E⊥CD根據(jù)勾股定理,得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2.所以,這段彎路的半徑為545m.1、1400年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))為37.4米,拱高(即弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2米,求橋拱所在圓的半徑。(結(jié)果精確到0.1米)。隨堂練習(xí)2、如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?為什么?OCDBAOCDBAOCDBAFE有三種情況:1、圓心在平行弦外;2、圓心在其中一條弦上;3、圓心在平行弦內(nèi)。隨堂練習(xí)若⊙O中弦AB∥CD。那么AC=BD嗎?為什么?⌒⌒解:AC=BD,理由是:作直徑MN⊥AB?!逜B∥CD,∴MN⊥CD∴AM=BM,CM=DM(垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的?。逜M-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON⌒⌒1、利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理.2、解決有關(guān)弦的問(wèn)題,經(jīng)常是過(guò)
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