北師大版九年級(jí)下第三章 圓2 圓的對(duì)稱性（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

3.2圓的對(duì)稱性？復(fù)習(xí)提問(wèn)：1、什么是軸對(duì)稱圖形？我們?cè)趯W(xué)過(guò)哪些軸對(duì)稱圖形？如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形2、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？.圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形嗎？

如果是,它的對(duì)稱軸是什么?你能找到多少條對(duì)稱軸？●O你是用什么方法解決上述問(wèn)題的?圓是中心對(duì)稱圖形嗎？

如果是,它的對(duì)稱中心是什么?你能找到多少個(gè)對(duì)稱中心？你又是用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題的?

想一想圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形.想一想

圓的對(duì)稱軸是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線,它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.●O可利用折疊的方法即可解決上述問(wèn)題.圓也是中心對(duì)稱圖形.它的對(duì)稱中心就是圓心.用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個(gè)問(wèn)題.圓的相關(guān)概念圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧.直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).讀一讀連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦(如弦AB).●O經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑(如直徑AC).AB⌒以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧.記作,讀作“弧AB”.AB⌒小于半圓的弧叫做劣弧,如記作(用兩個(gè)字母).⌒ACB大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作(用三個(gè)字母).ABC⌒D③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM└

由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.

你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由.過(guò)點(diǎn)M作直徑CD.●O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,其對(duì)稱軸是什么?

小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CD

由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的應(yīng)用例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●OCDEF┗老師提示:注意閃爍的三角形的特點(diǎn).討論（1）過(guò)圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣?。?）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧命題（1）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（2）：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，

AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（3）：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）求證：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OAEBDC垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論（1）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧垂徑定理記憶判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧…………..()（2）弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過(guò)圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧………()（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√挑戰(zhàn)自我（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧(）（7）平分弦的直線，必定過(guò)圓心（）（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦（）

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)（9）弦的垂直平分線一定是圓的直徑（）（