三角函數(shù)的幾何表示

三角函數(shù)的幾何表示xyP(x,y)MA(1,0)一、任意角三角函數(shù)的定義:定義2：任意角α的三角函數(shù)還可以用終邊上任意點P（x,y）表示,設(shè)OP=r,則二、三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sinαcosαtanαRR{α|α≠＋kπ(k∈Z)}三、三角函數(shù)在各象限的符號++++++------α00300450600900180027003600弧度sinαcosαtanα000110-100-101100不存在不存在其中k∈Z終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等。一、背景知識

任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一。三角學(xué)起源于對三角形邊角關(guān)系的研究，始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對天文的測量，在相當(dāng)長的時期里隸屬于天文學(xué)。直到1464年，德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦著《論各種三角形》，才獨立于天文學(xué)之外對三角知識作了較系統(tǒng)的闡說；14~16世紀(jì)，三角學(xué)曾一度成為歐洲數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，研究的方面包括三角函數(shù)值表的編制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推導(dǎo)等等。1631年，三角學(xué)輸入中國，三角學(xué)在中國早期比較通行的名稱是“八線”和“三角”。“八線”是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線：正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線、正矢線、余矢線。隨著科學(xué)的發(fā)展，三角函數(shù)成為研究自然界和生產(chǎn)實踐中周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具，它在測量、力學(xué)工程和無線電學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。探究：角是一個幾何概念，同時角的大小也具有數(shù)量特征.我們從數(shù)的觀點定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一.

xyoMP(x,y)p(x,y)Mxop(x,y)xoxyoxyoMMMMppp正弦線余弦線思考：設(shè)α為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說明sinα＋cosα>1嗎？POxyMMP＋OM>OP=1正切線:ATAT問題1：如圖，設(shè)角α為第一象限角，其終邊與單位圓的交點為P（x，y），則是正數(shù)，用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？POxyMATPOxyM正切線問題2：若角α為第四象限角，其終邊與單位圓的交點為P（x，y），則是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？ATATPOxyM思考：若角α為第二象限角，其終邊與單位圓的交點為P（x，y），則是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？POxyMATAT思考：若角α為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為P（x，y），則是正數(shù)，此時用哪條有向線段表示角α的正切值最合適？思考：根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？過點A（1，0）作單位圓的切線，與角α的終邊或其反向延長線相交于點T，則AT=tanα.ATOxyPATOxyP思考：當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時，角α的正切線的含義如何？OxyPP當(dāng)角α的終邊在x軸上時，角α的正切線是一個點；當(dāng)角α的終邊在y軸上時，角α的正切線不存在.例1

作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：比較大?。?/p>

sin1和sin1.5;解：由三角函數(shù)線得sin1<sin1.5cos1>cos1.5例2

在0～內(nèi)，求使成立的α的取值范圍.OxyPMP1P2例3

求函數(shù)的定義域.OxyP2MP1P

求函數(shù)的定義域.

求函數(shù)的定義域.思考：觀察下列不等式：你有什么一般猜想？

思考：對于不等式（其中α為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合思想證明嗎？POxyMAT例練講解例3

設(shè)α是任意角，作α的正弦線、余弦線、正切線，

由圖證明下列各等式:

sin2α＋cos2α＝1；AoyαPMTxN證明：（1）若角α終邊落在象限內(nèi)，由

圖可知sin2α＋cos2α=ON2+OM2=PM2+OM2=OP2=1

若角α的終邊落在軸上則|sinα|和|cosα|必有一個為