第十二章排隊論(運籌學上海電力學院)

第十二章排隊論引言排隊論是研討排隊系統(tǒng)〔又稱隨機效力系統(tǒng)〕的數(shù)學實際和方法，是運籌學的一個重要分支。有形排隊景象：進餐館就餐，到圖書館借書，車站等車，去醫(yī)院看病，售票處售票，到工具房領物品等景象。

無形排隊景象：如幾個旅客同時打訂車票；假設有一人正在通話，其他人只得在各自的機前等待，他們分散在不同的地方，構成一個無形的隊列在等待通。排隊的不一定是人，也可以是物。如消費線上的原資料，半廢品等待加工；因缺點而停頓運轉的機器設備在等待修繕；碼頭上的船只等待裝貨或卸貨；要下降的飛機因跑道不空而在空中盤旋等。當然，進展效力的也不一定是人，可以是跑道，自動售貨機，公共汽車等。顧客——要求效力的對象。效力員——提供效力的效力者〔也稱效力機構〕。顧客、效力員的含義是廣義的。排隊系統(tǒng)類型：效力臺顧客到達效力完成后分開單效力臺排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)類型：效力臺2顧客到達效力完成后分開S個效力臺，一個隊列的排隊系統(tǒng)效力臺s效力臺1排隊系統(tǒng)類型：效力臺2顧客到達效力完成后分開S個效力臺，S個隊列的排隊系統(tǒng)效力臺s效力臺1效力完成后分開效力完成后分開排隊系統(tǒng)類型：效力臺1顧客到達分開多效力臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)效力臺s排隊系統(tǒng)類型：效力機構聚散隨機聚散效力系統(tǒng)〔輸入〕〔輸出〕隨機性——顧客到達情況與顧客接受效力的時間是隨機的。普通來說，排隊論所研討的排隊系統(tǒng)中，顧客相繼到達時間間隔和效力時間這兩個量中至少有一個是隨機的，因此，排隊論又稱隨機效力實際。排隊系統(tǒng)的描畫實踐中的排隊系統(tǒng)各不一樣，但概括起來都由三個根本部分組成：輸入過程，排隊及排隊規(guī)那么和效力機構。輸入過程顧客總體〔顧客源〕數(shù)：能夠是有限，也能夠是無限。

河流上游流入水庫的水量可以為是無限的；車間內(nèi)停機待修的機器顯然是有限的。到達方式：是單個到達還是成批到達。庫存問題中，假設把進來的貨看成顧客，那么為成批到達的例子。顧客〔單個或成批〕相繼到達的時間間隔分布：這是刻劃輸入過程的最重要內(nèi)容。令T0=0，Tn表示第n顧客到達的時辰，那么有T0T1T2…..Tn……記Xn=Tn–Tn-1n=1,2,…,那么Xn是第n顧客與第n-1顧客到達的時間間隔。普通假定{Xn}是獨立同分布，并記分布函數(shù)為A(t)。{Xn}的分布A(t)常見的有：定常分布〔D〕：顧客相繼到達的時間間隔為確定的。如產(chǎn)品經(jīng)過傳送帶進入包裝箱就是定常分布。最簡流〔或稱Poisson)〔M〕：顧客相繼到達的時間間隔{Xn}為獨立的，同為負指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：a(t)=e-tt00t<0排隊及排隊規(guī)那么排隊有限排隊——排隊系統(tǒng)中顧客數(shù)是有限的。無限排隊——顧客數(shù)是無限，隊列可以排到無限長〔等待制排隊系統(tǒng)〕。有限排隊還可以分成：損失制排隊系統(tǒng)：排隊空間為零的系統(tǒng)，即不允許排隊。〔顧客到達時，效力臺占滿，顧客自動分開，不再回來〕〔系統(tǒng)〕混合制排隊系統(tǒng)：是等待制與損失制結合，即允許排隊，但不允許隊列無限長。混合制排隊系統(tǒng)：隊長有限。即系統(tǒng)等待空間是有限的。例：最多只能包容K個顧客在系統(tǒng)中，當新顧客到達時，假設系統(tǒng)中的顧客數(shù)〔又稱為隊長〕小于K，那么可進入系統(tǒng)排隊或接受效力；否那么，便分開系統(tǒng)，并不再回來。如水庫的庫容是有限的，旅館的床位是有限的?；旌现婆抨犗到y(tǒng)：等待時間有限。即顧客在系統(tǒng)中等待時間不超越某一給定的長度T，當?shù)却龝r間超越T時，顧客將自動分開，不再回來。如易損失的電子元件的庫存問題，超越一定存儲時間的元器件被自動以為失效。混合制排隊系統(tǒng)：逗留時間〔等待時間與效力時間之和〕有限。例：用高射炮射擊飛機，當敵機飛越射擊有效區(qū)域的時間為t時，假設這個時間內(nèi)未被擊落，也就不能夠再被擊落了。損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記s為系統(tǒng)中效力臺個數(shù)，那么當k=s時，混合制即為損失制；當k=時，即成為等待制。排隊規(guī)那么當顧客到達時，假設一切效力臺都被占有且又允許排隊，那么該顧客將進入隊列等待。效力臺對顧客進展效力所遵照的規(guī)那么通常有：先來先效力〔FCFS〕后來先效力〔LCFS〕。在許多庫存系統(tǒng)中就會出現(xiàn)這種情況，如鋼板存入倉庫后，需求時總是從最上面取出；又如在情報系統(tǒng)中，后來到達的信息往往更重要，首先要加以分析和利用。具有優(yōu)先權的效力〔PS〕。效力臺根據(jù)顧客的優(yōu)先權的不同進展效力。如病危的病人應優(yōu)先治療；重要的信息應優(yōu)先處置；出價高的顧客應優(yōu)先思索。效力機制包括：效力員的數(shù)量及其銜接方式〔串聯(lián)還是并聯(lián)〕；顧客是單個還是成批接受效力；效力時間的分布。記某效力臺的效力時間為V，其分布函數(shù)為B(t),密度函數(shù)為b(t),那么常見的分布有：定長分布〔D〕：每個顧客接受的效力時間是一個確定的常數(shù)。負指數(shù)分布〔M〕：每個顧客接受的效力時間相互獨立，具有一樣的負指數(shù)分布：b(t)=e-tt00t<0其中>0為一常數(shù)。K階愛爾朗分布〔En〕：b(t)=k(kt)k-1(K-1)!=e-kt當k=1時即為負指數(shù)分布；k30,近似于正態(tài)分布。當k時，方差0即為完全非隨機的。排隊系統(tǒng)的符號表示：“Kendall〞記號：X/Y/Z/W其中：X表示顧客相繼到達的時間間隔分布；Y表示效力時間的分布；Z表示效力臺個數(shù)；W表示系統(tǒng)的容量，即可包容的最多顧客數(shù)。例12-1M/M/1/M表示顧客相繼到達的時間間隔服從負指數(shù)分布；M表示效力時間為負指數(shù)分布；單個效力臺；系統(tǒng)容量為無限〔等待制〕的排隊模型。例12-2M/M/S/K表示顧客到達的時間間隔服從負指數(shù)分布；效力時間為負指數(shù)分布；S個效力臺；系統(tǒng)容量為K的排隊模型。當K=S時為損失制排隊模型；當K=時為等待制排隊模型。排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量目的：系統(tǒng)形狀：也稱為隊長，指排隊系統(tǒng)中的顧客數(shù)〔排隊等待的顧客數(shù)與正在接受效力的顧客數(shù)之和〕。排隊長：系統(tǒng)中正在排隊等待效力的顧客數(shù)。記N(t)：時辰t(t0)的系統(tǒng)形狀；pn(t)：時辰t系統(tǒng)處于形狀n的概率；S：排隊系統(tǒng)中并行的效力臺數(shù)；n：當系統(tǒng)處于形狀n時，新來的顧客的平均到達率〔單位時間內(nèi)到達的平均顧客數(shù)〕；n：當系統(tǒng)處于形狀n時，整個系統(tǒng)的平均效力率〔單位時間內(nèi)可以效力完的平均顧客數(shù)〕；當n為常數(shù)時記為；當每個效力臺的平均效力率為常數(shù)時，記每個效力臺的效力率為，那么當ns時，有n=s。因此，顧客相繼到達的平均時間間隔為1/，平均效力時間為1/，令=/s，那么為系統(tǒng)的效力強度。pn(t)稱為系統(tǒng)在時辰t的瞬間分布，普通不容易求得，同時，由于排隊系統(tǒng)運轉一段時間后，其形狀和分布都呈現(xiàn)出與初始形狀或分布無關的性質(zhì)，稱具有這種性質(zhì)的形狀或分布為平穩(wěn)形狀或平穩(wěn)分布，排隊論普通更留意研討系統(tǒng)在平穩(wěn)形狀下的性質(zhì)。排隊系統(tǒng)在平穩(wěn)形狀時一些根本目的有：Pn:系統(tǒng)中恰有n個顧客的概率；L：系統(tǒng)中顧客數(shù)的平均值，又稱為平均隊長；Lq：系統(tǒng)中正在排隊的顧客數(shù)的平均值，又稱為平均排隊長；T：顧客在系統(tǒng)中的逗留時間；W=E(T)：顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間；Tq：顧客在系統(tǒng)中的排隊等待時間；Wq=E(Tq)：顧客在系統(tǒng)中的平均排隊等待時間。排隊論研討的根本問題：經(jīng)過研討主要數(shù)量目的在瞬時或平穩(wěn)形狀下的概率分布及數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運轉的根本特征。統(tǒng)計推斷問題：建立適當?shù)呐抨犇Ｐ褪桥抨犝撗杏懙牡谝徊?，建立模型過程中，系統(tǒng)能否到達平穩(wěn)形狀的檢驗；顧客相繼到達時間間隔相互獨立性的檢驗，效力時間的分布及有關參數(shù)確實定等。排隊研討的根本問題：系統(tǒng)優(yōu)化問題：又稱為系統(tǒng)控制問題或系統(tǒng)運營問題，其根本目的是使系統(tǒng)處于最優(yōu)的或最合理的形狀。包括：最優(yōu)設計問題和最優(yōu)運營問題。M/M/S等待制排隊模型單效力臺問題，又表示為M/M/1/：顧客相繼到達時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；效力臺數(shù)為1；效力時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；系統(tǒng)的空間為無限，允許永遠排隊。隊長的分布記Pn=p{N=n},n=0,1,2….為系統(tǒng)到達平衡形狀后隊長的概率分布，那么n=；n=，=/<1，有Pn=(1-)nn=0,1,2….幾個數(shù)量目的平均隊長：L=nPn=n(1-)n=/(1-)=/(-)平均排隊長：Lq=(n-1)Pn=2/(1-)=2/(-)幾個數(shù)量目的平均逗留時間：W=E(T)=1/(-)平均等待時間：Wq=/(-)它們之間有關系：L=WLq=WqLittle公式。例12-3：思索一個鐵路列車編組站。設待編列車到達時間間隔服從負指數(shù)分布，平均每小時到達2列；效力臺是編組站，編組時間服從負指數(shù)分布，平均每20分鐘可編一組。知編組站上共有2股道，當均被占用時，不能接車，再來的列車只能停在站外或前方站。求在平衡形狀下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；每一列車的平均逗留時間；等待編組的列車平均數(shù)。假設列車因站中2股道均被占用而停在站外或前方站時，每列車每小時費用為a元，求每天由于列車在站外等待而呵斥的損失。解：本例可看成一個M/M/1/排隊問題，其中=2，=3，=/=2/3<1系統(tǒng)中列車的平均數(shù)L=/(1-)=(2/3)/(1-2/3)=2〔列〕列車在系統(tǒng)中的平均停留時間W=L/=2/2=1〔小時〕系統(tǒng)中等待編組的列車平均數(shù)Lq=L-=2-2/3=4/3〔列〕列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時間Wq=Lq/=(4/3)/(1/2)=2/3〔小時〕記列車平均延誤〔由于站內(nèi)2股道均被占用而不能進站〕時間為W0那么W0=WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}=W{1-(l-)-(l-)1-(l-)2}=1*3=3=(2/3)3=0.296〔小時〕故每天列車由于等待而支出的平均費用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元例12-4：某修繕店只需一位修繕工，來修繕的顧客到達過程為Poisson流，平均每小時4人；修繕時間服從負指數(shù)分布，平均需求6分鐘。試求：修繕店空閑的概率；店內(nèi)恰有3位顧客的概率；店內(nèi)至少有一位顧客的概率；在店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗留時間；等待效力的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待效力時間；顧客在店內(nèi)等待時間超越10分鐘的概率。解：本例可看成一個M/M/1/排隊問題，其中=4，=1/0.1=10(人/小時〕，=/=2/5<1修繕店內(nèi)空閑的概率P0=1-=(1-2/5)=0.6店內(nèi)恰有3個顧客的概率P3=3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.038店內(nèi)至少有1位顧客的概率P{N1}=1-P0=1-(1-)==2/5=0.4在店內(nèi)平均顧客數(shù)L=/(1-)=(2/5)/(1-2/5)=0.67(人〕每位顧客在店內(nèi)平均逗留時間W=L/=0.67/4=10分鐘等待效力的平均顧客數(shù)Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人)每個顧客平均等待效力時間Wq=Lq/=0.27/4=0.0675小時=4分鐘顧客在店內(nèi)等待時間超越10分鐘的概率P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677P{T>t}=e-(-)tt=10分鐘,=10人/小時=10/60=1/6=4人/小時=4/60=1/15M/M/S等待制排隊模型多效力臺問題，又表示為M/M/S/：顧客相繼到達時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；效力臺數(shù)為S；每個效力臺的效力時間相互獨立，且服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。當顧客到達時，假設有空閑效力臺馬上被進展效力，否那么便排成一隊列等待，等待空間為無限。隊長的分布記Pn=p{N=n},n=0,1,2….為系統(tǒng)到達平衡形狀后隊長N的概率分布，對多效力臺有n=；n=0,1,2….n=nn=0,1,2….sn=sn=s,s+1,s+2….s=/s=/s,當s<1時，有Cn=(/)nn!(/)ss!(/s)n-s=(/)ns!sn-sn=1,2,…..snspn=(p)nn!n=1,2,…..sns!sn-snsp0p0其中：p0=[0s-1pn/n!+s/s!(1-s)]-1當ns時，顧客必需等待，記C(s,)=spn=s/s!(1-s)p0稱為Erlang等待公式，它給出了顧客到達系統(tǒng)時，需求等待的概率。平均排隊長：Lq=s(n-s)pn=p0ss/s!(1-s)2或