參考論文實函數(shù)和復函數(shù)異同論文

實函數(shù)和復函數(shù)異同論文【摘要】在定義復函數(shù)導數(shù)的時候，考慮的范圍應該多與實函數(shù)的導數(shù)情形。如果要求復函數(shù)存在導數(shù)，那么由實部增量獲得的復函數(shù)導數(shù)應該與由虛部增量獲得的復函數(shù)導數(shù)相一致。這也就是柯西黎曼條件。注意這不是判斷復函數(shù)導數(shù)存在的充分條件，只是必要條件。1.函數(shù)的定義和分類函數(shù)的本質是一種對應關系，描述著應變量隨自變量的變化的形式?，F(xiàn)代函數(shù)的定義是由集合描述的，即從一個集合到另一個集合的對應。函數(shù)的分類方式是多種多樣的，不同的分類方式描述了函數(shù)的不同性質。根據(jù)函數(shù)映射方式的不同，可以分為單射函數(shù)，滿射函數(shù)和雙射函數(shù)；根據(jù)函數(shù)的周期性，可以分為周期函數(shù)和非周期函數(shù)；根據(jù)函數(shù)的增減性，可以分為單調(diào)遞增函數(shù)，單調(diào)遞減函數(shù)，凹函數(shù)，凸函數(shù)和復雜函數(shù)；根據(jù)函數(shù)解析式的形式，可以分為二次函數(shù)，三次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等；函數(shù)的性質非常之多，導致其分類形式也有很多。但是，其中最重要的一種分類方式是將函數(shù)分為實函數(shù)和復函數(shù)。2.實函數(shù)的定義實函數(shù)是指定義域和值域都是實數(shù)的函數(shù)。可以看出，實函數(shù)的研究對象是實數(shù)，其本質是實數(shù)與實數(shù)之間的對應關系，是實數(shù)隨著實數(shù)的變化關系。從集合的定義角度來看，實函數(shù)的本質是實數(shù)集到實數(shù)集的對應。實函數(shù)的一個重要特征就是，函數(shù)關系可以反映在坐標系中。研究實函數(shù)的分支叫作實變函數(shù)論，是研究以實數(shù)作為函數(shù)自變量的理論，是數(shù)學領域的一個重要分支。實變函數(shù)論以集合論為根基，是微積分理論的進一步擴展和延伸。實變函數(shù)論的主要研究內(nèi)容是實函數(shù)的連續(xù)性質，極限性質，微分積分性質，測度論等。3.復函數(shù)的定義復函數(shù)是指自變量為復數(shù)的函數(shù)。與實數(shù)不同，復數(shù)有實部和虛部，相比之下復函數(shù)的情形就更為復雜。復函數(shù)研究的不僅是復數(shù)和復數(shù)之間的函數(shù)關系，而且包括復數(shù)和實數(shù)之間的函數(shù)關系。從集合理論的角度來看，復數(shù)集合是實數(shù)集合和虛數(shù)集合的并集，而復函數(shù)則是從復數(shù)集合到復數(shù)集合的對應關系。研究復函數(shù)的理論就做復變函數(shù)論，是研究以復數(shù)作為函數(shù)自變量的函數(shù)理論。其主要研究內(nèi)容包括級數(shù)，留數(shù)，解析函數(shù)，復函數(shù)的微分和積分等。由以上論述可以看出，從函數(shù)性質的角度研究實函數(shù)和復函數(shù)，它們的性質既有相同之處，也有不同之處。對于實函數(shù)和復函數(shù)之間異同的把握，對于掌握它們各自的性質，理解函數(shù)的本質，熟練函數(shù)的應用是有重要意義的。4.實函數(shù)和復函數(shù)的極限性質極限對于微積分乃至現(xiàn)代數(shù)學和物理來說是一個極為重要的概念，它反映的是變量在變化過程中的趨向性質。很多數(shù)學物理方法都是以極限概念為基礎而延伸出來的，甚至很多的基本概念也是以極限為基礎的。極限的研究分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，數(shù)列極限反映的是分離變量的趨向性質，函數(shù)極限反映的是連續(xù)變量的趨向性質。極限的研究中，包括極限的性質，如唯一性，有界性，收斂性等；也包括極限的計算方法，運算法則，并要熟練掌握常見的極限性質。實函數(shù)的極限。實函數(shù)極限的定義可以用文字描述：一個實函數(shù)在其定義域的某一點的空心領域內(nèi)有定義，如果存在某個正數(shù)，當自變量的值與x的差小于這個正數(shù)時，其對應的函數(shù)值和A的差可以小于某個給定的正數(shù)，那么則說這個實函數(shù)存在極限。從實函數(shù)極限的定義可以看出，其反映的是實數(shù)自變量在實函數(shù)的變化過程中趨勢的性質，當實數(shù)自變量趨于某一個值時，對應的實數(shù)函數(shù)值也趨于某一個值，這就是實函數(shù)極限的簡單含義。復函數(shù)的極限。復函數(shù)極限的定義可以用文字描述：一個復函數(shù)在其復數(shù)定義域內(nèi)的某一點是聚點，如果存在大于0的數(shù)，使得當復函數(shù)自變量值與z的差小于整個數(shù)時，其對應的復函數(shù)值與A小于任意一個給定的正數(shù)，那么這個復函數(shù)存在極限。復函數(shù)極限的定義如果用嚴格的數(shù)學語言描述，是：設函數(shù)w=f（z），z∈E（集合），zo為E的聚點，對于復數(shù)A，若對任意給定的？著大于0，總存在r大于0，只要0<|z-zo|<？著，則稱f（z）當z在e中趨向于zo時，以a為極限，記作：f（z）->A（z->zo）。從復函數(shù)極限的定義可以看出，其描述的是復數(shù)自變量在復函數(shù)的變化過程中趨向的性質，當復數(shù)自變量趨于某一個值時，對應的復數(shù)函數(shù)值也趨于某一個值，這就是復函數(shù)極限的簡單含義。由上述定義可以看出，實函數(shù)和復函數(shù)在極限的定義上是相類似的，都是描述當自變量趨向某一值時，函數(shù)值的趨向性質。但是，形式上的相似性并不說明含義上的相同性。事實上，復函數(shù)極限的定義比實函數(shù)極限的定義內(nèi)容更加豐富。因為復數(shù)包括實部和虛部，當自變量趨向某一個復數(shù)時，要求實部和虛部必須同時趨向相應的實部和虛部，具有更大的任意性。如果將實數(shù)的極限形象的理解為數(shù)軸上一維的趨向，那么，復函數(shù)的極限則描述的是平面上到一點的趨向。顯然，由于比實函數(shù)的極限多了一個維度，復函數(shù)的極限的趨向方式的任意性更大，可以類比為一個二元實函數(shù)的問題。與復函數(shù)極限趨向方式的任意性不同，實函數(shù)的極限趨向方式更為苛刻和嚴格，因為趨向的方式只能一種，即單方向的，因此要求實函數(shù)一點的左極限和右極限必須相等，這樣才能保證實函數(shù)極限的存在?？梢酝ㄟ^求一個復函數(shù)極限的例子來說明復函數(shù)極限的特點：可見，該復函數(shù)在原點極限不存在。5.實函數(shù)和復函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性描述的是函數(shù)整體變化的性質，判斷一個函數(shù)是否具有連續(xù)性是更深入研究函數(shù)其它性質的前提。函數(shù)的連續(xù)性問題在對函數(shù)的研究中是具有承上啟下作用的，一方面緊密聯(lián)系了函數(shù)的極限，另一方面為后續(xù)更復雜的函數(shù)性質做好鋪墊和準備。函數(shù)的連續(xù)性首先是針對定義域內(nèi)一點的定義，要求當自變量趨向某一個值時，其極限值與函數(shù)值相等。而通常情況下，函數(shù)的連續(xù)性指的是函數(shù)在定義區(qū)間中的所有點都連續(xù)，即整體具有連續(xù)性。值得注意的是，這里并沒有說函數(shù)在定義域內(nèi)的所有點具有連續(xù)性，因為在定義域內(nèi)有可能包含一些離散的點，而函數(shù)在這些離散的點上不連續(xù)，導致整體不具有連續(xù)性。但是，如果把定義域上的這些點剔除掉，不包含在定義區(qū)間內(nèi)，這樣可以使函數(shù)又恢復連續(xù)性。對于實函數(shù)和復函數(shù)來說，它們連續(xù)性的定義是類似的，都由前面的描述給出。但不同的是，實函數(shù)的連續(xù)是一元的連續(xù)，在實數(shù)軸上其形式是一維的。相比之下，復函數(shù)連續(xù)的要求就更為嚴格，因為復函數(shù)的實部和虛部必須同時滿足連續(xù)的要求。如果把復函數(shù)虛部看做一個單獨的變量，那么復函數(shù)連續(xù)相當于一個二元函數(shù)的連續(xù)，復雜性增加。6.實函數(shù)和復函數(shù)的導數(shù)在函數(shù)的研究中，導數(shù)是一個極為重要的概念。導數(shù)可以反映著一個函數(shù)的變化快慢，具體來說是在定義域內(nèi)某一點上變化的快慢。當函數(shù)自變量有一個增量的時候，相應的函數(shù)因變量也會有一個增量，函數(shù)值的變化與自變量的變化有一個比值，這個比值可以反映函數(shù)變化的快慢，比值大說明自變量變化量相同時，函數(shù)值增量的變化大；比值小，說明自變量變化量相同時，函數(shù)值增量的變化小。當函數(shù)自變量變化的值趨向于0時，有時候函數(shù)值的變化和自變量變化的比值仍然存在，且不是無窮大，那么這個情況下的比值就叫做函數(shù)在這一點上的導數(shù)；如果這個比值不存在，那么說明函數(shù)在這一點的導數(shù)不存在。由此可見，導數(shù)反映的是函數(shù)在定義域內(nèi)某一點的變化快慢，導數(shù)越大說明函數(shù)在這一點上的變化越快，導數(shù)越小說明函數(shù)在這一點上的變化越小。導數(shù)的計算是函數(shù)導數(shù)理論，乃至微積分理論中很重要的一部分內(nèi)容?；镜挠嬎惴椒òǜ鶕?jù)定義計算函數(shù)導數(shù)，導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)導數(shù)的計算法則，反函數(shù)導數(shù)的計算法則等。函數(shù)的導數(shù)具有線性，即對于線性組合函數(shù)的導數(shù)，就是各自導數(shù)相應的線性組合；對于兩個函數(shù)乘積的導數(shù)，是一個函數(shù)與另一個函數(shù)導數(shù)的乘積，加上另一個函數(shù)的導數(shù)和這個函數(shù)的乘積；對于兩個函數(shù)商的導數(shù)，是以后一個函數(shù)的平方做分母，前一個函數(shù)的導數(shù)與后一個函數(shù)的乘積減去后一個函數(shù)的導數(shù)與前一個函數(shù)的乘積做分子的結果。實函數(shù)和復函數(shù)在導數(shù)的計算中有很大的相同點，即所有的導數(shù)計算法則都可以應用到實函數(shù)和復函數(shù)的導數(shù)計算中去。包括非常有用的洛比達法則。洛比達法則可以簡化導數(shù)的求法，因而洛比達法則在函數(shù)中的適用性對于導數(shù)的計算具有重大意義。以下為實函數(shù)和復函數(shù)中的洛比達法則。（1）實函數(shù)中的洛比達法則：從以上定理可以看出，當函數(shù)滿足定理條件時，洛必達法則對于復函數(shù)也適用。除了這些相同點，實函數(shù)和復函數(shù)在導數(shù)的定義上同樣也具有形式上的相同點。但是，實函數(shù)和復函數(shù)在定義上的不同點，并不能被形式上的一致性所掩蓋。正如前面所分析過的，由于復函數(shù)包括實部和虛部，因此復函數(shù)的增量也由兩個部分組成，即實部的增量和虛部的增量。因此，在定義復函數(shù)導數(shù)的時候，考慮的范圍應該多與實函數(shù)的導數(shù)情形。如果要求復函數(shù)存在導數(shù)，那么由實部增量獲得的復函數(shù)導數(shù)應該與由虛部增量獲得的復函數(shù)導數(shù)相一致。這也就是柯西黎曼條件。注意這不是判斷復函數(shù)導數(shù)存在的充分條件，只是必要條件。由此可見，復函數(shù)的導數(shù)內(nèi)涵比實函數(shù)的導數(shù)內(nèi)涵更為廣泛。在函數(shù)導數(shù)存在與否的判定中，復函數(shù)的情形也更為復雜?？梢酝ㄟ^一個具體的例子來說明復函數(shù)求導是的特點和性質：因為兩種趨近方式的導數(shù)不相等，因此可以判斷，該函數(shù)在z0處導數(shù)不存在，也就是說該復函數(shù)處處不可導。由此可以看出，與實函數(shù)