高中奧賽題數(shù)學(xué)

高中奧賽題數(shù)學(xué)

第36屆全國高中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽決賽第一天的試題（共3道題

目，競(jìng)賽時(shí)間：2020年11月24日上午8：00—12：30）

2020年中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）第一天試題

（n》l）是復(fù)數(shù)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為實(shí)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為純虛數(shù)，且|Z*Z"=2*,

記4=ki+z2T---Fz?\

<1）求尾的最小可能值

（2）求八UMI的最小可能值

2.給定正整數(shù)m>l,求正整數(shù)n的最小值，使得對(duì)任意整數(shù)由，a?,…，a?,blfa.2…，b?.

存在整數(shù)樂的，…，4,滿足以下兩個(gè)條件

（1）Bie<1,2,—,n},使得zjjm互質(zhì)

（2），2七￡三22“北三°（1n0dm）

3.已知正整數(shù)n,恰有36個(gè)不同的質(zhì)數(shù)整除叫對(duì)上=1,2,???,5.記［鼻弛，容］中互

Du

236

質(zhì)的整數(shù)個(gè)數(shù)為G，已知G,C?,…，金不完全相同，求證：￡（C,-CJ）52

二、第36屆全國高中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽決賽第二天的試題(共3

道題目，競(jìng)賽時(shí)間：2020年11月25日上午8：00—12：30)

第二天

4.銳加：.角形ABC(AB>AC)、Z為其外接園上劣弧灰'中

點(diǎn).K為A的對(duì)徑點(diǎn).過。作OD〃AM交ABTD,交CA

的延長線J-E,直線BM交直線CK1jR直線CM交直線

BKJ-Q.

目五正：￡OPB+Z.OEB=Z.OQC+AODC.

5.P是?個(gè)凸多面體,滿足以卜兩個(gè)性質(zhì):

(i)P的每一個(gè)頂點(diǎn)恰屬于3個(gè)不同的面:

(ii)對(duì)任意k23,P'I'k邊形面都恰有偶數(shù)個(gè).

有一只蛆蚊從某條棱的中點(diǎn)出發(fā)、沿棱爬行.走?條閉合路

徑L,經(jīng)過L上每一點(diǎn)恰好一次，最終回到出發(fā)點(diǎn).L將P的

表面分為兩部分.使得對(duì)任意k23.兩部分中k邊形向的個(gè)

數(shù)相等.

求證：螞蟻在爬行中向左轉(zhuǎn)和向右轉(zhuǎn)的次數(shù)相等.

6.設(shè)N*表示正整數(shù)集.求所有的函數(shù)使得對(duì)

任意正整數(shù)x,y.均有f(/(x)+y)整除x+f(y).

E

O

三、第36屆全國高中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽決賽第一天的試題(共3

道題目，競(jìng)賽時(shí)間：2020年11月24日上午8：00—12：30)參考

答案

(1)第一天第1題參考答案

20204中國霰華奧北匹克

第-夫

1.舊島履上教教禮存教映為災(zāi)豢，倡教隨為純成教,

出戲隹二超正塞叔k,IWKZKJ=2”.憶￡=信1+區(qū).1■…+Z/

cnif^J可前值.

（2）米￡/工“魚星工可能值.

做：隔=個(gè)（幾=12…）,我"，b“￡R.

Vk€N+.|&bJ=2*|,小4|=>\

子工時(shí)住為工薨教k,|贊國拜卜費(fèi)=2,

隈卜I輪卜歲=2.

故，VMN+,|心|二21HlQj,Ikl^/W.

可被公=2X食佃，兒=2”人J,.念入6口』.

。時(shí)刈工腐赤甲產(chǎn)

二J（多2HM十（卑2隊(duì)k）”

［②/%）淀+（多工人/①

二藝2gC；,藝戶入蜀一,教

7^14?1

.,.結(jié)含①可狷于37必訐》［21岫［=2.

當(dāng)32儂,*2河（匕=12-j。。?），電”-2叫i,

ZXM=-2'唾I日七五”=2.故土3酌錄3值美

⑵令Si噂2*,5a嗒U.￡孔,止

-一S5制國專教一隊(duì)|S?|.|SJ肛

由以二J(SQ『+⑸bJ,幾二」］(5討“)4］、6前廣,

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于<￡x吁砌=JS&)>(SM『Jcsit1)s［cs,+24)a.r

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22叫母

W

號(hào)ZNKT二"=2j2坂*-1I(K=/，2,…,/。。夕),

)修，F(xiàn)T,,6

，區(qū)田二i，Zw=-7}^嗎?，

J以=2叱4-可支取制導(dǎo)考.收以&眼梟J色

￡2,0",

（2）第一天第2題參考答案:

2.給定王紫嗷磯力，術(shù)王i.袁兒留是耕辦匕倭春得隹

孟整敢出,2：B.h,ba「：b?.存在￡盤%，力,??，”,

滿工人下西個(gè)球在；

CD?右l€?,2,…,幾上便段與仇互季>

Q）￡：。1劭工>：/>[>;三0C~?wd?。?

以運(yùn)I

解:叔沆窗舟也貫解磁為冷個(gè)…冷.

號(hào)幾二2上以取&="^-Ci=L2,….K）,%.產(chǎn)展”…=源=0.

r、

*P?

b產(chǎn)h二?一二鼠工0,bx?尸,JQ=I,2,???.K）.

帶，痣檢三ogum），網(wǎng)才pj部檢，于展?p，E，1Mz

…，PK|”,若岑卜力三。（巾2,用卡M2b心,王!■_?」7*?,

?"、「，?.?，及3.固此，％,>2,….％K用與m不互點(diǎn).不叁舍

余件CD.故兀72K+I.

下面H%T鞏=2匕+1噴，在在菱蒙2.M,…2潘Mr#

Q）,Q）.

不如設(shè)JC&（氏已必）=|,JcU（尻丘?-?,卜3）=I,

且耐住龍里救A,去SaCfi-Ab.,flx-Abx，…，曲「從加月.①

次念在三堂兀七三OCm）

內(nèi)v*r

<=^Vj€{L2.…K,黨“H三熨兒看三。（叱啜）③

說念，—,他小tkR互告公教為“5,二“京U4s,

VS2V…45aCK+D,h，ba,…，UH中與《史素供小為＜＞

bh,,一，b%（IV±,V%W2k+l）.

芮衣在SL七（IWMIL,|＜丫＜?）餞存十丫川&&,….sj,

Si專[tu七,一；十》上明B|跖，分Ibs,.

祝在，取之閆（*d陰）（閆,2/]2K+I,以+丫,SD.網(wǎng)@

可化為.然由十〃力7tr三Co或冷）,③足J￡c,J是確

.bs（,Ns,十bfy7tr三JC*NR"）.

京：?'節(jié)輪.由與各互?？扇纰畚唇?此始為，力,

?二九?中14左兩孑數(shù)能被口塞除

若工迷」情制不存札則Cl-V,S（=t（zSaMa,…,Su-lv.

這曲,加雜舞，魯-二食中友西孑淚》不閏今.不妨

設(shè)卷挈食（混切，陽C“念小-垢原，Ri）=l.雙龍，取

力戶1（和義■與C2|,2,…,2奸|,3S,Sa）.陰②可化為

f必Ns,+〃、石》三czE00）.小3M,,.,.._

數(shù)由依園-心島社互走可如④友解,近樣,利力,….*

中更自有兩個(gè)微依被E整陶.

如果矍，駕，一.，食接入兩兩鳳嫉,可世上三食

三…三賢■三人5*^ft）,則時(shí)。5,一入bs,C，=l，，…,N）.

4國匕|“L人慶（A|2…,2M）,友自①才信！

故對(duì)」'￡a2,「乂，可捕囹兼教2,心-一,二必,力中

至多瑞兩個(gè)數(shù)胞被匕塞除，凡重匕數(shù)核砂」與I同率，滿冠

No；三黃慶為三。（海^腔）.@

閆;?|

女缸由till蒯金良在可加?存在菱表"N,二%⑼

我/餌三W>b：論三0（加&w）,再6吉令⑤可如，力,心，

歸戶1

…，7曲中王夕木（2什|）-2k=14數(shù)不能被R,日…小象

臨，詼表當(dāng)交專訊互表.

維h新世，幾束1果也被￡2已1,其中七是沆命衍次素

因于魚年數(shù).

（2）第一天第3題參考答案

3,已知正塞繳幾，性木■不同依未教塞糅凡，時(shí)匕引，

2,…5記［曾＜等］中與幾互主絲墓教中教為金，已加G,

心，…,臭不宜魚雨風(fēng).術(shù)證：NCO

IWKKS

證照電羯去可諛幾=產(chǎn)*…度'，*",及…，/及3〃

不同#近教,M€N+C1=12….36).

注年創(chuàng)舟在3工亞正復(fù)數(shù)況，機(jī)察］=［去］.

根提甯領(lǐng)理株C心］-專席＞裝［鏢］-

…十C-D町隅十［卷］-專［制+篇宓-

…4(-1)打硼二%］.①

，隹*.K”34,0,左Q+Q十…十6=［獸］-與［里］

十Z［喘〃［品】一?

isy

二［圖-小第卜篇［就］-……”肅看］°

現(xiàn)在，記工8=［穹-嚴(yán)鏟］

曲①，②可寤:喘在支匕6{|,2,…,5上&=心5)-重心(■附

噫Ml)一…③

誄到，身彳呈點(diǎn)明/€此米入CSIL十切一

［（K-T堂叼=比十五（U）.底,風(fēng)長況）也正兼也部稱以5命

洛，教，刑齡生jfc仇6川+,左70）=［牛］+7k（f（m））.

再給合③可得??必化夫k￡fi,2,…,U,意

金=Ci+7kQF⑺）-多7K（五件））+裝小（汽土'））一…

十兀（】（忸"：口））.

鉀金-G=五（何）-M五G（金））七磊“（于（侏））-

…十人仔（岳瓦））.?

國為濟(jì)化壽加GN+,左長"）€",1，Z3,4上

魚隊(duì)G-GY■染九TKS）十鞏心。）十旭五62）十次37⑶

十叫及（4）二孫及Q）十儂石Q）十出口⑶十%詼⑹?

盤里鬼，如,水》,次L加賽.源定留整盤■，殺的和溢_孤。）=0.

*用kCM=［號(hào)］-］怦］可隊(duì)騫也-

（工Cl）,7,C2）,1C3）,工⑷）二（0,0,0,0）；

CBQ）,丁2（2）,~Jz（3）,7a（4））二（0,O,1,1）；

（TiCl）,似2）,73（3）,力⑷）二（。）,0,1）；

CT+CD,—Q）,Tt■⑶,■（4））二（。，o,I,I）；

=

QTs。），TsQ）,7sCJ）Z7s（4））CizLLI）.

因此Cz~G=加3十科?,J-C產(chǎn)儂+?！叮琎-C產(chǎn)網(wǎng)十冊(cè)4,

Cs-Ci=x（+Mx-t^tw4,乎&C3一以二%-九"。-G=。，

Cs-Cx—Hi+^ta,1~Q=THj7Hi,Cs~Cb=仇t+血3,

Cs-a=加十旭.?

為d，由④不知置S’M吐金-G=o,Ql，2,….5.砰C=a

二…=Cs.近目GA….Cs不克金相見加扁!妝52M.

T面好幾令兩封Mr必討訖，

Q）當(dāng)5+幾府，閩為2,三2（混5X22X4CW512、33^5）,

2,三卜府S）,漸次花在正薨盤九枚四2合三砧溷5）,反由

RM5"12….36）于如??衣左iX救九伐Q%>s）,

砰七三斗（加A5）.

再體專版?于符:研隹4*fl.）.…回.市

Q-G=及吁川）-乏工（丑2*））+（河皿聞

l<WO<

---+（?1產(chǎn)7?（9（25'L））=冽70H%7JcC2）憎4/3）

?+冉我（4）.⑦

現(xiàn)右，埼■=心5/）（|-*）-??ON叼,由份可知：

相兒?。╇p爭(zhēng)禽，的清歡教那4卷。窗欣曲W教區(qū)而方知;

魚灰次卷加4點(diǎn)/依收#4.教之狗為小，向木灰繳混4

￡2魚旗做圣教之癡為祖人音為先奴混44.3的狡畬右

教Z我為次3（運(yùn)是由2"（*s）依4.表數(shù)倒是觸R為4的

風(fēng)才R羲羽，員2°三屋斕刃，2,三2（渥5）,2=4（加以另，

2,三3（*S）金彳龜定魚）.

S4%?引.可令7心0力與。-力有）*??（卜］加）二%TMR

十人力+加》?

在⑤中取可將加十Mt九亓%=0.

4孔，由矽可初NCQ-Q）'=20「加）,+4O1祇廣

ww$s

42（沈a"3尸.⑦

激七，七.…，%中木入中教波從4-iCM。/,2,3）

剛?cè)搿Ｊ笋R入十人3

由⑧可得??芳X4引.期N』Q-R?C/-Z/'C/-Z^-

3,

CI-X）A=如+wuxt孫無、+

血源入丸，那么漪鞏33瓦寸叫7、祖"=04z=i/.

士i都就士..而當(dāng)》＞沆2,#4,九3不全務(wù)袈席,關(guān)守九的由本支

加"加二+耽於＞+如少=0王￡有三彳根.玄川二加廣均n小

二0,正面C=G=J=G=。5成與C.C"G,Q,金不克生和

同才命故人。=0.

砰也6{-I,LL-"，為#Cl-R）人OM“Ci-z,/,

二冽一%k十叫R—加X?.里中入苫入a+入3=%.?

右?中天力二T可得2MzM4-M-九3=/0‘J

匕騏2%,*0

才是冽十必三心i■沈3（加42*），區(qū)由鬼十小十雙十冽產(chǎn)。

可符2叼九十雙，2叼加十啊.?

之聞中取片匕奪得（九-叫）+（%-沆3）L

二2"汴Cl-i）兒Q+ip3

=（卜出入附（司木（件戶戶

二-淤（1+。人濁一

由比力可知2sol-雙），2倍/（泡-泡）①）

結(jié)金??可得附，況2,3.如也胡薇2〃差陷.

若小十加3.由⑥可奏［廿向J72%.孤線哈⑦5

:

彳黑NCcv-cy=2（%-桁）'十4（而十加）、2czM內(nèi)尸

14岡（5

凌（加-為廣72刃>2%

有如.二期.由⑦反C,Cz.…/5不定金和網(wǎng),可加那心，

Mo,而2,71?M%,商隊(duì)［城］十處］32%

再令令⑨可得：NCQ-G）'=2（%-；X3）'+4QVAi『

iwyjws

十2C幾十次3）”=6C比產(chǎn)加）'36x（2"）'>2"

C2）芻S|幾時(shí)，由于5”兒.離隊(duì)S/也不以設(shè)徐工5,網(wǎng)

必6二I.記兒j普，則5m.

由⑥可行金-6=、（f（5矽）-之又（于（翎+

蔡附（概））-…+1%點(diǎn)%））

二-兀（物0）+多人（于（普））-…十七6（情而））

而運(yùn)星5卜兒’，我下床可殺用美似CD窗處理，網(wǎng)致可

證：NCa-Cj）“72%

JWKiWS

循令Q）.（2）可相WCCv-Q『72'

嶺jws

四、第36屆全國高中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽決賽第二天的試題（共3

道題目，競(jìng)賽時(shí)間：2020年11月25日上午8：00—12：30）參考

答案

（1）第二天第4題參考答案

2。20華寸國數(shù)年負(fù)林匹克

學(xué)二天

4/七龜4ABC(AB>AC),M為其禰技困JL為孤前的

中點(diǎn)，k*A鈉K板點(diǎn).比0傕0D"1A友AB牙D,友CA的延

長伊于E支第BM左史線Ck子P,支脩CM左玄鐸BKJQ.去

證4PB+N(O=NO&C+/ODC.

證網(wǎng)■也《OB,OC.

?「NODB=NXAAB=〃BC,

NORD=ZOAB=NkAB=NKCB.

「.△OBDsApCB.

今署暇逢.

又由NCBD=NOBC+/OBD

=ZOCB+PCB=ZPCO.可春

△BCDs^cpo今NOpCNDCB.

同理可由AOCES/QBC今4BCEs』aB0

》/OGB二NEBC.

于旻/OPB十/OEB;NBpC-NOpC+/OEB=ZDOB-

NDCR+NOER=ZQPC+ZOBC+ZOEB=/ODC+/OCB+

N0EBN0DC+ZCOE-ZCBE=ZOPC+NBQC-/B&O

=ZODC+zoac.

(2)第二天第5題參考答案

5.P是-4凸多面心，滿員K下兩個(gè)他隊(duì)

Ci)F案等-4丁良點(diǎn)佑屆于3個(gè)不同曲面，

(ii)啟隹態(tài)k73,P中k正書面壽帕方得去土

本-R蠅蟻余核曲上也也殳，舟棱爬行，更-祭閉

令路在L茲比￡JL4一支怡妗一次,錄會(huì)回到出發(fā)點(diǎn)工

超P的表面為為兩割勻，住狷附隹條k/3,兩耕切中k比用

面幽4數(shù)棚箏￡言?端奴友更有中白左莪俞右右垃珈久

親相象

iL鋼設(shè)L幡P附表面會(huì)底曲

兩耕令為M.A/.\__^-/

先觀雇陽臺(tái)的堀:乙可人/也二、

螞奴左-4■路口左轉(zhuǎn)國如過倒及

點(diǎn)竹府孑羊個(gè)君奇Q不撻設(shè)知2t

掰兩偌也書面.

茗下一彳路口無黃，財(cái)此火的住址的孜點(diǎn)精尾子小中的

兩個(gè)名也齊面；若下-4■路口右鞋，購此舟斷經(jīng)生魚了災(zāi)點(diǎn).怡

扇于M中掰-43瓦而面.

舟子蝸奴在一中路口力引，不一步留住沉5前也■關(guān)似.

由此可知，螞蟻在您在中自左轉(zhuǎn)加向右轅的次數(shù)與

魚及點(diǎn).堵關(guān).

記閉哈洛在心工商關(guān)預(yù)點(diǎn)構(gòu)曲朵々s.

被s中渣￡孑支竹屬于加中-7專業(yè)用面，97r點(diǎn)怕屬于

M中的西4名也用面.網(wǎng)由殺俘5）可加：S中看久力點(diǎn)借屬子

N中儲(chǔ)兩中學(xué)正輪面/個(gè)點(diǎn)傳屬于N中金-4名也晶面.

守是,蝸奴在悠若中向左轉(zhuǎn)拓向右鹿幽灰藪為五，K

下面證明Z=工

就隹忠匕》3，小、A）中匕也用面魚不數(shù)相爭(zhēng).圖跖，Z4、/V

中商發(fā)面的狡女?dāng)?shù)之俞粕等.說&役m例中不屆于s依孜

右左u<N偷伸不愿4S成1文也有"仁由粢音。）可MM視

巾脩T淆面依丁文點(diǎn)教區(qū)和為3從十7+2小川例1中四堵面內(nèi)頂點(diǎn)

數(shù)Z用為37+2X刊.次而編3兒十X+2g=3/+2?if.0

由瓠太可知，M，N自面急加爭(zhēng)，設(shè)面教無土

諛M伊I窗梭米為e.囹%一小核武兩個(gè)狡々，背入2喈

才從側(cè)上禽衣面依頂點(diǎn)救￡癡再加工人工商旅改點(diǎn)教.理

2。=。3“十7+2，）十又十J.故。=4（3區(qū)十2*十39）.

國理■可得：N擷餓核教為士（川+奴+刈）.

對(duì)孑M飽，上面教也￡及去藪當(dāng)LUN十九棱數(shù)治

《⑶I十2X+3Q,板據(jù)歐技定很可存：

（"AJ）-4（3從+2之十3幻+Cf+1）=2.?

同樣附內(nèi)側(cè).根據(jù)歐瓦定也可得：

C1HN+9）-4C3》+3X+2勺）十（J+l）=2.③

由3,。③可存tl=",抬入①可4?%=y.

即螞蟻右愈在中向左輕白右轉(zhuǎn)南次數(shù)植空

(3)第二天第六題參考答案

6,極N+是五蓑教夕.水四發(fā)幽曲電F/V+7儲(chǔ),使得

對(duì)住高五塞教N(yùn)，9,色力f(foo+8)b+f⑼.供)

解常在在〃,b￡N+,"b,儻得;fg=f?2取應(yīng)樣的

a,b,讓b玉小.

在(X沖取十億可獴VKN+,f(f?)+⑼"也).CD

在田中*x=b可得VX6N+,fGa)+g)|b+f⑼.@

由R②季得?HKN+,Rf?+9)H-b.③運(yùn)一明一

淆果.由a-b的■聶J也可也于0@十|)吁吁@+2),…，

+(fca)+a-b)兩兩不同，結(jié)吉③可加至少友a(bǔ)-b<不同的

困子.評(píng)1,2,….”升新菱感。b,故a4€〃?.

芻億-b=ist由③可彳宗y，eN+，:f(fa)*H)=L肝附在

森工曼敦N》fca)H.\于⑺引.

右Ge)中分別取f。)+1,jca)+i,可得得在丞冊(cè)N+,

fCHH)|-fC<t)+l+fCH)④，fCH9)]f⑷+2+于⑶⑨

由④,?可得于(葉切1今:fo+y)=i.肝再化福正莫教

X>2,,f0)=1.

固丸yx/€仙仔(動(dòng)十”陽=2,一-，(f(M+y)=|.

故此身:f(M=[C'川用松枝詼函數(shù)縛合棘烝！

II,X?2

/e-b=2跣由③可翱得化玄木

正結(jié)若a-b依*a也可和：在右兒6N+,住察長兒尸f5+2)

=??,=f(幾十2K)=…=|,f(兒+D=f(八+3)=…=/(九+22+1);…

:2.在田中今制雙％=4，幾+2,可律附隹也心如，

R+W4+f⑼⑥，fQ+y)|Mt+f⑼⑦.

由?由可存白出32今于a+y)efi,2j.

砰站隹洗工￡數(shù)五72,友fcx)6{1,2}.

故f(