實(shí)變函數(shù)讀書(shū)報(bào)告

Lebesgue積分與Riemann積分的區(qū)別與聯(lián)系摘要：積分是整個(gè)分析數(shù)學(xué)中最根本的概念，黎曼積分與勒貝格積分是兩種非常重要的積分，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，在此，主要通過(guò)對(duì)黎曼積分和勒貝格積分定義及性質(zhì)定理的分析與比擬，歸納總結(jié)出二者的區(qū)別與聯(lián)系.關(guān)鍵詞：黎曼積分;勒貝格積分;連續(xù)性；可加性；極限交換。正文：積分是整個(gè)分析數(shù)學(xué)中最根本的概念，現(xiàn)有的積分有兩種形式：一種是作為近代數(shù)學(xué)核心的Riemann積分，一種是作為現(xiàn)代實(shí)變函數(shù)論核心的Lebesgue積分，這兩種積分既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別.下面從兩種積分的定義及其性質(zhì)定理等方面進(jìn)行比擬。1.Riemann積分的缺陷〔1〕Riemann積分的研究對(duì)象是“根本上〞連續(xù)的函數(shù)假設(shè)令T=max{,i=1,2…,n},那么?〔x〕在[a,b]上Riemann可積的充要條件是：(其中是中的上確界與下確界的差)函數(shù)的可積性是與上式等價(jià)的，又上式受到兩個(gè)因素的影響：1.的大小，2的大小，所以要想同時(shí)滿足兩者比擬難，所以只能是“根本上〞連續(xù)的函數(shù)?！?〕積分與極限可交換的條件太嚴(yán).我們知道一列黎曼可積函數(shù)〔即使有界〕不一定保持可積性.因此在積分與極限交換問(wèn)題上，積分的局限性就特別突出，大家知道，為了使對(duì)一列收斂的可積函數(shù)能成立，當(dāng)然要求是可積的.對(duì)加上一致收斂的條件可以保證極限函數(shù)可積，同時(shí)也保證了上面等式的成立，可是這一充分條件不但非?？量潭覚z驗(yàn)起來(lái)也不方便.由于積分與極限交換問(wèn)題不能順利解決，就大大降低了積分的效果.〔3〕微積分根本定理的應(yīng)用受到限制我們知道任一可積函數(shù)的上限積分在的所有連續(xù)點(diǎn)都有，換言之，就是積分后再微分可以復(fù)原。但是另一方面一個(gè)可微函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即使有界也不一定iemann可積〔Volterra的例〕，因此也就說(shuō)不上有.公式所以在積分的范圍內(nèi)，積分運(yùn)算只是局部地成為微分運(yùn)算之逆.2．積分的定義〔1〕Riemann積分的定義設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，任取一分點(diǎn)組T將區(qū)間分成n局部，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),1,2,3,….作和令，如果對(duì)任意的分發(fā)與的任意取法，當(dāng)時(shí)，趨于有限的極限，那么稱它為在上的黎曼積分，記為〔2〕Lebesgue積分的定義由本學(xué)期教材知Lebesgue積分的定義是由三個(gè)步驟給出的，但前兩個(gè)定義都被包含在第三個(gè)定義之中，所以此處只給出第三個(gè)定義：設(shè)?(x)是E上的可測(cè)函數(shù)，假設(shè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)在E上積分不同時(shí)為，就稱在上有積分并定義在E上的積分為：〔它是有限數(shù)或〕.當(dāng)上述積分為有限數(shù)時(shí)〔即當(dāng)均在E上可積時(shí)〕，就稱在E上可積。從以上可以看出，它們的區(qū)別是：黎曼積分是將給定函數(shù)的定義域分小而產(chǎn)生的，而由本學(xué)期教材中的三步定義知勒貝格積分是劃分函數(shù)的值域而產(chǎn)生的.對(duì)定義域與對(duì)值域的分割是iemann積分與ebesgue積分的本質(zhì)區(qū)別，對(duì)值域進(jìn)行分割求積分的方法使中的點(diǎn)分成幾大類(lèi)形成點(diǎn)集，.另外，ebesgue積分理論是在測(cè)度理論的根底上建立的,測(cè)度是平面上度量的推廣，這一理論可以處理有界函數(shù)和無(wú)界函數(shù)的情形，而且把函數(shù)定義在更一般的點(diǎn)集上，而不僅僅限于上.所以，這兩種積分產(chǎn)生了本質(zhì)的區(qū)別,使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具備的良好性質(zhì).3.區(qū)別于聯(lián)系〔1〕可積函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間【a，b】連續(xù)函數(shù)必是黎曼可積函數(shù)，當(dāng)然也必是勒貝格可積函數(shù)，但黎曼可積函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)，比方只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)是黎曼可積的。那么具備怎樣性質(zhì)的函數(shù)是黎曼可積的呢？勒貝格給出了黎曼可積的一個(gè)比擬好的充要條件。它將函數(shù)的可積性歸結(jié)到了函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)—連續(xù)性上，使得我們對(duì)黎曼可積函數(shù)的本質(zhì)看得更清楚。這個(gè)可積條件是：函數(shù)在上黎曼可積的充要條件是在上一切間斷點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集。這說(shuō)明黎曼可積函數(shù)是幾乎處處連續(xù)的。定理為使【a，b】上的有界函數(shù)f是R可積，充分必要條件是f在【a，b】上幾乎處處連續(xù)。此外當(dāng)f為R可積時(shí)，f必L可積，而且兩個(gè)積分值相等。例如黎曼函數(shù)這個(gè)函數(shù)在所有無(wú)理點(diǎn)處是連續(xù)的，在有理點(diǎn)處是不連續(xù)的.〔因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的極限處處為0〕。雖然在中有無(wú)窮多個(gè)有理點(diǎn)，即黎曼函數(shù)在上的不連續(xù)點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，但這個(gè)函數(shù)在上仍是黎曼可積的，且有事實(shí)上，中的全體有理數(shù)組成一個(gè)零測(cè)度集，所以黎曼函數(shù)是黎曼可積的.現(xiàn)在再來(lái)看勒貝格可積函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)?！卜e分的絕對(duì)連續(xù)性〕設(shè)，那么對(duì)任何>0，存在>0，使得對(duì)D上的任何可測(cè)子集A,只要m(A)<,就有||<.〔2〕積分的可加性這里所說(shuō)的可加性，指的是積分區(qū)域的可加性.黎曼積分具有有限可加性，即假設(shè)，均為有限區(qū)間，〔〕那么有但是黎曼積分不具有可列可加性，而對(duì)于勒貝格積分，它不僅具有有限可加性，而且還具有可列可加性，克服了黎曼積分的缺陷，我們有下面的定理：定理1假設(shè)，〔〕，，〔=1,2，.....〕均為可測(cè)集，且，是上的勒貝格有界可積函數(shù)，那么有〔3〕積分與極限交換關(guān)于黎曼積分積分與極限互換的問(wèn)題，由于積分與極限交換的問(wèn)題不能順利解決，就大大降低了黎曼積分的效果與應(yīng)用范圍.在勒貝格積分范圍類(lèi)對(duì)于這個(gè)問(wèn)題得到比在黎曼積分范圍類(lèi)完滿的解決，這正是勒貝格積分的最大成功之處.對(duì)于勒貝格積分，有如下定理：〔勒貝格控制收斂定理〕：設(shè)，〔1〕是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列；〔2〕存在E上非負(fù)可積函數(shù)F〔x〕,使〔n=1,2，...〕〔3〕在E上依測(cè)度收斂于?〔x〕那么在上可積，且證明：〔1〕證明定理1可參看本學(xué)期《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》教材P170定理3〔?！车淖C明?！?〕勒貝格控制收斂定理證明：有條件〔2〕知諸|fn(x)|可積，所以諸|∫dx|≦∫|fn(x)|dx≦∫由F〔x〕的積分具有絕對(duì)連續(xù)性知，n=1,2…積分具有等度的絕對(duì)連續(xù)性，由Vitali定理知此定理成立?！睼ita定理參看本學(xué)期《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》教材P187〕參考文獻(xiàn)：[1]郭大軍等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析.山東大學(xué)出版社，2005.[2]劉