專題2.6 勾股定理與動(dòng)點(diǎn)問題（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專題2.6勾股定理與動(dòng)點(diǎn)問題【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為2cm/s，設(shè)出發(fā)時(shí)間為ts．（1）求BC上的高；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△CDP是等腰三角形，求出所有滿足條件的t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，利用勾股定理即可求出AH的長；（2）首先利用勾股定理求出CD的長，由△CDP是等腰三角形進(jìn)行分類，分別是CP＝CD，DC＝DP，PD＝PC三種情形，分別求出PC的長即可解決問題．【解題過程】解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH=12BC＝15（在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH=AB2-B∴BC上的高為20cm；（2）由S△ABC=12×BC×AH=130×20＝25×BD，∴BD＝24cm，在Rt△BDA中，由勾股定理得，AD=AB2∴CD＝CA﹣CD＝25﹣7＝18（cm），①當(dāng)CP＝CD＝18cm時(shí)，t＝（25+25+30﹣18）÷2＝31；②當(dāng)DC＝DP時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，由面積法得，DF=BD×CDBC=由勾股定理得，CF=CD2∴PC＝2CF=1085（∴t＝（25+25+30-1085）÷2＝③當(dāng)PD＝PC時(shí)，設(shè)PC＝xcm，則PF＝（x-545）在Rt△PDF中，由勾股定理得，x2＝（x-545）2解得x＝15，∴PC＝15cm，∴t＝（25+25+30﹣15）÷2＝32.5，綜上：t＝31或14.2或32.5．1．（2020秋?儀征市期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是（）A．14.8 B．15 C．15.2 D．16【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理求出AC，根據(jù)垂線段最短，求出BP的最小值即可解決問題．【解題過程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP的值最小，最小值BP=AB?BCAC∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故選：A．2．（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)△APB為等腰三角形時(shí)，t的值為（）A．62596或252 B．252或24C．62596或24或12 D．62596或25【思路點(diǎn)撥】當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長度，繼而可求得t值．【解題過程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①當(dāng)BP＝BA＝25時(shí)，∴t=25②當(dāng)AB＝AP時(shí)，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③當(dāng)PB＝PA時(shí)，PB＝PA＝2tcm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=625綜上，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t=252或24或故選：D．3．（2021?贛州模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，連接AC，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝2，點(diǎn)P是四邊形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到AC的距離為3，則點(diǎn)P的位置有（）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的長，然后即可得到點(diǎn)D到AC的距離和點(diǎn)B到AC的距離，從而可以得到滿足條件的點(diǎn)P有幾處，本題得以解決．【解題過程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2∴在Rt△ADC中，斜邊AC上的高是：AD?CDAC∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜邊AC上的高是：BC?ABAC=∵3＜2，點(diǎn)P是四邊形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC的距離為3∴點(diǎn)P的位置在點(diǎn)D處，或者邊BC上或者邊AB上，即滿足條件的點(diǎn)P有3處，故選：B．4．（2020秋?耒陽市期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D為底邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，則DE+DF＝（）A．5 B．8 C．13 D．4.8【思路點(diǎn)撥】連接CD，過C點(diǎn)作底邊AB上的高CG，根據(jù)S△ABC＝S△ACD+S△DCB不難求得DE+DF的值．【解題過程】解：連接CD，過C點(diǎn)作底邊AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB?CG＝AC?DE+BC?DF，∵AC＝BC，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故選：D．5．（2021秋?碑林區(qū)校級期中）已知Rt△BCE和Rt△ADE按如圖方式擺放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一條直線上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，MN的長度不可能是（）A．9 B．12 C．14 D．16【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件易求AB＝9，AD∥BC，再確定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范圍，進(jìn)而可求解．【解題過程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，當(dāng)M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，N點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=A當(dāng)M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，N點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，如圖，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的長度不可能是16，故選：D．6．（2021秋?漳州期末）如圖，已知∠AOM＝45°，OA=2，點(diǎn)B是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△AOB為等腰三角形時(shí)，線段OB的長度為【思路點(diǎn)撥】分三種情況，當(dāng)OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【解題過程】解：當(dāng)△AOB為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①如圖，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如圖，OA＝OB=2③如圖，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA綜上所述，OB的長為1或2或2．故答案為：1或2或2．7．（2020?青白江區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)B、C重合），∠B＝∠APE，邊PE與AC交于點(diǎn)D，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，則PB的長為．【思路點(diǎn)撥】需要分類討論：①當(dāng)AP＝PD時(shí)，易得△ABP≌△PCD．②當(dāng)AD＝PD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積公式求得答案．③當(dāng)AD＝AP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合．【解題過程】解：①當(dāng)AP＝PD時(shí)，則△ABP≌△PCD，則PC＝AB＝6，故PB＝2．②當(dāng)AD＝PD時(shí)，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，過A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2過P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，設(shè)PC＝x，∴S△APC=12AG?PC=12∴5x＝3×PH，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（53x）2+9解得：x=9∴PC=9∴PB=7③當(dāng)AD＝AP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不合題意．綜上所述，PB的長為2或72故答案為：2或728．（2020秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于直線OB對稱，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段AC、AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），滿足∠BPQ＝∠BAO．當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，OP的長度是．【思路點(diǎn)撥】分為三種情況：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【解題過程】解：∵OA＝8，OB＝6，C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于直線OB對稱，∴BC＝AB=42分為3種情況：①當(dāng)PB＝PQ時(shí)，∵C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于直線OB對稱，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ與△CBP中，∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此時(shí)OP＝5﹣4＝1；②當(dāng)BQ＝BP時(shí)，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得：∠BQP＞∠BAO，∴這種情況不存在；③當(dāng)QB＝QP時(shí)，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，設(shè)OP＝x，則PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7∵點(diǎn)P在AC上，∴點(diǎn)P在點(diǎn)O左邊，此時(shí)OP=7∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，OP的長度是1或78故答案為：1或789．（2020秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD為AB邊上的高，CD＝6，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，P1，P2分別為點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對稱點(diǎn)，連接P1P2，則線段P1P2長度的取值范圍是．【思路點(diǎn)撥】如圖，連接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．證明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2PA，求出PA【解題過程】解：如圖，連接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分別為點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對稱點(diǎn)，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2∵S△ABC=12?BC?AH=12?∴AH=8×6∵12105≤PA∴2455≤P1P故答案為2455≤P1P10．（2021秋?泉州期末）如圖，∠AOB＝90°，點(diǎn)C在OA邊上，OA＝36cm，OB＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AO方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)恰好在C點(diǎn)相遇，求BC的長度？【思路點(diǎn)撥】由題意知：BC＝AC，設(shè)BC＝xcm，則OC＝（36﹣x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【解題過程】解：∵點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BC＝CA，設(shè)BC＝xcm，則CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求BC的長；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離；（3）當(dāng)AP＝CQ時(shí)，求t的值？【思路點(diǎn)撥】（1）在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理來求BC的長度；（2）在直角△BPQ中，根據(jù)勾股定理來求PQ的長度；（3）由路程＝時(shí)間×速度求出AP，BQ，再根據(jù)等量關(guān)系：AP＝CQ列出方程求解即可．【解題過程】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2（2）如圖，連接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+B（3）設(shè)t秒后，AP＝CQ．則t＝24﹣6t，解得t=24答：P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)247秒，AP＝CQ12．（2020秋?寶安區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC方向以6cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求BC的長；（2）運(yùn)動(dòng)幾秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）運(yùn)動(dòng)過程中，直線PQ能否平分△ABC的周長，若能，求出t的值，若不能，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理直接求出BC的長；（2）根據(jù)BP＝BQ，列出方程即可；（3）假設(shè)直線PQ能平分△ABC的周長，則7﹣1×t+6t＝28，但當(dāng)t=215時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為6×215【解題過程】解：（1）由勾股定理得，BC=AC2-A（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，則7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴運(yùn)動(dòng)1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假設(shè)直線PQ能平分△ABC的周長，則BP+BQ=12(AB+BC+AC)=1則7﹣1×t+6t＝28，解得t=21當(dāng)t=215時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為6×215∴直線PQ不能平分△ABC的周長．13．（2021秋?石獅市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動(dòng)至點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求BC的長；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由勾股定理求出BC的長即可；（2）連接AP，過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，則PE＝PC＝（8﹣2t）cm，證△AEP≌△ACP（AAS），得AE＝AC＝6cm，則BE＝AB﹣AE＝4（cm），再在Rt△BEP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解題過程】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2-A（2）存在，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)P恰好運(yùn)動(dòng)到∠BAC平分線上時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，連接AP，過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，如圖所示：則PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP與△ACP中，∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=5即當(dāng)t的值為52時(shí)，點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C14．（2020秋?曲沃縣期末）如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．（1）P、Q出發(fā)4秒后，求PQ的長；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△CQB能形成直角三角形？【思路點(diǎn)撥】（1）由題意求得BQ和BP，由勾股定理可求出答案；（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）求出BQ，分兩種情況可求出答案．【解題過程】解：（1）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根據(jù)勾股定理得：PQ=BQ2+BP（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根據(jù)題意得：2t＝16﹣t，解得：t=16即出發(fā)163秒鐘后，△PQB（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA邊上，且△CQB形成直角三角形時(shí)，過點(diǎn)B作CA的垂線，垂足即為點(diǎn)Q．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC=AB2+B根據(jù)三角形面積公式可得：BQ=AB?BCAC=在Rt△BCQ中，根據(jù)勾股定理得：CQ=BC2（12+365）÷2＝當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)9.6或16秒鐘后，△CQB能形成直角三角形．15．（2020秋?丹陽市期末）某校機(jī)器人興趣小組在如圖所示的三角形場地上開展訓(xùn)練．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；機(jī)器人從點(diǎn)C出發(fā)，沿著△ABC邊按C→B→A→C的方向勻速移動(dòng)到點(diǎn)C停止；機(jī)器人移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)至拐角處調(diào)整方向需要0.5秒（即在B、A處拐彎時(shí)分別用時(shí)0.5秒）．設(shè)機(jī)器人所用時(shí)間為t秒時(shí)，其所在位置用點(diǎn)P表示（機(jī)器人大小不計(jì)）．（1）點(diǎn)C到AB邊的距離是；（2）是否存在這樣的時(shí)刻，使△PBC為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，進(jìn)而利用三角形面積公式解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分四種情況解答即可．【解題過程】解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴點(diǎn)C到AB邊的距離=AC?BCAB故答案為：2.4；（2）存在，使△PBC為等腰三角形時(shí)，P在AB上或在AC上，當(dāng)P在AB上時(shí)，①BC＝BP，如圖1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如圖3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；當(dāng)P在AC上，如圖4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．綜上所述，t的值為6.5或7.1或6或10．16．（2021春?饒平縣校級期中）如圖1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，點(diǎn)D為斜邊上動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥AB交CB于點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)AE平分∠CAB時(shí)，求CE；（2）如圖3，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，連接CD，若△ACD為等腰三角形，求AD．【思路點(diǎn)撥】（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，設(shè)CE＝x，則BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根據(jù)勾股定理即可解決問題；（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；【解題過程】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，設(shè)CE＝x，則BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①當(dāng)AD＝AC時(shí)，△ACD為等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②當(dāng)CD＝AD時(shí)，△ACD為等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③當(dāng)CD＝AC時(shí)，△ACD為等腰三角形，如圖1中，作CH⊥BA于點(diǎn)H，則12?AB?CH=12?AC∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．（2020秋?長清區(qū)月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長；（2）當(dāng)t為幾秒時(shí)，BP平分∠ABC；（3）問t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理得出AC＝8cm，進(jìn)而表示出AP的長，由勾股定理求出PB，進(jìn)而得出答案；（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD＝BC＝6cm，因此BD＝10﹣6＝4cm，設(shè)PC＝xcm，則PA＝（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點(diǎn)及三角形的面積求出答案．【解題過程】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm∴出發(fā)2秒后，則CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周長為：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm（2）如圖2所示，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD與Rt△BPC中，PD=PCBP=BP∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6cm，∴AD＝10﹣6＝4cm．設(shè)PC＝xcm，則PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴當(dāng)t＝3秒時(shí)，AP平分∠CAB；（3）若P在邊AC上時(shí)，BC＝CP＝6cm，此時(shí)用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；若P在AB邊上時(shí)，有兩種情況：①若使BP＝CB＝6cm，此時(shí)AP＝4cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為12cm，所以用的時(shí)間為12s，故t＝12s時(shí)△BCP為等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，根據(jù)勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P運(yùn)動(dòng)的路程為18﹣7.2＝10.8cm，∴t的時(shí)間為10.8s，△BCP為等腰三角形；③若BP＝CP時(shí)，則∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC∴PA＝PB＝5cm∴P的路程為13cm，所以時(shí)間為13s時(shí)，△BCP為等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或10.8s時(shí)△BCP為等腰三角形．18．（2020秋?灤南縣期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長度（結(jié)果保留根號）；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE＝CD？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間先求出PC，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中形成三種等腰三角形，分情況即可求解；（3）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的不同位置利用勾股定理即可求解．【解題過程】解：（1）根據(jù)題意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理，得AP=AC2答：AP的長為241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根據(jù)勾股定理，得AB=64+256=若BA＝BP，則2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，則BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，則（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的值為45、16、5．（3）①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖1所示：則∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；綜上所述，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t的值為5或11時(shí)，能使DE＝CD．19．（2021秋?長春期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）求AC的長及斜邊AB上的高；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP的長為；（用含t的代數(shù)式表示）②若點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，則t的值為；（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，直接寫出△ABP是等腰三角形時(shí)t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由勾股定理可求得AC的值，再設(shè)斜邊AB上的高為h，由面積法可求得答案；（2）①根據(jù)線段的和差關(guān)系解答即可；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可；（3）分AB作為底和腰兩種情況討論即可．【解題過程】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．設(shè)斜邊AB上的高為h，∵12AB?h=12AC∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的長為4，斜邊AB上的高為2.4；（2）已知點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的長度為：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案為：2t﹣4．②若點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，則：設(shè)PM＝PC＝y(tǒng)，則AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=3(4-3即若點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，則t的值為54故答案為：54（3）當(dāng)AB作為底邊時(shí)，如圖所示：∵APAM∴AP＝3.125，此時(shí)t＝3.125÷2＝1.5625；當(dāng)AB作為腰時(shí)，如圖所示：AP1＝AB＝5，此時(shí)t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此時(shí)t＝4，綜上，t的值為1.5625或2.5或4．20．（2021秋?長