【高中數(shù)學(xué)】拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件 2023-2024學(xué)年高二上人教A版（2019）選擇性必修第一冊

(一)圓錐曲線的統(tǒng)一定義

平面內(nèi)，到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)0<e<1時(shí)，是橢圓；(定點(diǎn)F不在定直線l上)當(dāng)e=1時(shí)，是拋物線.復(fù)習(xí)引入(二)四種形式拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線lFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）lFyxO根據(jù)上表中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式與圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程對應(yīng)關(guān)系如何判斷拋物線的焦點(diǎn)位置，開口方向？第一，一次項(xiàng)的變量如為x,則x軸為拋物線的對稱軸，焦點(diǎn)就在對稱軸x軸上.一次項(xiàng)的變量如為y,則y軸為拋物線的對稱軸，焦點(diǎn)就在對稱軸Y軸上. 第二，一次變量的系數(shù)正負(fù)決定了開口方向課堂探究思考：類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，你認(rèn)為應(yīng)該研究拋物線y2=2px（p>0）的哪些幾何性質(zhì)？如何研究這些性質(zhì)。第三章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)思一思：P(x,y)一、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。1、范圍由拋物線y2=2px（p>0）而所以拋物線的范圍為關(guān)于x軸對稱

由于點(diǎn)也滿足，故拋物線(p>0)關(guān)于x軸對稱.y2=2pxy2=2px2、對稱性P(x,y)定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn)。P(x,y)由y2=2px

（p>0）當(dāng)y=0時(shí),x=0,

因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。３、頂點(diǎn)4、離心率P(x,y)

拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。

下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。5、開口方向P(x,y)拋物線y2=2px（p>0）的開口方向向右。+X，x軸正半軸，向右-X，x軸負(fù)半軸，向左+y，y軸正半軸，向上-y，y軸負(fù)半軸，向下思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)xyOFABy2=2px2p過焦點(diǎn)而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑6、2p越大，拋物線張口越大.P越大,開口越開闊（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1（三）圓錐曲線的幾何性質(zhì)對比：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），解：所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：（三）、例題講解：變式題１：求并頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（三）、例題講解：例2斜率為1的直線

l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長。法二:設(shè)而不求,運(yùn)用韋達(dá)定理,計(jì)算弦長法一:直接求兩點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算弦長法三:設(shè)而不求,運(yùn)用焦點(diǎn)弦公式,計(jì)算弦長例題解析聯(lián)立方程組例題解析連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑7、xyOFPx0p/2焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）x≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈R關(guān)于x軸對稱

關(guān)于x軸對稱

關(guān)于y軸對稱

關(guān)于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）重要！課堂探究思考

如果直線不經(jīng)過焦點(diǎn)，的長還等于嗎？分析：如圖，設(shè)，．由拋物線的定義可知，

，同理得

，由三角形性質(zhì)

．例題解析

練習(xí)：

直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求線段的長．練習(xí)鞏固

解：的直線方程為①，將方程①代入拋物線方程，化簡得到．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，所以．因?yàn)椋?，所以?/p>

所以．練習(xí)鞏固

練習(xí)：

直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求線段的長．1.知識總結(jié):思考：本節(jié)課我學(xué)到了哪些知識，了解到哪些解決問題的思想方法？本堂小結(jié)方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）x≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈R關(guān)于x軸對稱

關(guān)于x軸對稱

關(guān)于y軸對稱

關(guān)于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2.數(shù)學(xué)方法:掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的重要方法——解析法（坐標(biāo)法），這是我們這節(jié)課研究拋物線幾何性質(zhì)的方法.它體現(xiàn)了解析幾何的核心思想，也是研究其他曲線的思維模式.注意研究過程中體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比學(xué)習(xí)的思想。思考：本節(jié)課我學(xué)到了哪些知識，了解到哪些解決問題的思想方法？本堂小結(jié)例1過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A,B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線l相切．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過A,E,B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D,H,C