第十一講相關(guān)分析

第十一講相關(guān)系數(shù)第一節(jié)相關(guān)概述第二節(jié)積差相關(guān)系數(shù)第三節(jié)其他相關(guān)系數(shù)第一節(jié)相關(guān)概述一、相關(guān)的含義 客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量聯(lián)系存在著函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取定值時(shí)，另一個(gè)變量有確定的值與之對(duì)應(yīng)，稱為函數(shù)關(guān)系，可用Y=f(X)表示。圖5-0(a)函數(shù)關(guān)系

所謂相關(guān)就是指事物或隨機(jī)現(xiàn)象之間的相互關(guān)系。事物之間在數(shù)量上的變化關(guān)系有的是屬于因果關(guān)系（一種現(xiàn)象是另一種現(xiàn)象的原因，另一種現(xiàn)象是這種現(xiàn)象的結(jié)果），有的卻不能直接作出因果關(guān)系的解釋。當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量的值雖然不確定，但它仍然按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，變量間的這種關(guān)系，被稱為相關(guān)關(guān)系，如圖5-0（b）。圖5-0（b）二、相關(guān)的種類 （一）從變化方向上劃分1、正相關(guān)。兩個(gè)變量中，一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量對(duì)應(yīng)值也隨之增大；或一個(gè)變量值減小，另一個(gè)變量對(duì)應(yīng)值也隨之減小，兩列變量變化方向相同。如學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與智商之間的關(guān)系；教師工作積極性與學(xué)校民主管理程度之間的相關(guān)，學(xué)校辦學(xué)經(jīng)費(fèi)與教學(xué)設(shè)施之間的相關(guān)等。 2、負(fù)相關(guān)：兩個(gè)變量中，一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量對(duì)應(yīng)值也隨之減少；或一個(gè)變量值減小，另一個(gè)變量對(duì)應(yīng)值也隨之增大，兩列變量變化方向相反。如學(xué)生學(xué)習(xí)能力水平與其解題時(shí)間的關(guān)系；運(yùn)動(dòng)員賽跑與所用時(shí)間之間的相關(guān)；學(xué)生學(xué)習(xí)能力與識(shí)記所用時(shí)間之間的相關(guān)等。 3、零相關(guān)。兩變量值的變化方向無規(guī)律。如學(xué)生的身高與學(xué)生成績(jī)的變化關(guān)系。（二）從變量的個(gè)數(shù)上劃分

1、簡(jiǎn)相關(guān)。兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。如在一定年齡階段，兒童身高與年齡的關(guān)系。本課所研究的都是簡(jiǎn)相關(guān)。

2、復(fù)相關(guān)。一個(gè)變量與兩個(gè)或兩個(gè)以上變量間的相關(guān)關(guān)系。如教師教學(xué)的成效與教師思維能力、教學(xué)方法、學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備情況之間的關(guān)系。

（三）從變量相互關(guān)系的程度上劃分

1、高度相關(guān)。即兩個(gè)變量相互聯(lián)系非常密切。如大學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)和智商的關(guān)系。當(dāng)兩個(gè)變量變化關(guān)系達(dá)到一一對(duì)應(yīng)的密切程度時(shí)，數(shù)量變化就是確定性關(guān)系了，則稱為完全相關(guān)。

2、低度相關(guān)。即兩變量存在相互聯(lián)系，但其關(guān)系并不密切。三、相關(guān)散布圖 它是表示兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系的模式。以直角坐標(biāo)的橫軸表示x列變量，縱軸表示y列變量，在相關(guān)的兩變量對(duì)應(yīng)值的垂直相交處畫點(diǎn)，構(gòu)成相關(guān)散布圖。如圖5-1。圖5-1散布圖

相關(guān)散布圖的用途：

1、判斷相關(guān)是否直線式。 當(dāng)兩變量之間呈曲線趨勢(shì)，其相關(guān)散布圖呈彎月狀，說明兩變量之間是非線性關(guān)系，如圖5-2(a)。圖5-2(a)曲線相關(guān)

當(dāng)兩變量間呈線性趨勢(shì)，其相關(guān)散布圖是橢圓形，說明兩變量之間是線性關(guān)系，稱為直線相關(guān)，如圖5-2(b)。圖5-2(b)直線相關(guān)

2、判斷相關(guān)密切程度高低 相關(guān)散布圖的形狀和疏密，反映著相關(guān)程度的高低。如圖5-3（a），散布圖的橢圓形狀較狹長(zhǎng)，稱為高度相關(guān)。圖5-3（a）高度相關(guān)

如果散布圖的橢圓形狀比較粗，稱為低度相關(guān)。如圖5-3（b）。圖5-3b低度相關(guān)

3、判斷相關(guān)變化方向 正相關(guān)：散布點(diǎn)主要位于一、三象限。如圖5-4（a）,即一個(gè)變量增加（或減少），另一個(gè)變量也增加（或減少）。圖5-4（a）正相關(guān)

負(fù)相關(guān)：若散布點(diǎn)主要位于二、四象限，如圖5-4（b）,即一個(gè)變量增加（或減少），另一個(gè)變量也減少（或增加）。圖5-4（b）負(fù)相關(guān)

零相關(guān)：散布點(diǎn)的變化無一定規(guī)律。如圖5-4（c）。圖5-4（c）零相關(guān)四、相關(guān)系數(shù) 通過相關(guān)散布圖的形狀，我們大概可以判斷變量之間相關(guān)程度的強(qiáng)弱、方向和性質(zhì)，但并不能得知其相關(guān)的確切程度。為精確了解變量間的相關(guān)程度，還需作進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，求出描述變量間相關(guān)程度與變化方向的量數(shù)，即相關(guān)系數(shù)。總體相關(guān)系數(shù)用ρ（讀“柔”）表示，樣本相關(guān)系數(shù)用r表示。

相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是-1≤r≤1，一般取小數(shù)點(diǎn)后兩位。r的正負(fù)號(hào)表明兩變量間變化的方向；|r|表明兩變量間相關(guān)的程度，r>0表示正相關(guān)，r<0表示負(fù)相關(guān)，r=0表示零相關(guān)。|r|越接近于1，表明兩變量相關(guān)程度越高，它們之間的關(guān)系越密切。相關(guān)系數(shù)取值︱r︱=1完全相關(guān)0.7≦︱r︱﹤1高相關(guān)0.4≦︱r︱﹤0.7中等相關(guān)0.2≦︱r︱﹤0.4低相關(guān)︱r︱﹤0.2極低相關(guān)請(qǐng)判斷下列相關(guān)的強(qiáng)弱-0.90.60.2-0.8-0.70.5

附加說明： （1）兩變量間存在相關(guān)，僅意味著變量間有關(guān)聯(lián)，并不一定是因果關(guān)系。 （2）相關(guān)系數(shù)不是等距的測(cè)量單位。

r是一個(gè)比值，不是由相等單位度量而來，不能進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算。如r1=0.25,r2=0.5,r3=0.75，不能認(rèn)為r1=r3-r2

或r2=2r1。 （3）相關(guān)系數(shù)受變量取值區(qū)間大小及觀測(cè)值個(gè)數(shù)的影響較大。

變量的取值區(qū)間越大，觀測(cè)值個(gè)數(shù)越多，相關(guān)系數(shù)受抽樣誤差的影響越小，結(jié)果就越可靠，如果數(shù)據(jù)較少，本不相關(guān)的兩列變量，計(jì)算的結(jié)果可能相關(guān)，如學(xué)生的身高與學(xué)習(xí)成績(jī)。本書所舉例題，數(shù)據(jù)較少，僅為說明計(jì)算方法時(shí)較方便。 （4）相關(guān)系數(shù)在特定情況下使用才具有意義。 如高中生身高與體重的相關(guān)系數(shù)用在兒童身上就沒有意義。

（5）通過實(shí)際觀測(cè)值計(jì)算的相關(guān)系數(shù)，須經(jīng)過顯著性檢驗(yàn)確定其是否有意義。

|r|的取值范圍|r|的意義0.00-0.19極低相關(guān)0.20-0.39低度相關(guān)0.40-0.69中度相關(guān)0.70-0.89高度相關(guān)0.90-1.00極高相關(guān)表5-0|r|的取值與相關(guān)程度 *如何判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性 （1）找出兩個(gè)變量的正確相應(yīng)數(shù)據(jù)。 （2）畫出它們的散布圖（散點(diǎn)圖）。 （3）通過散布圖判斷它們的相關(guān)性。 （4）給出相關(guān)（r）的解答。 （5）對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)和檢驗(yàn)。第二節(jié)積差相關(guān)系數(shù)一、概念及適用條件 （一）概念 積差相關(guān)，又稱積矩相關(guān)（或皮爾遜（英國(guó)）相關(guān)）。公式為(5.1)

（二）適用條件

1、兩變量均應(yīng)由測(cè)量得到的連續(xù)變量。

2、兩變量所來自的總體都應(yīng)是正態(tài)分布，或接近正態(tài)的單峰對(duì)稱分布。

3、變量必須是成對(duì)的數(shù)據(jù)。

4、兩變量間為線性關(guān)系。二、計(jì)算方法 （一）基本公式計(jì)算法 步驟：

學(xué)生序號(hào)X（政治）Y（語(yǔ)文）174822717538081485895768267789777888688497480107487

例1某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)各科目之間的能力遷移問題，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的政治與語(yǔ)文成績(jī)見表5-1，請(qǐng)計(jì)算其相關(guān)程度。學(xué)生序號(hào)X（政治）Y（語(yǔ)文）xy17482-1.6-1.727175-4.6-8.7380814.4-2.7485899.45.3576820.4-1.7677891.45.3777881.44.386884-7.60.397480-1.6-3.7107487-1.63.3

例1某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)各科目之間的能力遷移問題，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的政治與語(yǔ)文成績(jī)見表5-1，請(qǐng)計(jì)算其相關(guān)程度。學(xué)生序號(hào)X（政治）Y（語(yǔ)文）xyxy17482-1.6-1.72.7227175-4.6-8.740.02380814.4-2.7-11.88485899.45.349.82576820.4-1.7-0.68677891.45.37.42777881.44.36.0286884-7.60.3-2.2897480-1.6-3.75.92107487-1.63.3-5.28

75.683.7

4.4542114.33705

91.8

例1某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)各科目之間的能力遷移問題，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的政治與語(yǔ)文成績(jī)見表5-1，請(qǐng)計(jì)算其相關(guān)程度。

解：依表5-1的資料，計(jì)算結(jié)果為

即10名學(xué)生的政治與語(yǔ)文成績(jī)的相關(guān)程度為0.475。

（二）原始數(shù)據(jù)計(jì)算法課后練習(xí)：用原始數(shù)據(jù)計(jì)算法計(jì)算例5-1。第三節(jié)其他相關(guān)系數(shù)一、等級(jí)相關(guān)系數(shù) （一）斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)

1、概念及適用條件 （1）概念兩變量是等級(jí)測(cè)量數(shù)據(jù)，且總體不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，這樣兩變量的相關(guān)，稱為等級(jí)相關(guān)（斯皮爾曼相關(guān)）

（2）適用條件 ①兩變量的資料為等級(jí)測(cè)量數(shù)據(jù)，且具有線性關(guān)系。②連續(xù)變量的測(cè)量數(shù)據(jù)，按其大小排成等級(jí)，亦可用等級(jí)相關(guān)計(jì)算。 ③不要求總體呈正態(tài)分布。

2、計(jì)算方法

式中：D為兩變量每對(duì)數(shù)據(jù)的等級(jí)之差；N表示樣本容量。(5.4)

計(jì)算步驟： （1）計(jì)算兩變量等級(jí)之差D； （2）計(jì)算D2； （3）計(jì)算∑D2； （4）代入公式（5.4）,求得rR

例3求10名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與閱讀能力成績(jī)之間的等級(jí)相關(guān)系數(shù)。序號(hào)X（語(yǔ)文等級(jí)）Y（閱讀等級(jí)）188267354432521645776891091310109

表5-310名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與閱讀能力成績(jī)相關(guān)計(jì)算表序號(hào)X（語(yǔ)文等級(jí)）Y（閱讀等級(jí)）D1880267-1354143215211645-177618910-1913-2101091

表5-310名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與閱讀能力成績(jī)相關(guān)計(jì)算表序號(hào)X（語(yǔ)文等級(jí)）Y（閱讀等級(jí)）DD218800267-11354114321152111645-11776118910-11913-241010911∑

12表5-310名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與閱讀能力成績(jī)相關(guān)計(jì)算表

解：將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（5.4）得

如果求相關(guān)的是連續(xù)變量，計(jì)算時(shí)先把兩組數(shù)據(jù)分別按大小排成等級(jí)，最大值取為1等，其它類推。若出現(xiàn)相同的等級(jí)分?jǐn)?shù)時(shí)，可用它們所占等級(jí)位置的平均數(shù)作為它們的等級(jí)。例4某校為了研究學(xué)生自學(xué)能力與學(xué)業(yè)成績(jī)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)科成績(jī)，見表5-4，自學(xué)能力與學(xué)科成績(jī)?yōu)榉钦龖B(tài)分布，求其相關(guān)系數(shù)。序號(hào)X（能力）Y（成績(jī)）1908828580370804857959095680707857581009898780109292∑

表5-410名學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)科成績(jī)相關(guān)計(jì)算表

例4某校為了研究學(xué)生自學(xué)能力與學(xué)業(yè)成績(jī)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)科成績(jī)，見表5-4，自學(xué)能力與學(xué)科成績(jī)?yōu)榉钦龖B(tài)分布，求其相關(guān)系數(shù)。序號(hào)X（能力）等級(jí)Y（成績(jī)）等級(jí)1903.588428578063701080648577985903.595268097010785775981001981987580610922923

表5-410名學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)科成績(jī)相關(guān)計(jì)算表

例4某校為了研究學(xué)生自學(xué)能力與學(xué)業(yè)成績(jī)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)科成績(jī)，見表5-4，自學(xué)能力與學(xué)科成績(jī)?yōu)榉钦龖B(tài)分布，求其相關(guān)系數(shù)。序號(hào)X（能力）等級(jí)Y（成績(jī)）等級(jí)DD21903.5884-0.50.25285780611370108064164857798-115903.59521.52.2568097010-117857759-2481001981009875806-1110922923-11∑

27.5表5-410名學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)科成績(jī)相關(guān)計(jì)算表

解：即學(xué)生的自學(xué)能力與學(xué)習(xí)成績(jī)的相關(guān)程度為0.85。

（二）肯德爾和諧系數(shù)

1、概念及適用條件 （1）概念 當(dāng)多個(gè)變量值以等級(jí)順序表示時(shí)，這幾個(gè)變量之間的一致性程度，稱為肯德爾和諧系數(shù)或肯德爾W系數(shù)。 （2）適用條件 適用于兩列以上等級(jí)變量。如了解幾個(gè)評(píng)定者對(duì)同一組學(xué)生成績(jī)等級(jí)評(píng)定的一致性程度等。 2、計(jì)算方法 它以符號(hào)W表示，公式為

計(jì)算步驟：略 例5某評(píng)價(jià)小組7人依據(jù)已確定的4項(xiàng)內(nèi)容對(duì)某教師打分，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)后的結(jié)果見表5-5，求這7人對(duì)該教師評(píng)價(jià)意見的一致性程度。

一二三四

12.542.5123.53.51.51.532.52.514442225341.51.56123472422表5-57人評(píng)價(jià)某教師意見資料表

計(jì)算步驟：略 例5某評(píng)價(jià)小組7人依據(jù)已確定的4項(xiàng)內(nèi)容對(duì)某教師打分，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)后的結(jié)果見表5-5，求這7人對(duì)該教師評(píng)價(jià)意見的一致性程度。

一二三四

12.542.5123.53.51.51.532.52.514442225341.51.56123472422R18.52213.516∑=70R2342.25484182.25256∑R2=1264.5表5-57人評(píng)價(jià)某教師意見資料表解：將上述數(shù)據(jù)代入公式（5.5）中得

實(shí)際上，當(dāng)出現(xiàn)相同等級(jí)時(shí)，應(yīng)校正W系數(shù)，其校正公式為例5中第一個(gè)人評(píng)的有2個(gè)等級(jí)相同，第二個(gè)人評(píng)的有2個(gè)3.5和2個(gè)1.5等級(jí)…所以∑C為二、點(diǎn)二列相關(guān) （一）概念及適用條件

1、概念 兩列變量一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量，描述這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為點(diǎn)二列相關(guān)。

2、適用條件 一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量（如男與女，對(duì)與錯(cuò)等）。

（二）計(jì)算方法 點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)以表示rpb，公式為

式中：p為二分變量中某一項(xiàng)所占比例；q為二分變量中另一項(xiàng)所占比例，p+q=1;為二分變量中比例為p部分所對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)；為二分變量中比例為q部分所對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù).σx為連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

例6隨機(jī)抽取某區(qū)初二數(shù)學(xué)期末考試卷15份，試計(jì)算第二題的得分與總分相一致的程度（即試題的區(qū)分度，它是衡量試題鑒別能力的指標(biāo)值）。數(shù)據(jù)見表5-6。學(xué)生序號(hào)123456789101112131415第二題得分101000110111111總分697179868787818981929193929393表5-6數(shù)據(jù)表

解：（1）求答對(duì)第二題的比率p和答錯(cuò)的比率q：

p=10/15=0.67 q=1-p=0.33 (2)求和，分別為答對(duì)和答錯(cuò)第二題學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)：

(3)求σx,所有考生的總分的標(biāo)準(zhǔn)差：

σx=7.597(分)

將上述數(shù)據(jù)代入公式（5.7）,可得即該試卷第二題的區(qū)分度為0.297。4.4質(zhì)與量相關(guān)質(zhì)與量相關(guān)指一列變量為數(shù)值型（等距、等比）數(shù)據(jù)，另一列變量為類別變量，求兩列變量的直線相關(guān)，稱為質(zhì)與量相關(guān)。包括：點(diǎn)二列相關(guān)、二列相關(guān)和多系列相關(guān)。1、點(diǎn)二列相關(guān)（1）適用資料兩列變量中一列為等距或等比的測(cè)量數(shù)據(jù)而且總體分布為正態(tài)，另一列變量為類別（名義）變量，分為兩類。

點(diǎn)二列相關(guān)多用于編制是非測(cè)驗(yàn)題評(píng)價(jià)測(cè)驗(yàn)內(nèi)部一致性等問題。每個(gè)題目（二分名義變量）與總分（數(shù)值）變量的相關(guān)，稱為每個(gè)題目的區(qū)分度。相關(guān)高說明該題答對(duì)答錯(cuò)與總分的一致性高，即區(qū)分度高。（2）計(jì)算公式其中，--與一個(gè)二分變量值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均值；

--與另一個(gè)二分變量值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均值；

p，q二分變量?jī)蓚€(gè)值各自所占的比率，p+q=1；

St--連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差；

rpb[0，1]（3）例4.4有一是非選擇測(cè)驗(yàn)，共有50題，每題選對(duì)得2分，滿分為100分。現(xiàn)有20人的總成績(jī)及對(duì)第5題的選答情況，問第5題與總分的相關(guān)程度如何？n=20，Xt=81.6,St=8.66,答對(duì)人數(shù)10,答錯(cuò)人數(shù)10,p=答對(duì)學(xué)生的比率=10/20=0.5,q=1-p=0.5,Xp=88.4,Xq=74