化工問(wèn)題的建模與數(shù)學(xué)分析方法課件

常微分方程

1、二階線性常系數(shù)方程的解法2、二階變系數(shù)方程的級(jí)數(shù)解法3、一階微分方程組的矩陣解法4、穩(wěn)定性問(wèn)題分析常微分方程——二階常系數(shù)方程一、二階常系數(shù)方程的解法

1。齊次方程通解 設(shè)

得常微分方程——二階常系數(shù)方程相異實(shí)根共軛復(fù)根重根

2。非其次方程特解：比較系數(shù)法常微分方程——二階變系數(shù)方程二、二階變系數(shù)方程的解法1、級(jí)數(shù)解法

廣義冪級(jí)數(shù)

代入方程，比較系數(shù)法確定參數(shù)c和

an

常微分方程——二階變系數(shù)方程

設(shè)

代入，得

常微分方程——二階變系數(shù)方程首項(xiàng)xc的系數(shù)為0——指標(biāo)方程第n項(xiàng)xn+c的系數(shù)為0

——遞推公式

常微分方程——二階變系數(shù)方程

由指標(biāo)方程的第一根c=c1可以得到方程的第一個(gè)解當(dāng)c1－c2不為整數(shù)或0時(shí)，由常規(guī)方法可得第二解。當(dāng)c1、c2

為重根時(shí)，第二解為當(dāng)c1－c2為整數(shù)時(shí)，第二解為

常微分方程——二階變系數(shù)方程2。Bessel方程及其級(jí)數(shù)解

稱為k階Bessel方程。采用冪級(jí)數(shù)解法，得首項(xiàng)系數(shù)為0的指標(biāo)方程

常微分方程——二階變系數(shù)方程遞推公式

第一解

常微分方程——二階變系數(shù)方程第二解分為以下三種情況

i)k為分?jǐn)?shù)

ii)k=0

常微分方程——二階變系數(shù)方程

常微分方程——二階變系數(shù)方程iii)k為整數(shù)

常微分方程——二階變系數(shù)方程

3、Legendre方程與Legendre函數(shù) 設(shè)

代入，得

常微分方程——二階變系數(shù)方程遞推公式 根據(jù)冪級(jí)數(shù)收斂判別法知，在x=±1處級(jí)數(shù)發(fā)散，但物理上函數(shù)又是有界的，因此只有參數(shù)l取整數(shù)才能保證級(jí)數(shù)在x=±1處收斂，此時(shí)級(jí)數(shù)成為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式

常微分方程——二階變系數(shù)方程性質(zhì)

Bessel函數(shù)、Legendre函數(shù)均為正交函數(shù)族，滿足正交條件，可以作為函數(shù)基將任意分片光滑的函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，分別稱為Fourier－Bessel級(jí)數(shù)和Fourier－Legendre級(jí)數(shù)。

常微分方程——一階常系數(shù)方程組三、一階常系數(shù)方程組的矩陣解法

齊次方程

常微分方程——一階常系數(shù)方程組設(shè)代入方程得 從中可解出n個(gè)特征根和特征向量，構(gòu)成基解矩陣常微分方程——一階常系數(shù)方程組通解或

y=Yc

常數(shù)c由初始條件確定

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析

四、線性穩(wěn)定性分析方法穩(wěn)定性（stability)——系統(tǒng)的一種動(dòng)態(tài)特性，指偏離定常狀態(tài)后能否自動(dòng)返回該定常態(tài)的性質(zhì),系統(tǒng)抗干擾能力的度量。定常態(tài)（steadystate)——穩(wěn)態(tài)（與瞬態(tài)對(duì)應(yīng)），系統(tǒng)不隨時(shí)間變化的某個(gè)狀態(tài)。穩(wěn)定態(tài)（stablestate)——穩(wěn)定的定常態(tài)。 穩(wěn)定——差之毫厘，失之毫厘 不穩(wěn)定——差之毫厘，失之千里

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析

流動(dòng)的穩(wěn)定性——雷諾實(shí)驗(yàn)、圓柱型水流 反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對(duì)流穩(wěn)定性——Benard現(xiàn)象 壓桿、板殼的屈曲穩(wěn)定性穩(wěn)定性分析方法 線性穩(wěn)定性分析：小擾動(dòng)的線性化動(dòng)態(tài)分析，獲得失穩(wěn)判據(jù)。 非線性穩(wěn)定性理論：分叉、混沌，非線性科學(xué)問(wèn)題。

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析1、線性穩(wěn)定性分析方法 目的——獲取失穩(wěn)判據(jù)； 方法——穩(wěn)態(tài)附近對(duì)小擾動(dòng)線性展開(kāi)，由特征根確定非線性動(dòng)力系統(tǒng) 定常態(tài)f(ys)=0

設(shè)x(t)為小擾動(dòng)，令

y(t)=ys+x(t)

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析代入原方程，泰勒展開(kāi)，保留線性項(xiàng)通解穩(wěn)定性判別

若A的特征根都是負(fù)的，則零解是漸近穩(wěn)定的；若至少有一個(gè)根的是正的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若都為零，則不定。

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析

因此，線性穩(wěn)定性分析的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性化方程的矩陣A的特征根的正負(fù)號(hào)判別問(wèn)題。如何根據(jù)A得到穩(wěn)定性判據(jù)？Routh-Hurwitz系數(shù)判別法。 特征根方程

Routh方法： 如果系數(shù)aj不同號(hào)，或某些系數(shù)為零，則方程必然有大于等于零的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析Routh－Hurwitz判定行列式

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析Routh指出，若采用如下的判定函數(shù)RiR0=△0,R1=△1,R2=△2/△1,…,Rn

=△n/△n-1=an則當(dāng)所有的判定函數(shù)為正值時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hurwitz則證明了以下定理：實(shí)系數(shù)的n次代數(shù)方程的一切根的實(shí)部都是負(fù)數(shù)的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析2、穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的分類

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析1）tr2－4

>0，

>0：

1

2

>0，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)2）tr2－4

>0，

<0：

1

2

<0， 穩(wěn)態(tài)點(diǎn)為鞍點(diǎn)

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析3）tr2－4

<0，tr0

：

1，

2

為復(fù)數(shù)，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)振蕩焦點(diǎn)4）tr＝0，

>0，

1，

2都是純虛數(shù) 穩(wěn)態(tài)點(diǎn)為中心點(diǎn)

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析3、化學(xué)反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性取 x=cA－cAs,y=T－Ts

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析將反應(yīng)項(xiàng)與移熱項(xiàng)線性展開(kāi)特征根方程

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析漸近穩(wěn)定性條件

a)斜率條件——系統(tǒng)移熱曲線的斜率必須大于系統(tǒng)放熱曲線的斜率

b)動(dòng)態(tài)條件

常微分方程——線性穩(wěn)定性分析斜率條件的物理解釋

一階偏微分方程

1、特征線法2、非線性波與追趕現(xiàn)象一階偏微分方程——特征線法§1.1一階偏微分方程的定解問(wèn)題偏微分方程與常微分方程求解思路的不同

常微分方程：求方程通解，初、邊值定常數(shù) 一階偏微分：求方程通解，初、邊值確定任意函數(shù) 二階偏微分：不求通解，從問(wèn)題出發(fā)求解

例，一階PDE

通解一階偏微分方程——特征線法初值問(wèn)題（Cauchy問(wèn)題）初、邊值問(wèn)題（Riemann問(wèn)題）

一階偏微分方程——特征線法一般的一階擬線性偏微分方程的問(wèn)題

一階偏微分方程——特征線法§1.2特征線法的幾何原理向量

(P,Q,R)

與解曲面u=u(x,y)的法線方向 相互垂直，與

(P,Q,R)

共線的線元(dx,dy,du)必定滿足偏微分方程，稱為特征曲線，經(jīng)過(guò)初始曲線的特征曲線的全體構(gòu)成解曲面u=u(x,y)

。 一階偏微分方程——特征線法

一階偏微分方程——特征線法

一階偏微分方程——特征線法因此，特征線法的求解思路是

——用特性曲線來(lái)編織解曲面

1。求出與向量場(chǎng)(P,Q,R)

共線的特征曲線；

2、讓該曲線通過(guò)初始曲線

一階偏微分方程——特征線法特征線方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常數(shù)，由初始曲線 確定 一階偏微分方程——特征線法解曲面由以下雙參變量形式給出 參變量s沿特征曲線方向變化， 參變量

沿初始曲線方向變化。

一階偏微分方程——特征線法例2.1

特征線方程初始曲線

一階偏微分方程——特征線法解出

消去參變量

一階偏微分方程——特征線法以積分常數(shù)形式給出的特征線解

特征方程通解初始曲線限制解曲面

一階偏微分方程——特征線法例2.3

特征方程通解解曲面由初值得解 一階偏微分方程——特征線法§1.3特征線法的物理意義 波動(dòng)——物理量在空間的傳播過(guò)程 特征線——物理量的傳播軌跡，沿該軌跡的變化關(guān)系例1．管道中的溶質(zhì)輸送問(wèn)題

一階偏微分方程——特征線法特征線

初始曲線解得

x－vt＝ξ

一階偏微分方程——特征線法圖象——矩形方波以速度v傳播

c0xt=0t=t1t=t2vvv一階偏微分方程——特征線法 x-t平面的特征線及圖解法

一階偏微分方程——特征線法

例2．線性色譜問(wèn)題 特征線

一階偏微分方程——特征線法x軸給出的初值的解

t軸給出的邊值的解

一階偏微分方程——特征線法 x-t平面的特征線

一階偏微分方程——特征線法

斜坡輸入時(shí)的圖象

一階偏微分方程——特征線法

例3

有化學(xué)反應(yīng)時(shí)的色譜波動(dòng)圖象

——濃度沿特征線傳播時(shí)呈指數(shù)衰減線性波的特點(diǎn) 波速與因變量無(wú)關(guān) 保持初始間斷和光滑性質(zhì)不變 特征線不相交

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

§2非線性波與追趕現(xiàn)象

1。追趕問(wèn)題——稀疏波 身高曲線 初始分布

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特征線

解得

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象——

稀疏波

xh00hh00hxx

t=0時(shí)刻的初始分布t=t1時(shí)刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0攜帶不同h值的特征線一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象 2。追趕問(wèn)題——激波初始分布：前低后高 解得

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

xh00hx

/h0t0

t<

/h0t=

/h0t>

/h0t=0h=h0h=0

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特點(diǎn) 追趕，特征線相交，不真實(shí)的多值分布， 非線性本征屬性原因：形成強(qiáng)間斷——激波，微分方程失效 問(wèn)題：補(bǔ)充間斷面上的關(guān)系

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象 3。激波間斷關(guān)系

x0

xsxrxl

l,ql

r,qrdxs/dt一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象激波間斷關(guān)系

熵條件處理含間斷問(wèn)題的原則：分段求解

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象例1

含有激波的追趕問(wèn)題

間斷條件

初值

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

xh00hx

/h0t0

t<

/h0t=

/h0t>

/h0t=0CSI

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

例2

非線性吸附反應(yīng)器

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象特征曲線

波速

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象激波間斷條件

特征線光滑解

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象

將光滑解代入激波間斷條件，解出激波軌跡

一階偏微分方程——追趕現(xiàn)象圖象

x0cxt0t=t1S一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題

§3化學(xué)劑段塞的色譜運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題物理圖象：前沿——激波；后緣——中心稀疏波 激波與稀疏波相互作用

一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題特征線

一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題解題思路

1。運(yùn)動(dòng)初期：激波與稀疏波互不干擾，分別求解；

2。運(yùn)動(dòng)后期：后緣侵蝕，稀疏波與激波聯(lián)立求解。

一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題

問(wèn)題

一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題特征線方程

初始曲線

一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題

1。運(yùn)動(dòng)初期激波稀疏波平臺(tái)區(qū) 一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題2。運(yùn)動(dòng)后期激波（濃度在變化）稀疏波（給出激波濃度） 聯(lián)立得到 一階偏微分方程——色譜段塞問(wèn)題激波軌跡激波濃度段塞寬度

一階偏微分方程——小結(jié)1、關(guān)于特征線法 幾何上，一階偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)與曲面法向之間的正交關(guān)系.特征線法就是先由向量（P,Q,R)求出滿足方程的特征線，再以此為元素構(gòu)造出解曲面。 物理上，波動(dòng)總是從初始曲線出發(fā)沿特征線傳播，特征線方程給出了波的速度和傳播中的變化關(guān)系。

一階偏微分方程——小結(jié)2、關(guān)于非線性波動(dòng)的概念 線性波的波速與因變量無(wú)關(guān)，傳播過(guò)程中保持初始間斷或光滑性質(zhì)不變，特征線不相交。 非線性波容易發(fā)生追趕，形成稀疏波和激波，其類型與通量曲線的性質(zhì)和初始分布狀況兩方面因素有關(guān)。 處理激波問(wèn)題的思路是：分段求解，聯(lián)立確定。二階偏微分方程與分離變量法

1、二階方程的分類2、分離變量法3、特征值理論4、特殊函數(shù)的應(yīng)用5、典型問(wèn)題分析二階偏微分方程——概述化學(xué)工程中常見(jiàn)的PDE對(duì)流－擴(kuò)散－反應(yīng)方程常微分方程：求通解，初值定積分常數(shù)；一階偏微分方程：求通解，初值定任意函數(shù)；二階偏微分方程：從問(wèn)題出發(fā)確定求解方法。二階偏微分方程——概述二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)占優(yōu)時(shí)，一般采用以下兩種方法求解 分離變量法：適用于有限空間區(qū)域； 積分變換法：適用于無(wú)限空間區(qū)域； 均化為常微分方程求解。二階偏微分方程——方程的分類§1

二階偏微分方程的分類令得

二階偏微分方程——方程的分類由線性代數(shù)，可通過(guò)線性變換將特征二次型化為對(duì)角型

二階偏微分方程——方程的分類二階方程分類：當(dāng)b2－ac＜0時(shí)，曲線為橢圓，方程稱為橢圓型方程當(dāng)b2－ac=0時(shí)，曲線為拋物線,方程稱為拋物型方程當(dāng)b2

－ac＞0時(shí)，曲線為雙曲線，方程稱為雙曲型方程二階偏微分方程——方程的分類標(biāo)準(zhǔn)形式： 橢圓型方程 拋物型方程 雙曲型方程二階偏微分方程——方程的分類物理意義：橢圓型方程——位勢(shì)方程，描述與時(shí)間無(wú)關(guān)的定常分布；拋物型方程——熱傳導(dǎo)方程，描述不可逆的發(fā)展演變；雙曲型方程——波動(dòng)方程，描述可逆的雙向波動(dòng)。二階偏微分方程——方程的分類定解問(wèn)題的提法——方程與初、邊值的組合 初值問(wèn)題(Cauchy問(wèn)題)

邊值問(wèn)題 混合問(wèn)題二階偏微分方程——分離變量法§2分離變量法

——試探問(wèn)題的變量分離形式的解例1

設(shè)二階偏微分方程——分離變量法變量分離，得求X(x)的非零解，通過(guò)調(diào)整參數(shù)

的值二階偏微分方程——分離變量法

ⅰ)當(dāng)

＜0時(shí)，方程的通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0

ⅱ)當(dāng)

=0時(shí)，方程的通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0二階偏微分方程——分離變量法

ⅲ)當(dāng)

＞0時(shí)，方程通解具有如下形式

由邊界條件X(0)=0知c1=0,再由 為了有非零解c2≠0，必須sin=0，由此確定出參數(shù)

二階偏微分方程——分離變量法由此得變量分離解二階偏微分方程——分離變量法為滿足初值，將解疊加由初值得解。二階偏微分方程——分離變量法例2矩形區(qū)域的Laplace方程例3圓形區(qū)域的Laplace方程

令二階偏微分方程——分離變量法特征值問(wèn)題解得＝n二階偏微分方程——分離變量法由邊值二階偏微分方程——分離變量法得 得解。二階偏微分方程——分離變量法小結(jié)：分離變量法

1、假設(shè)變量分離形式的解

2、導(dǎo)出并求解特征值問(wèn)題

3、疊加成級(jí)數(shù)，滿足初值或邊值關(guān)鍵問(wèn)題——特征值問(wèn)題 能否通過(guò)調(diào)整不定參數(shù)獲得齊次方程的非零解。

二階偏微分方程——分離變量法§3分離變量法

——非齊次方程與邊界條件：化齊與展開(kāi)1、非齊邊值的處理：迭加邊值問(wèn)題特解，化齊例1二階偏微分方程——分離變量法

令

特解v(x)要求滿足邊值，有無(wú)窮多種選擇，規(guī)范為

二階偏微分方程——分離變量法于是，問(wèn)題化為w(x,t)的齊次邊值問(wèn)題方程化齊的要點(diǎn)，是要求疊加的特解v(x)既要滿足邊值，又要滿足原微分方程，使得化齊后的問(wèn)題最簡(jiǎn)單。 二階偏微分方程——分離變量法例2

令

二階偏微分方程——分離變量法

解出 問(wèn)題化齊為

例3環(huán)形區(qū)域上的熱傳導(dǎo)方程(p207)二階偏微分方程——分離變量法方程與邊值同時(shí)化齊

二階偏微分方程——分離變量法2、非齊方程的處理：級(jí)數(shù)展開(kāi) 難以直接分離變量，但可將所有函數(shù)按特征函數(shù)展開(kāi)

二階偏微分方程——分離變量法

代入方程，得

二階偏微分方程——分離變量法

二階偏微分方程——分離變量法小結(jié)：分離變量法的關(guān)鍵 特征函數(shù) 級(jí)數(shù)展開(kāi) 問(wèn)題——

特征函數(shù)的存在性？ 特征函數(shù)的正交性？ 特征函數(shù)的完整性？ 在一般條件下需要從理論上予以回答。二階偏微分方程——分離變量法分離變量法的歷史發(fā)展1700’s——弦振動(dòng)方程的三角函數(shù)試探解(Tayler)二階偏微分方程——分離變量法1800～1900’s——Fourier方法 無(wú)窮級(jí)數(shù)解 特征值問(wèn)題

Fourier級(jí)數(shù)理論

Fourier變換1800’s——Strum－Liouville特征值理論 分離變量法的理論基礎(chǔ) 特殊函數(shù)的應(yīng)用二階偏微分方程——特征值理論§4

特征值問(wèn)題

1、正交性的定義

Fourier展開(kāi)二階偏微分方程——特征值理論 2、特征值理論定理一存在著無(wú)窮多個(gè)實(shí)特征值定理二當(dāng)q(x)≥0時(shí),所有特征值非負(fù)定理三不同的所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)帶權(quán)ρ(x)正交定理四任意函數(shù)f(x)可展開(kāi)為特征函數(shù)yn(x)的級(jí)數(shù)二階偏微分方程——特征值理論說(shuō)明

1、S-L特征值方程具有一般性；

2、四個(gè)定理只回答了特征函數(shù)的存在性、正交性、完整性問(wèn)題，可據(jù)此判斷分離變量法的可行性，給出解的結(jié)構(gòu)。但沒(méi)有給出特征值方程的求解方法。二階偏微分方程——特殊函數(shù)§5特殊函數(shù)的應(yīng)用

1、極坐標(biāo)系與Bessel函數(shù) 令二階偏微分方程——特殊函數(shù)得到

判斷：特征值存在，特征函數(shù)Rn(r)正交，完整二階偏微分方程——特征函數(shù)解的構(gòu)造 由正交性二階偏微分方程——特征值理論二階偏微分方程——特征值理論求特征函數(shù)R(r)，令，將特征值問(wèn)題化為 上式是0階Bessel方程，可用級(jí)數(shù)解法得到其解 式中，J0和Y0分別為第一類和第二類Bessel函數(shù)二階偏微分方程——特征值理論二階偏微分方程——特征值理論

由邊界條件確定特征值和特征函數(shù)

得解二階偏微分方程——特征值理論2、球坐標(biāo)系與Legendre函數(shù) 問(wèn)題——球形區(qū)域的穩(wěn)態(tài)傳熱與傳質(zhì)分離變量，令u(r,

)=H(

)R(r)得到二階偏微分方程——特征值理論特征值問(wèn)題為H，作變換x=cos

,化為L(zhǎng)egendre方程

二階偏微分方程——特征值理論自然邊界條件由特征值理論，特征函數(shù)存在，分離變量法可行。

Legendre方程的解為無(wú)窮級(jí)數(shù)，若邊界上有限，必須相應(yīng)的特征函數(shù)為n階的Legendre多頂式二階偏微分方程——特征值理論于是，問(wèn)題的分離變量解為其中系數(shù)B＝0，A由邊界條件確定二階偏微分方程——特征值理論二階偏微分方程——典型問(wèn)題1、球形催化劑顆粒的瞬態(tài)響應(yīng)化齊邊值，令二階偏微分方程——典型問(wèn)題S=2時(shí)，特解 令

得二階偏微分方程——典型問(wèn)題再求齊次邊值問(wèn)題二階偏微分方程——典型問(wèn)題令w(x,t)=X(x)T(t),得到特征值問(wèn)題

作變換得二階偏微分方程——典型問(wèn)題于是二階偏微分方程——典型問(wèn)題2、管式反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)行為

問(wèn)題二階偏微分方程——典型問(wèn)題為化齊邊值，令v(x)為固定床反應(yīng)器穩(wěn)態(tài)解二階偏微分方程——典型問(wèn)題齊次邊值問(wèn)題分離變量w=X(x)T(t)

，得特征值問(wèn)題二階偏微分方程——典型問(wèn)題化為Sturm－Liouville型方程非零解Xn(x)存在，帶權(quán)exp(-Pex)正交二階偏微分方程——典型問(wèn)題特征函數(shù)欲得非零解，要求二階偏微分方程——典型問(wèn)題

令 得 由x=1處的邊界條件確定特征值二階偏微分方程——典型問(wèn)題二階偏微分方程——典型問(wèn)題3、管道中的層流換熱Graetz問(wèn)題二階偏微分方程——典型問(wèn)題無(wú)量綱化后分離變量法求解,令

二階偏微分方程——典型問(wèn)題

得特征值問(wèn)題冪級(jí)數(shù)解二階偏微分方程——典型問(wèn)題由x=１處的邊值確定特征值λ

解得二階偏微分方程——小結(jié)分離變量法的適用條件有限空間區(qū)域線性方程方程中系數(shù)可分離變量自變量區(qū)域可分離變量滿足S－L方程的條件積分變換與矩量分析方法

1、Fourier變換2、Laplace變換3、基本解與傳遞函數(shù)4、矩量分析方法5、線性色譜理論積分變換與矩量分析——概述積分變換——一種數(shù)學(xué)運(yùn)算特點(diǎn)：微分的逆運(yùn)算，可將求導(dǎo)轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e運(yùn)算；應(yīng)用：積分變換性質(zhì)的利用 方程求解，化微分方程為代數(shù)方程；頻譜分析——隨機(jī)信號(hào)的譜處理方法； 傳遞函數(shù)矩量分析積分變換與矩量分析——Fourier變換§1

Fourier變換來(lái)源與發(fā)展：

Fourier級(jí)數(shù)（有限區(qū)域，－l，+l） －→Fourier積分（無(wú)限區(qū)域） －→Fourier變換（－∞，＋∞） －→Laplace變換（0，＋∞）定義積分變換與矩量分析——Fourier變換性質(zhì) 導(dǎo)數(shù)－→乘積 變量平移－→指數(shù)乘積

卷積－→像的乘積 能量積分積分變換與矩量分析——Fourier變換應(yīng)用——解PDE三步驟 對(duì)問(wèn)題進(jìn)行積分變換 解像函數(shù)的問(wèn)題 反變換，得到原函數(shù)解

積分變換與矩量分析——Laplace變換§2

Laplace變換Fourier變換的問(wèn)題 變換條件苛刻（絕對(duì)可積） 區(qū)間含負(fù)值（－∞，∞）改進(jìn)，令 則函數(shù)f1(x)的Fourier變換就不存在上述缺陷，得Laplace變換積分變換與矩量分析——Laplace變換性質(zhì) 導(dǎo)數(shù)－→s乘積 變量平移－→指數(shù)乘積

卷積－→像的乘積 端點(diǎn)性質(zhì)積分變換與矩量分析——Laplace變換Laplace逆變換

1）查表法

2）根據(jù)定義計(jì)算復(fù)平面上的圍道積分

3）有理函數(shù)展開(kāi)法——化為簡(jiǎn)單分式求逆

積分變換與矩量分析——基本解§3

基本解與傳遞函數(shù)δ函數(shù)基本解E(t)滿足物理意義——單位脈沖輸入或單位點(diǎn)源（質(zhì)量源、動(dòng)量源、熱源、點(diǎn)電荷）形成的響應(yīng)或分布

積分變換與矩量分析——基本解為什么要求基本解？ 為了構(gòu)造一般非齊次方程的解基本解的求取——積分變換法 方法優(yōu)勢(shì)：δ函數(shù)的積分變換恒為1，正、逆變換易例5.15

積分變換與矩量分析——傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)對(duì)單位脈沖輸入的響應(yīng) 基本解的像函數(shù)傳遞函數(shù)的求取——積分變換法為什么要引入傳遞函數(shù)？因?yàn)椴恍枨竽孀儞Q，可方便復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)算，特別對(duì)于串連系統(tǒng)和反饋回路系統(tǒng)積分變換與矩量分析——矩量分析§4

矩量分析矩的概念——分布函數(shù)的數(shù)字特征矩與積分變換的關(guān)系

矩量分析——不求逆變換而獲得數(shù)字特征的方法

積分變換與矩量分析——矩量分析停留時(shí)間分布的矩量分析

RTD方法思想：熱模與冷模解耦研究 矩量分析：建立矩與返混參數(shù)之間關(guān)系，指導(dǎo)冷模 實(shí)驗(yàn)測(cè)定 模型

積分變換與矩量分析——矩量分析傳遞函數(shù)矩與參數(shù)的關(guān)系

積分變換與矩量分析——矩量分析脈沖動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)方法原理

數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)輸出信號(hào)的各階矩測(cè)定矩值積分變換與矩量分析——矩量分析§5

線性色譜理論考慮外擴(kuò)散時(shí)的色譜過(guò)程床層模型顆粒模型積分變換與矩量分析——矩量分析

顆粒傳遞函數(shù)床層傳遞函數(shù)方差加和原理積分變換與矩量分析——矩量分析同時(shí)考慮內(nèi)外擴(kuò)散的色譜過(guò)程顆粒模型積分變換與矩量分析——矩量分析

顆粒傳遞函數(shù) 方差加和性質(zhì) 串連過(guò)程的總方差等于各步方差之和積分變換與矩量分析——矩量分析傳遞阻力的等效模型在保持過(guò)程總方差相同的情況下，可以采用簡(jiǎn)化的等效模型代替復(fù)雜的多步串連模型顆粒內(nèi)外擴(kuò)散阻力的歸并——等效傳質(zhì)系數(shù)積分變換與矩量分析——小結(jié)傳遞阻力的等效模型在保持過(guò)程總方差相同的情況下，可以采用簡(jiǎn)化的等效模型代替復(fù)雜的多步串連模型顆粒內(nèi)外擴(kuò)散阻力的歸并——等效傳質(zhì)系數(shù)積分變換與矩量分析——矩量分析傳質(zhì)阻力與返混項(xiàng)的歸并——等效簡(jiǎn)化模型 表觀擴(kuò)散系數(shù) 等效的平衡模型第五章積分變換與矩量分析——小結(jié)積分變換概念的引出及其發(fā)展Fourier級(jí)數(shù)－→Fourier變換－→Laplace變換－→－→基本解－→傳遞函數(shù)－→矩量分析 上述方法在概念上都是一脈相承的。方法應(yīng)用 積分變換 傳遞函數(shù) 各有其適用的問(wèn)題與條件 矩量分析近似解析方法1、奇異攝動(dòng)法2、試驗(yàn)函數(shù)法3、正交配置法近似解析方法——概論解析解與數(shù)值解的比較

解析解——由簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系式直接給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算代價(jià)小 結(jié)果可靠，直觀，便于應(yīng)用 對(duì)一般問(wèn)題難以得到 數(shù)值解——以大量數(shù)字對(duì)應(yīng)方式給出的函數(shù)關(guān)系 適用性廣，可處理復(fù)雜問(wèn)題和大規(guī)模問(wèn)題依賴于計(jì)算工具和特定算法，代價(jià)較大近似解析方法——概論

近似解析解——準(zhǔn)確解的近似解析表達(dá)式 局部精確性較差，但整體規(guī)律性好 形式簡(jiǎn)單而滿足工程應(yīng)用 容易得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解原則 首先求準(zhǔn)確解析解 其次求近似解析解 最后采用數(shù)值解近似解析方法——攝動(dòng)法§1攝動(dòng)法

攝動(dòng)法——將問(wèn)題對(duì)小參數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)的求解方法 正則攝動(dòng)：小參數(shù)直接展開(kāi)的方法 奇異攝動(dòng)：直接展開(kāi)失效后采用的專門方法或改進(jìn)方 法近似解析方法——攝動(dòng)法1、正則攝動(dòng)與奇異攝動(dòng)例1

最高次項(xiàng)含小參數(shù)的非線性代數(shù)方程的求解 設(shè)

得

近似解析方法——攝動(dòng)法正則攝動(dòng)只能得到一個(gè)根，因?yàn)橹苯诱归_(kāi)失去了問(wèn)題的非線性性質(zhì)。 近似解析方法——攝動(dòng)法如果作變換y=u/

，得

然后對(duì)u直接展開(kāi)，得到另一個(gè)根近似解析方法——攝動(dòng)法

準(zhǔn)確解為

當(dāng)

→0時(shí)，其兩個(gè)根分別趨于y→a和y→

－1，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)攝動(dòng)解分別稱為正則攝動(dòng)解與奇異攝動(dòng)解。近似解析方法——攝動(dòng)法例2小參數(shù)位于非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中的情況 設(shè) 得近似解析方法——攝動(dòng)法近似解與準(zhǔn)確解極為接近，這種情況下正則攝動(dòng)法是奏效的。

近似解析方法——攝動(dòng)法

例3方程最高階導(dǎo)數(shù)乘小參數(shù)的情況 當(dāng)

＝0時(shí)，方程由二階退化成一階方程，近似解只能滿足一個(gè)邊值而難以同時(shí)滿足兩個(gè)邊值。近似解析方法——攝動(dòng)法直接展開(kāi)得到

取x=1處的邊界條件y0(1)=

，y1(1)=0，得到

近似解析方法——攝動(dòng)法

在x=0處 因此，近似解不滿足x=0處的邊值。近似解析方法——攝動(dòng)法分析：x=0處存在一個(gè)邊界層 邊界層的存在是小參數(shù)乘最高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的特征

近似解析方法——攝動(dòng)法概念：漸近級(jí)數(shù)與收斂級(jí)數(shù) 收斂級(jí)數(shù)：按變量展開(kāi)的級(jí)數(shù)，如泰勒級(jí)數(shù)，三角級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)等，級(jí)數(shù)的精度隨項(xiàng)數(shù)的增加而提高； 漸近級(jí)數(shù)：按參數(shù)展開(kāi)的級(jí)數(shù) 系數(shù)yn(x)是由展開(kāi)后的問(wèn)題順序解出的，因此級(jí)數(shù)不一定收斂，一般只取級(jí)數(shù)的2～3項(xiàng)。近似解析方法——攝動(dòng)法2、邊界層方法 基本思想：放大鏡——將空間邊界層放大，使分布變平緩，突出邊界層內(nèi)的作用；慢鏡頭——將時(shí)間尺度放大，使變化減緩，突出快速變化的過(guò)程。歷史來(lái)源與發(fā)展：

Prandtl邊界層方程，Blasuis匹配方法，PLK方法近似解析方法——攝動(dòng)法邊界層方法的求解步驟

1、外解——直接展開(kāi)

2、內(nèi)解——邊界層放大

3、匹配——內(nèi)解與外解的銜接

4、合成——內(nèi)解與外解的組合近似解析方法——攝動(dòng)法例3

1、外解

近似解析方法——攝動(dòng)法

2、內(nèi)解

邊界層放大，定義內(nèi)部坐標(biāo)近似解析方法——攝動(dòng)法

取

＝1以保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，得 令 得近似解析方法——攝動(dòng)法

解出0階近似 常數(shù)C由匹配條件確定近似解析方法——攝動(dòng)法 3、匹配

Prandtl匹配原理——0階近似的匹配方法 得0階內(nèi)解近似解析方法——攝動(dòng)法 4、合成

加法合成法 合成解＝外解＋內(nèi)解－公共部分

高階近似的匹配——VanDyke匹配原理

n項(xiàng)外解的m項(xiàng)內(nèi)部展開(kāi)＝m項(xiàng)內(nèi)解的n項(xiàng)外部展開(kāi)

近似解析方法——攝動(dòng)法匹配后的兩項(xiàng)近似內(nèi)解合成后的兩項(xiàng)近似解近似解析方法——攝動(dòng)法3、時(shí)間邊界層——?jiǎng)傂詥?wèn)題（stiffequs)

剛性問(wèn)題：具有不同時(shí)間尺度的變化問(wèn)題； 特點(diǎn)：快步驟與慢步驟共存 擬穩(wěn)態(tài)近似與定常態(tài)近似 計(jì)算難點(diǎn)：數(shù)值振蕩，多步Gear方法 奇異攝動(dòng)：慢鏡頭分析，給出完整的結(jié)果近似解析方法——攝動(dòng)法

例

慢時(shí)間尺度解（

＝0）——擬穩(wěn)態(tài)近似近似解析方法——攝動(dòng)法

快時(shí)間尺度解——定常態(tài)近似近似解析方法——攝動(dòng)法合成與匹配——VonDyke匹配原理 例：催化劑的平行失活問(wèn)題

反應(yīng)快、失活慢，二者均需要考慮近似解析方法——攝動(dòng)法無(wú)量綱化

1、先求內(nèi)解，內(nèi)解可完全確定

近似解析方法——攝動(dòng)法

令

近似解析方法——攝動(dòng)法得到兩項(xiàng)近似內(nèi)解

近似解析方法——攝動(dòng)法2、直接展開(kāi)求外解，外解不滿足初值，含任意常數(shù)3、內(nèi)、外解匹配確定外解任意常數(shù)

得到外解近似解析方法——攝動(dòng)法

近似解析方法——攝動(dòng)法4、合成含有快、慢尺度的統(tǒng)一解

近似解析方法——攝動(dòng)法

近似解析方法——攝動(dòng)法4、移動(dòng)的空間邊界層問(wèn)題

非線性色譜過(guò)程的濃度前沿 非線性吸附效應(yīng)與擴(kuò)散效應(yīng)之間的競(jìng)爭(zhēng)作用 移動(dòng)的空間邊界層的形成求解思路 外解——非線性色譜問(wèn)題的激波解 內(nèi)解——采用跟隨激波的移動(dòng)坐標(biāo)系，放大邊界層 匹配與合成近似解析方法——攝動(dòng)法問(wèn)題

近似解析方法——攝動(dòng)法1、外解

由特征線法濃度激波位置xs由匹配條件確定

近似解析方法——攝動(dòng)法2、邊界層內(nèi)解

積分得3、匹配近似解析方法——攝動(dòng)法由以上Prandtl匹配條件得激波間斷關(guān)系解得激波軌跡

邊界層內(nèi)解近似解析方法——攝動(dòng)法

近似解析方法——攝動(dòng)法4、0階近似合成解

近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法§2試驗(yàn)函數(shù)方法

思想：用已知的、含待定參數(shù)的簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替準(zhǔn)確解，用積分形式的方程或點(diǎn)近似方程代替微分方程，確定不定參數(shù)。 以犧牲一些局部的精確性為代價(jià)，換取對(duì)問(wèn)題整體規(guī)律性的把握，在一定的近似范圍內(nèi)解決問(wèn)題。 要點(diǎn)：試驗(yàn)函數(shù)的選擇 殘差處理方法近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法1、試驗(yàn)函數(shù)與方程殘差

例1落石問(wèn)題 分析：下落速度從零增加到末速度近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法設(shè)試驗(yàn)函數(shù)為

是待定參數(shù)，代入方程得到殘差若要求在t=τ時(shí)刻方程成立，R(τ)=0，得近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法由準(zhǔn)確解

特點(diǎn)：方程只在一個(gè)點(diǎn)滿足，近似解“八九不離十” 例2催化劑顆粒有效系數(shù)計(jì)算

近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法

設(shè)試驗(yàn)函數(shù)要求方程積分滿足，得近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法取s=0，r(y)=y

，得

準(zhǔn)確解

<1時(shí)，相差甚微（1%左右），

越大相差越大。 原因：快速反應(yīng)濃度分布空心化，偏離拋物分布。近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法改進(jìn)，對(duì)于快速反應(yīng)，采用以下蛋白型試驗(yàn)函數(shù)

仍要求方程積分滿足，確定參數(shù)xp近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法

準(zhǔn)確解，說(shuō)明試驗(yàn)函數(shù)越接近真實(shí)，結(jié)果越準(zhǔn)確。

例3試井問(wèn)題

拭井：反求地層參數(shù)的工業(yè)試驗(yàn)方法，壓力變化方程近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法

近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法分析：影響半徑R＝R(

)，漏斗型分布，擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)

無(wú)窮遠(yuǎn)邊值的有限化

積分平均近似

擬穩(wěn)態(tài)試驗(yàn)函數(shù)近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法由邊界條件

影響半徑為待定函數(shù)，代入積分的壓力方程，得準(zhǔn)確解近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法小結(jié)：試驗(yàn)函數(shù)法試驗(yàn)函數(shù)的選擇 盡可能接近真實(shí) 事先滿足初始與邊界條件方程殘差的處理 點(diǎn)近似 積分平均近似 加權(quán)積分近似近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法2、空間平均近似

例：球形顆粒上的不定常擴(kuò)散

采用拋物型試驗(yàn)函數(shù):近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法代入方程，令空間積分為0，得

系數(shù)A由初始條件確定，定義空間平均濃度，得由初值為0

近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法近似解與準(zhǔn)確解的比較： 長(zhǎng)時(shí)間后準(zhǔn)確，短時(shí)間內(nèi)偏離。 原因：滲透區(qū)的存在，偏離拋物型試驗(yàn)函數(shù)。近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法改進(jìn)——取滲透型試驗(yàn)函數(shù)由空間平均近似近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法短時(shí)間解準(zhǔn)確解近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法3、邊界層動(dòng)量積分方法 問(wèn)題：Prandtl邊界層方程，非線性PDE方程組

y=0:u=v=0;y→∞:u=U,v=0

x<0:u=U,v=0近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法

方法要點(diǎn)： 在邊界層內(nèi)用積分形式的動(dòng)量方程代替微分方程 選擇滿足邊界條件的多項(xiàng)式或其它函數(shù)為試驗(yàn)函數(shù)近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法1）邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo) 邊界層厚度(x)是一個(gè)待定的函數(shù)近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法2）試驗(yàn)函數(shù)的選取 滿足以下邊界條件取近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法代入動(dòng)量積分方程得到確定邊界層厚度

(x)的方程準(zhǔn)確解近似解析方法——試驗(yàn)函數(shù)法4、加權(quán)余量法（Galerkin方法）

殘差加權(quán)積分為0的近似方法權(quán)函數(shù)的選擇