高中必修課考點及題型解析(修改稿)

高中數(shù)學必修課考點及題型解析

一、數(shù)學必修1

考點一：集合間的運算：求交集（ACB）、并集（AUB）、補集（CUA）

題型1：用列舉法表示的集合間的運算對于用列舉法表示的集合間的運算，A

AB（交集）為A與B的相同元素組成的集合，AUB（并集）為A與B的所有元

素合在一起并把重復元素去掉一個所組成的集合，CUA（補集）為在全集U中把

A擁有的元素全部去掉剩下的元素所組成的集合。

例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={1,3,5,7},集合B=例5,8},

求AAB,AUB,CUAo

解：AAB={1,3,5,7}n{2,5,8}={5}

AUB={1,3,5,7}U{2,5,8}={1,2,3,5,7,8）

CUA={2,4,6,8,9,10}

題型2：用描述法表示的集合間的運算（主要針對用不等式描述元素特征）

對于用描述法表示的集合間的運算，主要采用數(shù)形結合的方法，將集合用數(shù)軸或

文氏圖表示出來（常選用數(shù)軸表示），再通過觀察圖形求相應運算。AAB（交集）

為圖形中A與B重疊即共同擁有的部分表示的集合。AUB（并集）為圖形中A

加上B所表示的集合。CUA（補集）為圖形中表示全集U的部分中去除表示A剩

下的部分所表示的集合（若全集為R,則數(shù)軸表示時是整條數(shù)軸）注意表示數(shù)軸

是帶有等于號的用實心點表示，沒帶等于號的用空心點表示。

例2、已知集合A={x|0<x<2},B={x|-Kx<3},求APB,AUB,CRA0

解：AnB={x!0<x<2}A{x|-Kx<3}={x!0<x<2}

蚊爛表示：：比SU分句在。個堂遂行？

AUB={xKXc<2；'u{x|"l<x<3}={xH。<3}

：^

■。次

考點二：求函數(shù)的定義域

求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

（1）分式的分母不為0;

（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于0,0取0次方?jīng)]有意義（即指數(shù)為。的累函數(shù)

底數(shù)不能為0）;

（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0；

（4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1；

（5）當函數(shù)涉及實際問題時，還必須保證實際問題有意義。

(6)如果f(x)是由兒個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式

子都有意義的實數(shù)集合。(即求各集合的交集)

注意：函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式。

例1：已知函數(shù)/1(x)=7777+-,求函數(shù)的定義城。

x+2

x+3>0x>-3

解得：'

x+2=0x#—2

..?所給函數(shù)的定義域為｛x|x2-3且x*-2｝。

例2、求函數(shù)y=log。:(4-x)+(x-3)°的定義域。

解：一.'解得：卜，???所給函數(shù)的定義域為｛"'<4且x=3｝。

x-3=0x=3

例3、求函數(shù)1'=(X+例+log(TX的定義域。

fx+1>0fx>-1

x+1#1x#0

解：；!x-2>0解得：|x>2二所給函數(shù)的定義域為｛x|x>2且x#3｝。

x-20Ix*3

[x>0[x>0

例4、設一個矩形周長為80,其中一邊長為X,求它的面積關于x的函數(shù)的解析式,

并寫出定義域.

on_2r

解：由題意知，另一邊長為Y—,且邊長為正數(shù)，所以0<x<40-

2

on_2Y

所以s==—x=(40-x)x(0<x<40)

2

考點三：相同函數(shù)的判斷

O1構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對

應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個

函數(shù)相等(或為同一函數(shù))

O2兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變

量和函數(shù)值的字母無關。

例1、下列函數(shù)中哪個與函數(shù)尸X相等？

(1)>'=(Vx)2；(2)y=(yTJ);(3)y=y[^；(4)>>=—

X

解：函數(shù)y=x的定義域為R,對應關系為j=x；

(1)『=(4)2的定義域為{中>0},定義域不相同；

(2)J，=(V7■淀義域為R,化簡后對應關系為J，=x,與尸X為同一函數(shù);

(3)y=戶定義域為R,化簡后對應關系為y=|x|,對應關系不相同3

(4)產(chǎn)工定義域為{x時0},定義域不相同。

X

考點四：單調(diào)性證明及性質(zhì)應用

1、定義一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,

如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量xl,x2,當xl<x2時，

都有f(xl)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；

如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量xl,x2,當xl<x2時，

都有f(xl)>f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。

2、性質(zhì)

增函數(shù)：在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，對于任意xl〈x2,均有f(xl)<f(x2),且函數(shù)圖象在此

區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)上升趨勢；

減函數(shù)：在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，對于任意xl〈x2,均有f(xl)>f(x2),且函數(shù)圖象在此

區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)下降趨勢；

3、定義法證明單調(diào)性步驟

①在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取xl,x2GD,且xl〈x2；(取值)

②作差f(xl)—f(x2)；

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差f(xl)—f(x2)的正負)；

⑤下結論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)

題型：利用函數(shù)單調(diào)性求變量取值范圍

常見給出一個二次函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，并求變量的取值范圍。此類題型

注意二次函數(shù)的對稱軸必須落在所給單調(diào)區(qū)間的外面，再結合二次函數(shù)開口方向

即可求解。

3

例1、證明函數(shù)/=在〔3,5]上是減函數(shù)。

x+1

證明：設e[3,5],且X]<X：,則

33（x：-X。

—⑸）

X

X]+1X2+1（X]+1X2+1）

e[3,5],二X1+1>0,工1+1>0

v4<Z,二x2-Xj>0

/./（X]）-/（x：）>OJp/fxj）>/（x：）

3

因此，函數(shù)=—在[35]上是減函數(shù)。

x+1

例2、設函數(shù)/(x)=x'_(3a_l)x+/在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)。的

取值范圍。

解：...二次函數(shù)/(x)=x：_(3a_l)x+a：圖象開口向上，

—一二-(3a-1)3a-1

對稱軸為：x=----------------

22

二函數(shù)/1產(chǎn))=*：_(34_1產(chǎn)+/在區(qū)間(37,興0)上是增函數(shù)

又由題意知：函數(shù)〃x)=x：_(3a_l)x+a：在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)

3a-1

.?.—7—41,解得：a?l，實數(shù)a的取值范圍為(-8,1]

考點五：求函數(shù)最值：求函數(shù)最值一般結合函數(shù)單調(diào)性進行求解

例1、求函數(shù))=(x-l)：-2,04x42的最大值與最小值。

解：?.?函數(shù)j=(x-lf-2為二次函數(shù)，圖像開口向上，對稱軸為戶1

二函數(shù)在對稱軸處取得最小值八1)=-2,又以0)=/⑵=7,故函數(shù)最大值為-1。

考點六：奇偶性判斷及性質(zhì)應用

1、女

偶醺如一般地，對于函數(shù)"X)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有/(_x)=/(X),

那么"X)就叫做偶出數(shù).(學生活動)依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義.

奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)"X)的定義域的任意一個X,都有/(_x)=-/(x),

那么/(X)就叫做奇函數(shù).

2、性康

偶函數(shù)：r(-x)=/(X),圖象關于了軸對稱；

圖象在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反。

奇的數(shù):/(-X)=-/(x),圖象關于原點對稱，/(0)=/(-0)=0;

圖象在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同。

典型題：利用奇偶性性質(zhì)求函數(shù)解析式

例1、困數(shù)/(X)是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=-x+l,求當x<0

時，/(X)的表達式。

解：令x<0,貝]l_x>o,/(_x)=_(_x)+l=x+1

V"X)是定義域為R的奇函數(shù)，:/(x)=-/(-X)

.?.當X<0時，/(X)=-/(-X)=-(X+1)=-X-lO

...當x<0時，“X)的表達式為：/(x)=-X-1

3、手蜥奇偶性步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

②確定;?(-x)與/(x)的關系；

③作出相應結論：

若/(-X)=/(x)<f(-x)-/(X)=0,則“X)是偶函數(shù)；

若/(-X)=-/(xW(-x)+/(x)=0,則/(X)是奇函數(shù)

例2、判斷下列困數(shù)的奇偶性

(1)/(x)=-Jx-2+-Jl-x(2)/(x)=(x+1+x-1

解：(D/(x)的定義域為{2},定義域不關于原點對稱

因此函數(shù)“X)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

(2)"X)的定義域為R,定義域關于原點對稱

又f(—X)=—X+1+—X—1=X—1+X+1=/(X)

/./(X)是偶函數(shù)

考點七：指數(shù)式、對數(shù)式運算

1、翊指數(shù)幕的運算性廉：

(1)a'?/=a—(a>o.r.seR)

⑵(a)'=a'(a>O,r,jeR)

<3)(劭)’=a'a'(a>0",seR)

2、對教的運算性質(zhì)：如果a>0,且a*l,M>0,N>0,那么：

①log^(Af-N)=log3Af+log.N；

cM

?loga=logaM-log3N$

Ologa3/*=wlogaAf(?e7?).

考點A：指數(shù)型函數(shù)、對胭蹴、皋函數(shù)過定點問題

利用指數(shù)函數(shù)'對數(shù)函數(shù)、黑函數(shù)過定點求解：

指數(shù)函數(shù)，=1（“>0且a=1）圖象過定點9D,即當x=0時，尸1（即八1）。

對數(shù)函數(shù)了=log.x（a>0且a*1）圖象過定點（1。）,即當x=l時，尸（X即，密20）。

幕函數(shù)T=x"（a>0且a*1）圖象過定點（1,1），即當。1時，產(chǎn)1（即八1）。

例：函數(shù)y=a*"+l（a>O.a*1）的圖象必經(jīng)過點。

解：由指數(shù)畫數(shù)y=a"（a>0且a*1）過定點（0,D可知：

當x-2=0時，ax'2=l,則尸，1+1=1+1=2,

即當x=2時，產(chǎn)片?+1=2,

因此，函數(shù)），=廣：+19>0?/1）的圖象必經(jīng)過點（2,2）。

考點九：指數(shù)不等式、對數(shù)不等式

借助指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)（尤其是單調(diào)性〉求解：

指數(shù)函數(shù)：若（Xavi：當x<0時，y>b當x>0時，（Ky<l?在定義域上減。

若a>l：當x<0時，0<y<l；當x>0時，y>l?在定義域上熠。

對數(shù)函數(shù)：若21：當0<x<l時，y>5當x>l時，yvO。在定義域上減。

若a>l：當（Xxvl時，y〈0;當x>l時，y>0。在定義域上增。

注意別忽略對數(shù)式對真數(shù)的限制：真數(shù)大于0o

例：解不等式log2（2x-1）<log式-x+5）.

解：?..對數(shù)式中真數(shù)大于0,.??、；"-I〉"解得9<X<5.

I-x+5>0,2

又函數(shù)1=log：X在（0,+8）上是增函數(shù)

二原不等式化為2x-1<-x+5,解得x<2.

二.原不等式的解集是｛x|1<x<2｝.

2

考點十：利用懶醴、對數(shù)醴單調(diào)性求變量取值范圍

例：已知函數(shù)jra-iy在R上為減函數(shù)，求變量a的取值范圍。

解：由函數(shù)尸（a+l）x在R上為減函數(shù)可知：（Xa*l<l解得：-130

因此，變量a的取值范圍為｛3-130｝。

考點十一：零,點問題

1、方程與函數(shù)的關系：方程向=0有實數(shù)根=函數(shù)丁寸刈的圖象與X軸有交點O

函數(shù))=的有零點.

2、求函數(shù)零點(或方程的根)所在區(qū)間：

方法一：(代入法)對于選擇題，可選用代入法，根據(jù)零點定理(丁=的是在區(qū)間

[%見上的連續(xù)函數(shù)，如果有的網(wǎng)〈。，貝ij：函數(shù))=附在區(qū)間[%刃內(nèi)有零點，方

程的=。在(%G內(nèi)有實根。)確定零點所在區(qū)間。

例1：函數(shù)"x)=e*+x-2的零點所在的一個區(qū)間是()

A、(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)

【解析】代入法。?.?/(x)=e*+x-2,二/(0)=-l<0,/(l)=。-l>0,選C。

方法二：(圖像法)若所給函數(shù)由基本初等函數(shù)組合而成(即G(x尸g(x)-f(x))，可將

函數(shù)對應的方程化成何=g”的形式，則零點所在區(qū)間就是這兩個函數(shù)附與g為

圖像交點所在區(qū)間。在坐標軸上畫出兩個函數(shù)的圖形，找出圖像交點所在區(qū)間即可。

如上面的例1中國數(shù)對應方程丁+x-2=0可化為e*=_x+2,在坐標軸上畫出

函數(shù))，=e*和j，=-x+2的圖象，可發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象交點在區(qū)間(0,1)內(nèi)。

3、求函數(shù)零點(方程的根)的個數(shù)或根據(jù)零點個數(shù)求變量取值范圍。

求函數(shù)零點的個數(shù)即求對應方程的根的個數(shù)，也是函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)。

比較常見涉及的函數(shù)為二次函數(shù)。此類題型可用二次函數(shù)的圖像或對應一元二次方

程的根的判別式△進行判斷。

例2：函數(shù)j=x'-4x+4有個零點。

解：令X’-4x+4=0;△=(_4)：-4x4=0…方程x：-4x+4=0有一實根。

因此，國數(shù)>=X,-4x+4有_}_個零點。

例3：函數(shù)/(x)=ox：-x-1只有有一個零點，求。的取值范圍。

解：(1)若a=0,則f(x)-x-l為一次函數(shù)，函數(shù)必有一個零點為-1;

(2)若好0,則函數(shù)/(x)=ax'-x-l是二次函數(shù)，由函數(shù)只有一個零點知：

1

A=l+4a=0,4=——

4

綜上所述，當a=0和a=-1是函數(shù)只有一個零點。

4

數(shù)學必修2

2.1空間幾何體

考點

1、空間兒何體的結構

⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、

圓臺、球。

⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四

邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部

分，這樣的多面體叫做棱臺。

2、長方體的對角線長/2=a2+o2+c.2；正方體的對角線長/=總

A

3、球的體積公式：V7?3,球的表面積公式：5=4萬R2

3

4、柱體V=s.〃，錐體V=Ls./i,錐體截面積比：&=工

3&h2

5、空間兒何體的表面積與體積

⑴圓柱側面積;S側面=2?！畆,I

⑵圓錐側面積：

題型：以選擇題和填空題為主要考察形式，主要考察對概念的掌握，尤其注重

對三視圖和表面積、體積的計算等知識點的考察。

例1：下列命題正確的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四邊形

B.棱錐的底面一定是三角形

C.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱

D.棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐

例2：若一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形

面積的（）

A萬倍B4倍c2倍D及倍

例3：已知一個兒何體是由上、下兩部分構成的一個組合體，其三視圖如下圖所

示，則這個組合體的上、下兩部分分別是（）

A.上部是一個圓錐，下部是一個圓柱

B.上部是一個圓錐，下部是一個四棱柱

C.上部是一個三棱錐，下部是一個四棱柱

D.上部是一個三棱錐，下部是一個圓柱

例4：一個體積為8c療的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積是

A.cm2Cl6^cm2-D.20^cm2

二、填空題

例1:若圓錐的表面積為。平方米，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐

的底面的直徑為.

例2：球的半徑擴大為原來的2倍，它的體積擴大為原來的倍.

一個四面體的頂點在空間直角坐標系O—xyz中的坐標分別是(1,0,1),(1,1,0),

(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則

得到的正視圖可以為().

考點：

1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面

內(nèi)°

2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面

3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一

條過該點的公共直線。

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等

或互補。

6、線線位置關系：平行、相交、異面。

7、線面位置關系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。

8、面面位置關系：平行、相交。

9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平

面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。

⑵性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面

的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。

10、面面平行：

⑴判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面

平行（簡稱線面平行，則面面平行）。

⑵性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平

行（簡稱面面平行，則線線平行）。

11、線面垂直：

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這

條直線和這個平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此

平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。

⑶性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

12、面面垂直：

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩

個平面互相垂直。

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直（簡

稱線面垂直，則面面垂直）0

⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另

一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。

題型：

例1：一棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比是1:2,則

此棱錐的高（自上而下）被分成兩段長度之比為

A、1:V2B、1:4C、1:（V2+1）D、1:（V2-1）

例2：已知兩個不同平面a、￡及三條不同直線a、b、c,a_L尸，an，=c,a_L，，

alb,c與b不平行，則（）

A.且b與a相交B.bua息b"B

C.6與a相交D.A_La且與/不相交

例3：有四個命題：①平行于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩

條直線平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④垂直于同一平面的兩個平面

平行。其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

例4：在正方體ABC。-43cA中，E,尸分別是0c和CG的中點?求證:

例5：如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，E、F為棱AD、AB的中點.

(1)求證:EF〃平面CB1D1；

(2)求證：平面CAA1C1JL平面CB1D1

(2013課標全國II,理4)已知m,n為異面直線，m

1.平面a,n_L平面B.直線1滿足lJ_m,lln,

1Ua,1UB,則().

A.a〃B且1〃aB.a±

B且1_LB

C.a與B相交，且交線垂直于1D.a與B相交，且交線平行于1

(2013課標全國H,理18)如圖，直三棱柱ABC—A1B1理中,D,E分別是AB,

—AB

BB1的中點，AA1=AC=CB=2

(1)證明：BC1〃平面A1CD；

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

(2014課標全國II,理⑻如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,

PA_L平面ABCD,E為PD的中點.

(I)證明：PB〃平面AEC；

（II）設二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=^,求三棱錐E-ACD的體積.

（2014課標全國II,理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBCA=90°,M,N分別是

A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,

則BM與AN所成的角的余弦值為（）

12^0V2

A.10B.5C.10D.K

2.3平面幾何初步

考點：

1、傾斜角與斜率：k-tana=—~—

勺一再

2、直線方程：

⑴點斜式：丁一九二耳工-/)

⑵斜截式：y-kx+b

⑶兩點式：匕互=上21

x-x}X2-X]

(4)截星巨式：-+^=1

ab

(5)一般式：Ax+By+C=0

3、對于直線：乙：y=k]X+4,/2：曠二3%+力2有:

⑵4和乙相交=攵產(chǎn)右；

⑶乙和/，重合2

也=%

—

(4)/11.120女]左2—1-

?丁.八、/,IA.X+BJV+C.=0,.

4、對于直線：，：：2+%+6=。有:

A5)=AB

⑴/J/4O2]

B]C2wB2cl

(2%和乙相交oA也HA?%

A[B?—ABj

⑶(和“重合u>?2

BXC2—B2cl

(4)/j1.l2=A】4+3]5)=0.

5、兩點間距離公式：山4=J(X2—xJ+(乃—%)2

6、點到直線距離公式：dJA'+Byo+q

7、兩平行線間的距離公式：

|C-CI

/)：Ax+By+G=0與A：Ax+By+=0平彳丁，貝d=J-

VA2+B2

題型：

例1：若過坐標原點的直線2的斜率為-6,則在直線/上的點是()

A(1,V3)B(V3,l)C(-73,1)D(1,-73)

例2：直線A:kx+(l—k)y—3=0和，2：伏一l)x+(2k+3)y—2=0

互相垂直，則左的值是()

A.-3B.0C.0或-3D.0或1

(2014課標全國II,理16)設點M若在圓0:》2+儼=1上存在點帥使

得zxxkN0MN=45°,則4的取值范圍是.

(2013課標全國n,理12)已知點A(—1,0),B(l,0),C(0,1),直線y=ax+b(a

>0)將4ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是().

:”ai]

A.(0,1)B.I22JC.I23」

2.4圓與方程

考點：

1、圓的方程：

⑴標準方程:(iy+(…)2=/,其中圓心為伍⑼，半徑為r.

⑵一?般方程：/++Dr+Ey+F=0.其中圓心為(-2,-與，半徑為

22

r=-yjD2+E2-4F.

2

2、直線與圓的位置關系

2

直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-/>)2-r的位置關系有三種：

d>ro相離<=>A<0;

d=廣。相切。A=0;

d<r<=>相交<=>A>0.

3、兩圓位置關系：d=\O,O2\

⑴外離：d>R+r；(2)外切：d=R+r；

⑶相交：R-r<d<R+r；⑷內(nèi)切：d=R-r；

(5)內(nèi)含：d<R-r.

4、空間中兩點間距離公式：|4.|=](尤2—X)+(乃一Ml+卜2々I」

題型：

例1：圓心在直線y=2x上，且與x軸相切與點(-1,0)的圓的標準方程是

例2：已知圓C:尤2+,2=4,

(1)過點(-1,百)的圓的切線方程為.

(2)過點(3,0)的圓的切線方程為.

(3)過點的圓的切線方程為.

(4)斜率為一1的圓的切線方程為.

例3：已知圓C經(jīng)過A(3,2)、B(l,6)兩點，且圓心在直線y=2x上。

(1)求圓C的方程；

(2)若直線L經(jīng)過點P(—1,3)且與圓C相切，求直線L的方

程。

數(shù)學必修3

3.1算法初步

考點1：算法與程序框圖

題型：通過選擇題與填空題的形式，考察對算法的理解，主要考察對順序結構

和循環(huán)結構的理解與運用。

（2013課標全國H,理6）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N=10,那么輸出的

S=（）.

2013年圖示

2014年圖示

（2014課標全國II,理7）執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2,則輸出的

S=（）

A.4B.5C.6D.7

08山東（14）執(zhí)行右邊的程序框圖，若尸0.8,則輸出的n=4

3.2統(tǒng)計

考點：1、簡單的隨見抽樣

2、用樣本的特征估計總體的特征

3、變量間的相關關系

例型

1.用簡單隨機抽樣從含有8個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本.問：

①總體中的某一個體。在第一次抽取時被抽到的概率是多少？

②個體。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是多少？

③在整個抽樣過程中，個體。被抽到的概率是多少？

C11

分析：①總體中的某一個體。在第一次抽取時被抽到的概率是P=#=d;

C1c11

②個體。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是P=方l=-；

7o

③由于個體4在第一次被抽到與第2次被抽到是互斥事件，所以在整個抽樣

111

過程中，個體0被抽到的概率是「=耳+耳=彳.

2.已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下

x45424648423558403950

y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72

x（血球體積，mm）,y（血紅球數(shù)，百萬）

（1）畫出上表的散點圖；（2）求出回歸直線并且畫出圖形.（3）回歸直線必經(jīng)過的

一點是哪一點？

⑵解:（1）見下圖

y|

10.?

-----------?????

303540455055X

(2)又=看45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=45.50

y=*(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37

設回歸直線為y=bx+a,

貝Ijtxiy,-nxy,b=-_a-=_064

a=-^----------------=0.176'

為x『-n-

i=l

所以所求回歸直線的方程為9=0.176x-0.64,圖形如下:

,87175-7x30x399.3

故可得到-7000-7x302

a=399.3-4.75x30。257

從而得回歸直線方程是丫=4.75乂+257.(圖形略).

3.寫出下列各題的抽樣過程.

(1)請從擁有500個分數(shù)的總體中用簡單隨機抽樣方法抽取一個容量為30

的樣本。

(2)某車間有189名職工，現(xiàn)在要按1：21的比例選派質(zhì)量檢查員，采用系

統(tǒng)抽樣的方式進行。

(3)一個電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目喜愛的測得進行得出，車間得出

的總人數(shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下：

很喜愛喜愛一般不喜愛

2435456739261072

打算從中抽取60人進行詳細調(diào)查，如何抽取？

解：(1)①將總體的500個分數(shù)從001開始編號，一直到500號；

②從隨機數(shù)表第1頁第0行第2至第4列的758號開始使用該表；

③抄錄入樣號碼如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、

5215、342、148、407、349、322、027、002、323、14k052、177、001、456、

491、261、036、240、115、143、402

④按以上編號從總體至將相應的分數(shù)提取出來組成樣本，抽樣完畢.

(2)采取系統(tǒng)抽樣.189+21=9,所以將189人分成9組，每組21人，在

每一組中隨機抽取1人，這9人組成樣本.

(3)采取分層抽樣.總人數(shù)為12000人，12000+60=200,

2345=”…145人黑=22…⑹人，鬻=19…余126,嗤=5…余72人

200

所以從很喜愛的人中剔除145人，再抽取11人；從喜愛的人中剔除167人，再

抽取22人；從一般喜愛的人中剔除126人，再抽取19人；從不喜愛的人中剔除

72人，再抽取5人.三、概率

考點：4、概率的概念及意義

5、古典概型的概念及概率

6、幾何概性的概念及概率

題型

1.有紅，黃，白三種顏色，并各標有字母A,B,C,D,E的卡片15張，今隨機

一次取出4張，求4張卡片標號不同，顏色齊全的概率.(12分)

解：基本事件總數(shù)為n=Au，

mC4c2A1

而符合題意的取法數(shù)m=C；C：A：=180,工=麗

2.10根簽中有3根彩簽，若甲先抽一簽，然后由乙再抽一簽，求下列事件的概

率：

(1)甲中彩；(2)甲、乙都中彩；(3)乙中彩(14分)

解：設人=｛甲中彩｝B=｛乙中彩｝C=｛甲、乙都中彩｝則。=人8

q321

(1)P(A)=—；(2)P(C)=P(AB)=-xX=—

1010915

——1733

(2)P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=—+—x-=

To

3.從5雙不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率:

(1)所取的4只鞋中恰好有2只是成雙的；

(2)所取的4只鞋中至少有2只是成雙的.

解：基本事件總數(shù)是C：。=210.

(1)恰有兩只成雙的取法是C；C；C；C；=120.

???所取的4只鞋中恰好有2只是成雙的概率為4=-=-

X-/1nNU/

(2)事件“4只鞋中至少有2只是成雙”包含的事件是“恰有2只成雙”和

“4只恰成兩雙”，恰有兩只成雙的取法是C；C；C；C；=120,四只恰成兩雙

的取法是C：=10.

???所取的4只鞋中至少有2只是成雙的概率為

+C；_130_13

Cjo-210-21

4.為了了解參加某種知識競賽的1003名學生的成績，請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容

量為50的樣本.

解：⑴隨機地將這1003個個體編號為1,2,3,1003.

⑵利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體（可利用隨機數(shù)表），剩下

的個體數(shù)1000能被樣本容量50整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進行.

說明：總體中的每個個體被剔除的概率相等（二一），也就是每個個體不被剔

1003

除的概率相等溫.采用系統(tǒng)抽樣時每個個體被抽取的概率都是荒，所以在

整個抽樣過程中每個個體被抽取的概率仍然相等，都是黑氤部

考點7：數(shù)據(jù)抽樣和分析——頻率分布直方圖的制作與分析

考點8：總體的數(shù)字特征

（2014課標全國II,理19）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單

位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入

2.93.33.64.44.85.25.9

y

（I）求y關于t的線性回歸方程；

（II）利用（I）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人

均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

b=N---------

（■=',a=y-bT

考點9：離散性隨機變量及其分布列

題型

（2013課標全國II,理19）（本小題滿分12分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷

售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300

元.根據(jù)歷史資料?，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)

銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X（單位：t,100WXW150）表

示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該

農(nóng)產(chǎn)品的利潤.

（D將T表示為X的函數(shù);

(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；

(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需

求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量Xe

[100,110),則取X=105,且X=105的概率等頻率/組距

于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的數(shù)學0.030

期望.0.025

0.020

0.015

0.010

100110120130140150需求量/t

數(shù)學必修4

4.1三角函數(shù)

考點：1.三角函數(shù)的概念和性質(zhì)(單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值)

2.三角函數(shù)的圖象

3.三角恒等變換(主要是求值)

4.三角函數(shù)模型的應用

5.正余弦定理及其應用

6.平面向量的基本問題及其應用.

題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是

利用正余弦函數(shù)的有界性，通過三角換元或者是其它的三角恒等變換轉化問題.

例1若x是三角形的最小內(nèi)角，貝ij函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值

是()

A.-1B.V2C.--+V2D.-+V2

22

分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于。的，而(sinx+cosx)，=l+2sinxcosx,

換元解決.

解析：由0<x?工，=sinx+cosx=V2sin(x+—),1^—<X+—<—K,得

344412

l<f<V2.

又產(chǎn)=l+2sinxcosx,得sinxcosx=----,

得y=/+0」(f+l)2_l,有］+0<”挺+(揚:I=0+L選擇答案

'2222

D.

點評：涉及到sinx±cosx與sinxcosx的問題時，通常用換元解決.

解法二：y=sinx+cosx+sinxcosx-V2sin|x+—|+—sin2x>

I4j2

當了=?時，%=&+；，選D。

例2.已知函數(shù)/(x)=2asinxcosx+2bcos2x.,且/(0)=8,/弓)=12.

(1)求實數(shù)4,匕的值；(2)求函數(shù)/(X)的最大值及取得最大值時X的值.

分析：待定系數(shù)求。，b;然后用倍角公式和降鼎公式轉化問題.

解析：函數(shù)/(x)可化為f(x)=asin2x+bcos2x+b.

(1)由/(0)=8,/(巳)=12可得/(0)=2匕=8,f(-)^—a+-b^\2,所

6622

以6=4,a=4#.

(2)/(x)=4\/Jsin2x+4cos2x+4=8sin(2x+M)+4,

6

故當2x+￡=2攵乃+即x=人萬+看(女eZ)時，函數(shù)/(x)取得最大值為12.

點評：結論asin6+/?cos6=Jo：+b?sin(6+0)是三角函數(shù)中的一個重要公

式，它在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡求值恒等式的

證明中有著廣泛應用，是實現(xiàn)轉化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐

帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點內(nèi)容.

題型2三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應了三角函數(shù)的性質(zhì),

一直是高考所重點考查的問題之一.

例3.(2009年福建省理科數(shù)學高考樣卷第8題)為得到函數(shù)y=cos(2x+W

的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象

A.向左平移三個長度單位B.向右平移三個長度單位

C.向左平移？個長度單位D.向右平移？個長度單位

66

分析：先統(tǒng)--函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決.

解析：函數(shù)

y=cos(2x+；)=sin(2x+q+5)=sin(2x+K)=5畝2(^+碧)，故要將函數(shù)

y=sin2x的圖象向左平移三個長度單位，選擇答案A.

例4函數(shù)y=tanx+sinx-'anx-sinx|在區(qū)間(5,￡)內(nèi)的圖象是

分析：分段去絕對值后，結合選擇支分析判斷.

2tanx,當tanxvsin耐

解析：?y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=<

2sinx,當tanx2sinx時

擇支和一些特殊點，選擇答案D.

點評：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當不注意正切函數(shù)的定義域或

是函數(shù)分段不準確時，就會解錯這個題目.

題型3用三角恒等變換求值：其主要方法是通過和與差的，二倍角的三角變換

公式解決.

例5（2008高考山東卷理5）已知cos（a-弓）+sina,則sin（a+誓）

的值是

A2百口2百?4n4

5555

分析：所求的sin[a+?J=sin(a+V),將已知條件分拆整合后解決.

解析：

「(.4G3.也4月.(吟4

C?cosa---+sina------—sinaH----