經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 課件 第六章 投入產(chǎn)出模型的建立VIP

第六章

投入產(chǎn)出模型的建立目

錄CONTENTS1總產(chǎn)值價值形成問題及解決方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue2使用EXCEL討論投入產(chǎn)出問題UsingExceltoDiscussInput-outputProblems3進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：線性代數(shù)初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra總產(chǎn)值價值形成問題及解決方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue1一、問題引入試建立線性方程組來確定當(dāng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)面臨的最終需求分別為33、8和16萬億元時，各部門的總產(chǎn)出應(yīng)該是多少？表6-1投入產(chǎn)出表(萬億元)1.總產(chǎn)值價值形成問題一、問題引入任何產(chǎn)品生產(chǎn)的技術(shù)過程都是一個投入產(chǎn)出過程，引例要求我們回答的就是分析系統(tǒng)各部門之間相互輸入(投入)和輸出(產(chǎn)出)的產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)我們考慮一個工業(yè)體系時，會發(fā)現(xiàn)每種工業(yè)都需要使用其它工業(yè)的“產(chǎn)出”作為自己的原材料，反過來，它所“產(chǎn)出”的產(chǎn)品又必然是某些別的工業(yè)的“投入”，從而構(gòu)成了相互依賴的關(guān)系。那么，如何把各部門的投入來源和產(chǎn)出方向去向縱橫交叉地編制成投入產(chǎn)出表？如何根據(jù)產(chǎn)出表的平衡關(guān)系，建立投入產(chǎn)出模型？如何借助投入產(chǎn)出表和投入產(chǎn)出模型進(jìn)行各種經(jīng)濟(jì)分析？1.總產(chǎn)值價值形成問題一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學(xué)模型平衡關(guān)系③每一個部門的總投入等于該部門的總產(chǎn)出。①從縱向看，中間投入+最初投入=總投入。②從橫向看，中間使用+最終需求=總產(chǎn)出。一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學(xué)模型直接消耗系數(shù)：計算每個部門總產(chǎn)出1元價值的產(chǎn)品時，相應(yīng)各部門向該部門的直接輸出所占的比例。表6-2直接消耗系數(shù)表你能解釋其經(jīng)濟(jì)意義嗎？一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學(xué)模型表6-3計劃投入產(chǎn)出表(萬億元)一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學(xué)模型根據(jù)投入產(chǎn)出表行的平衡關(guān)系，有以下消耗平衡方程組：一、問題引入2.總產(chǎn)值價值形成問題的數(shù)學(xué)模型消耗平衡方程組最終需求分別為33、8和16時，三個部門的總產(chǎn)出應(yīng)該為50、30和40。本章重點：解線性方程組(6.2)二、矩陣的概念線性方程組(6.2)的系數(shù)、右端常數(shù)按照原來的位置擺放，構(gòu)成一個矩形數(shù)表：引例2不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)表(6.3)決定了方程組(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等問題.因而研究這個數(shù)表就很有必要.(6.3)二、矩陣的概念二、矩陣的概念幾種特殊矩陣行矩陣列矩陣N階方陣所有元素均為零的矩陣，記為Om×n零矩陣二、矩陣的概念單位矩陣幾種特殊矩陣二、矩陣的概念定義：矩陣相等

如果都是m

n矩陣,并且它們的對應(yīng)元素都相等,則稱矩陣A和矩陣B相等,記作A=B.例1已知

且A=B,求a,b,c,d.解由矩陣相等的概念,有三、矩陣的運算1.矩陣的線性運算兩個m

n矩陣對應(yīng)的元素相加得到m

n矩陣,稱為矩陣A與矩陣B的和,記作A+B.定義注：只有兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行矩陣的加法運算三、矩陣的運算1.矩陣的線性運算定義

以數(shù)k乘以矩陣的每一個元素所得的矩陣，稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA.三、矩陣的運算

例2已知解三、矩陣的運算解

2個產(chǎn)地與3個銷地每噸的運費用矩陣表示為三、矩陣的運算三、矩陣的運算2.矩陣與矩陣的乘法定義矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應(yīng)元素乘積之和作為一個新矩陣的第i行第j列的元素注意：⑴只有當(dāng)左邊矩陣A的列數(shù)等于右邊矩陣B的行數(shù)時，矩陣A與B才能作乘法運算.⑵矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)m，列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)n

.三、矩陣的運算2.矩陣與矩陣的乘法例4已知求AB與BA．解三、矩陣的運算矩陣的乘積不滿足交換律例4已知求AB與BA．三、矩陣的運算2.矩陣與矩陣的乘法矩陣的乘法滿足以下規(guī)律：（其中k為常數(shù)）．注意兩矩陣的乘法與兩數(shù)的乘法有很大的差別.（1）結(jié)合律（2）分配律（3）數(shù)乘結(jié)合律三、矩陣的運算3.矩陣的轉(zhuǎn)置定義

矩陣A的行列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。記作例5

已知矩陣，求解三、矩陣的運算3.矩陣的轉(zhuǎn)置例6

已知,求解

(1)

首先計算于是，(2)(AB)T=BTAT三、矩陣的運算3.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運算規(guī)律：三、矩陣的運算4.逆矩陣設(shè)A是一個n階方陣,E是一個n階單位矩陣.如果存在一個n階方陣B,使AB=BA=E,則稱B為A的逆矩陣,簡稱為A的逆陣,或A的逆．這時稱A為可逆矩陣,簡稱可逆陣.定義例如三、矩陣的運算4.逆矩陣性質(zhì)1如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是惟一的．因此，矩陣A的逆矩陣常記作例如：性質(zhì)2可逆矩陣A的逆矩陣滿足注意：A的逆矩陣可通過EXCEL中的函數(shù)MINVERSE求得。四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示1.線性方程組的有關(guān)概念系數(shù)矩陣右端常數(shù)四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示1.線性方程組的有關(guān)概念系數(shù)矩陣右端常數(shù)增廣矩陣四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示2.投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示直接消耗系數(shù)表和最終需求可表示如下表示每生產(chǎn)單位價值第j種產(chǎn)品所需直接消耗的第i種產(chǎn)品的價值。投入產(chǎn)出方程組可以表示為對應(yīng)的解為稱為里昂惕夫逆矩陣。四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示2.投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示求解一個投入產(chǎn)出方程組,通常有兩種方法,即(1)逆矩陣法:

先求出里昂惕夫逆矩陣(I－A)-1,再利用式(6.7)求出X.(2)消元法:通過對方程組施以同解變換,逐步消元,從而求出X.第二節(jié)我們將討論如何借助Excel軟件實現(xiàn)逆矩陣法解線性方程組,其數(shù)學(xué)原理將在第三節(jié)討論.下面先介紹求解線性方程組的消元法.五、消元法解線性方程組1.消元法解線性方程組

每一個方程兩端同乘以10，將方程未知量的系數(shù)化為整數(shù)，得增廣矩陣五、消元法解線性方程組交換第一個方程和第三個方程的位置，得第一個方程的－1倍加到第二個方程，第一個方程的8倍加到第三個方程五、消元法解線性方程組第二個方程的兩端同除以8，得第二個方程的9倍加到第三個方程五、消元法解線性方程組線性方程組的同解變換：

交換某兩個方程的位置；

用一個非零數(shù)乘某一個方程的兩邊；

將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程.通常把過程①-⑥稱為消元過程，矩陣⑥稱為行階梯形矩陣，與之對應(yīng)的方程組⑥則稱為行階梯形方程組.五、消元法解線性方程組繼續(xù)上述方程組，第三個方程兩邊同除以38，得第三個方程的1倍加到第二方程，第三個方程的－6倍加到第一個方程五、消元法解線性方程組第二個方程的1倍加到第一個方程第一個方程的兩邊同乘以(－1)至此，我們可以通過增廣矩陣直接“讀”出該線性方程組的解.五、消元法解線性方程組定義下面的三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：(1)交換矩陣的兩行（列）；(2)用非零數(shù)k乘以矩陣的某行（列）；(3)把矩陣的某一行（列）乘以數(shù)k后加到另一行（列）．矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．2.矩陣的初等變換五、消元法解線性方程組2.矩陣的初等變換例如：矩陣B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣，具體定義如下：五、消元法解線性方程組2.矩陣的初等變換一般地，稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣：⑴若有零行(元素全為零的行),則零行在矩陣的最下方；⑵非零行的第一個非零元素左邊的零的個數(shù)隨行標(biāo)遞增.矩陣B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣。五、消元法解線性方程組一般地，稱滿足下列條件的階梯形矩陣為簡化行階梯形矩陣：⑴各非零行的首非零元都是1；⑵非零行的第一個非零元所在列的其余元素都是零。對上述矩陣B再作初等行變換矩陣C依其形狀的特征稱為簡化行階梯形矩陣。五、消元法解線性方程組例7

求解線性方程組解記矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣五、消元法解線性方程組例7

求解線性方程組由簡化行階梯形矩陣可以得到原方程組的等價方程組為方程組有無窮多解，上式是所給方程組的一般解。使用EXCEL討論投入產(chǎn)出問題UsingExceltoDiscussInput-outputProblems2一、

利用Excel求直接消耗系數(shù)矩陣典型問題1利用Excel求解第一節(jié)表6-1的直接消耗系數(shù)矩陣第一步：在H4欄輸入“=C4/C$8”，得出直接消耗系數(shù)，即單位價值工業(yè)部門產(chǎn)品直接消耗0.2單位的工業(yè)部門自身產(chǎn)品。第二步：利用拖曳的方法將H5欄公式復(fù)制到H4至J6的范圍，如圖6-1所示。圖6-1直接消耗系數(shù)矩陣A二、利用Excel解線性方程組典型問題2利用Excel求解投入產(chǎn)出方程組6.2第一步：在工作表的E2至G4區(qū)域建立一個單位矩陣I，在I2至I4區(qū)域依次輸入33，8，16。第二步：計算I－A。在A6欄輸入“=E2-B2”,利用拖曳的方法將A6欄公式復(fù)制A6至C8的區(qū)域，如圖6-2所示。圖6-2方程組的系數(shù)矩陣二、利用Excel解線性方程組第三步：計算

。選中E6至G8區(qū)域，輸入公式“=MINVERSE(A6:C8)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】組合鍵，如圖6-3所示。圖8-3昂惕夫逆矩陣二、利用Excel解線性方程組第四步：利用公式求方程組(2)的解。選中I6至I8區(qū)域，輸入公式“=MMULT(E6:G8,I2:I4)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】組合鍵，得方程組的解。圖6-4線性方程組(2)的解三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型現(xiàn)階段各企業(yè)的總產(chǎn)出為多少？外部需求分別增加15萬元、5萬元和7萬元，各企業(yè)又該如何安排生產(chǎn)？表6-4，投入產(chǎn)出表(萬元)三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型解決方案x1,x2,x3分別表示3個企業(yè)現(xiàn)階段的總產(chǎn)出或三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型利用EXCEL求解上述方程組，得即3個企業(yè)現(xiàn)階段的總產(chǎn)出分別為105.16萬元、51.58萬元和54.87萬元三、

煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型外部需求分別增加15萬元、5萬元和7萬元，記則相應(yīng)地有或三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型利用EXCEL求解上述方程組，得3個企業(yè)的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加27.09萬元、12.16萬元和16.57萬元四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測模型2021年計劃三種產(chǎn)品的庫存不變，銷量分別比2009年增加30%、20%、40%。預(yù)測該企業(yè)的總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。表6-52019年投入產(chǎn)出表(萬元)四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測模型解決方案2021年三種產(chǎn)品的最終產(chǎn)出直接消耗系數(shù)矩陣x1,x2,x3分別表示三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測模型下面討論該企業(yè)2021年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。以產(chǎn)品2為例，2021年的中間產(chǎn)品使用產(chǎn)品2總投入為3179.5萬元單位價值產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1為0.1818元產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1價值為3179.5×0.1818=578萬元。2021年外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出外購產(chǎn)品占總投入的比例系數(shù)分別為0.5003、0.2814和0.2804產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的外購產(chǎn)品價值分別為1115.7萬元、894.6萬元和381.2萬元四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測模型2021年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況(匯總)結(jié)論：總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品以及其它投入會隨著三種產(chǎn)品的銷量增長而增長。進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識線性代數(shù)初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra3一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)在初等代數(shù)中，用加減消元法求解二元一次方程組可得若，則方程組的解為

為了研究和記憶的方便一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)易知，二階行列式是由4個數(shù)按一定的規(guī)律運算所得到的代數(shù)和.次對角線主對角線一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)解按第一行展開，得一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)類似于二元線性方程組的討論，對三元線性方程組記若系數(shù)行列式D≠0，則該方程組有唯一解：一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)例9解三元線性方程組解

系數(shù)行列式同理，可得故所求方程組的解為二、矩陣的秩定義

經(jīng)過有限次初等行變換將矩陣A化為行階梯形矩陣,其非零行的行數(shù)稱為矩陣A的秩,記作秩(A)或r(A).注意：矩陣的秩是矩陣的本質(zhì)屬性.可以證明,初等變換不改變矩陣的秩.例10求矩陣的秩.解矩陣B已經(jīng)是行階梯形矩陣,且非零行的行數(shù)為3,故r(A)=3.三、可逆矩陣的性質(zhì)與求逆矩陣1.可逆矩陣的性質(zhì)基本思路：由，根據(jù)矩陣相等列方程組求解.三、可逆矩陣的性質(zhì)與求逆矩陣2.求可逆矩陣的逆矩陣在矩陣可逆的前提下,求它的逆矩陣主要有：定義法和初等行變換法(1)定義法(2)