ch8主成分和因子分析

第八章因子分析

變量的相關(guān)性公共因子？將多個(gè)實(shí)測(cè)變量轉(zhuǎn)換成少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的綜合指數(shù)編輯課件匯報(bào)什么？假定你是一個(gè)公司的財(cái)務(wù)經(jīng)理，掌握了公司的所有數(shù)據(jù)，這包括眾多的變量，如：固定資產(chǎn)、流動(dòng)資金、借貸的數(shù)額和期限、各種稅費(fèi)、工資支出、原料消耗、產(chǎn)值、利潤(rùn)、折舊、職工人數(shù)、分工和教育程度等等。如果讓你向上級(jí)或有關(guān)方面介紹公司狀況，你能夠把這些指標(biāo)和數(shù)字都原封不動(dòng)地?cái)[出去嗎？

編輯課件需要高度概括在如此多的變量之中，有很多是相關(guān)的。人們希望能夠找出它們的少數(shù)“代表〞來(lái)對(duì)它們進(jìn)行描述。需要把這種有很多變量的數(shù)據(jù)進(jìn)行高度概括。編輯課件本章介紹兩種把變量維數(shù)降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析〔principalcomponentanalysis〕和因子分析〔factoranalysis〕。實(shí)際上主成分分析可以說(shuō)是因子分析的一個(gè)特例。在引進(jìn)主成分分析之前，先看下面的例子。主成分分析編輯課件成績(jī)數(shù)據(jù)〔student.txt〕100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語(yǔ)文、歷史、英語(yǔ)的成績(jī)?nèi)缦卤怼簿植俊场＞庉嬚n件從本例可能提出的問(wèn)題目前的問(wèn)題是，能否把這個(gè)數(shù)據(jù)的6個(gè)變量用一兩個(gè)綜合變量來(lái)表示呢？這一兩個(gè)綜合變量包含有多少原來(lái)的信息呢？能否利用找到的綜合變量來(lái)對(duì)學(xué)生排序或據(jù)此進(jìn)行其他分析呢？編輯課件空間的點(diǎn)例中數(shù)據(jù)點(diǎn)是六維的；即每個(gè)觀測(cè)值是6維空間中的一個(gè)點(diǎn)。希望把6維空間用低維空間表示。先假定只有二維，即只有兩個(gè)變量，由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所代表；每個(gè)觀測(cè)值都有相應(yīng)于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩個(gè)坐標(biāo)值；編輯課件空間的點(diǎn)如果這些數(shù)據(jù)形成一個(gè)橢圓形狀的點(diǎn)陣〔這在二維正態(tài)的假定下是可能的〕該橢圓有一個(gè)長(zhǎng)軸和一個(gè)短軸。在短軸方向上數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況，短軸如退化成一點(diǎn)，長(zhǎng)軸的方向可以完全解釋這些點(diǎn)的變化，由二維到一維的降維就自然完成了。編輯課件編輯課件橢圓的長(zhǎng)短軸當(dāng)坐標(biāo)軸和橢圓的長(zhǎng)短軸平行，那么代表長(zhǎng)軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的主要變化，而代表短軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的次要變化。但是，坐標(biāo)軸通常并不和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。因此，需要尋找橢圓的長(zhǎng)短軸，并進(jìn)行變換，使得新變量和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。編輯課件如果長(zhǎng)軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大局部信息，就用該變量代替原先的兩個(gè)變量〔舍去次要的一維〕，降維就完成了。橢圓的長(zhǎng)短軸相差得越大，降維也越有道理。編輯課件編輯課件主軸和主成分多維變量的情況和二維類(lèi)似，也有高維的橢球，只不過(guò)不那么直觀罷了。首先把高維橢球的主軸找出來(lái)，再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長(zhǎng)的幾個(gè)軸作為新變量；這樣，主成分分析就根本完成了。編輯課件正如二維橢圓有兩個(gè)主軸，三維橢球有三個(gè)主軸一樣，有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主軸。和二維情況類(lèi)似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線(xiàn)性組合，叫做主成分(principalcomponent)。

編輯課件主成分之選取選擇越少的主成分，降維就越好。什么是標(biāo)準(zhǔn)呢？那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長(zhǎng)度之和占了主軸長(zhǎng)度總和的大局部。有些文獻(xiàn)建議，所選的主軸總長(zhǎng)度占所有主軸長(zhǎng)度之和的大約85%即可，其實(shí)，這只是一個(gè)大體的說(shuō)法；具體選幾個(gè)，要看實(shí)際情況而定。編輯課件主成分分析的數(shù)學(xué)要尋找方差最大的方向。即，使向量X的線(xiàn)性組合a’X的方差最大的方向a.而Var(a’X)=a’Cov(X)a;由于Cov(X)未知；于是用X的樣本相關(guān)陣R來(lái)近似.要尋找向量a使得a’Ra最大(注意相關(guān)陣和協(xié)方差陣差一個(gè)常數(shù)〕這涉及相關(guān)陣和特征值?；貞涍x擇幾個(gè)主成分呢?要看“奉獻(xiàn)率.〞編輯課件對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，SPSS輸出為這里的InitialEigenvalues就是這里的六個(gè)主軸長(zhǎng)度，又稱(chēng)特征值〔數(shù)據(jù)相關(guān)陣的特征值〕。頭兩個(gè)成分特征值累積占了總方差的81.142%。后面的特征值的奉獻(xiàn)越來(lái)越少。編輯課件特征值的奉獻(xiàn)還可以從SPSS的〞碎石〞圖看出編輯課件怎么解釋這兩個(gè)主成分。主成分是原始六個(gè)變量的線(xiàn)性組合。這由下表給出。

這里每一列代表一個(gè)主成分作為原來(lái)變量線(xiàn)性組合的系數(shù)〔比例〕。比方第一主成分為數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語(yǔ)文、歷史、英語(yǔ)這六個(gè)變量的線(xiàn)性組合，系數(shù)〔比例〕為-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。編輯課件如用x1,x2,x3,x4,x5,x6分別表示原先的六個(gè)變量，而用y1,y2,y3,y4,y5,y6表示新的主成分，那么，第一和第二主成分為這些系數(shù)稱(chēng)為主成分載荷〔loading〕，它表示主成分和相應(yīng)的原先變量的相關(guān)系數(shù)。編輯課件比方y(tǒng)1表示式中x1的系數(shù)為-0.806，這就是說(shuō)第一主成分和數(shù)學(xué)變量的相關(guān)系數(shù)為-0.806。相關(guān)系數(shù)(絕對(duì)值〕越大，主成分對(duì)該變量的代表性也越大?？梢钥吹贸?，第一主成分對(duì)各個(gè)變量解釋得都很充分。而最后的幾個(gè)主成分和原先的變量就不那么相關(guān)了。編輯課件可以把第一和第二主成分的載荷點(diǎn)出一個(gè)二維圖以直觀地顯示它們?nèi)绾谓忉屧瓉?lái)的變量的。這個(gè)圖叫做載荷圖。編輯課件該圖左面三個(gè)點(diǎn)是數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科，右邊三個(gè)點(diǎn)是語(yǔ)文、歷史、外語(yǔ)三科。圖中的六個(gè)點(diǎn)由于比較擠，不易分清，但只要認(rèn)識(shí)到這些點(diǎn)的坐標(biāo)是前面的第一二主成分載荷，坐標(biāo)是前面表中第一二列中的數(shù)目，還是可以識(shí)別的。編輯課件因子分析主成分分析從原理上是尋找橢球的所有主軸。原先有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。而因子分析是事先確定要找?guī)讉€(gè)成分，這里叫因子〔factor〕〔比方兩個(gè)〕，那就找兩個(gè)。這使得在數(shù)學(xué)模型上，因子分析和主成分分析有不少區(qū)別。而且因子分析的計(jì)算也復(fù)雜得多。根據(jù)因子分析模型的特點(diǎn)，它還多一道工序：因子旋轉(zhuǎn)〔factorrotation〕；這個(gè)步驟可以使結(jié)果更好。編輯課件對(duì)于計(jì)算機(jī)，因子分析并不費(fèi)事。從輸出的結(jié)果來(lái)看，因子分析也有因子載荷〔factorloading〕的概念，代表了因子和原先變量的相關(guān)系數(shù)。但是在因子分析公式中的因子載荷位置和主成分分析不同。因子分析也給出了二維圖；其解釋和主成分分析的載荷圖類(lèi)似。編輯課件主成分分析與因子分析的公式上的區(qū)別主成分分析因子分析(m<p)因子得分編輯課件因子分析的數(shù)學(xué)因子分析需要許多假定才能夠解.具體公式.編輯課件對(duì)于我們的數(shù)據(jù)，SPSS因子分析輸出為編輯課件這個(gè)表說(shuō)明六個(gè)變量和因子的關(guān)系。為簡(jiǎn)單記，我們用x1,x2,x3,x4,x5,x6來(lái)表示math〔數(shù)學(xué)〕，phys〔物理〕，chem〔化學(xué)〕，literat〔語(yǔ)文〕，history〔歷史〕，english〔英語(yǔ)〕等變量。這樣因子f1和f2與這些原變量之間的關(guān)系是〔注意，和主成分分析不同，這里把成分〔因子〕寫(xiě)在方程的右邊，把原變量寫(xiě)在左邊；但相應(yīng)的系數(shù)還是主成分和各個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，也稱(chēng)為因子載荷〕：編輯課件編輯課件這里，第一個(gè)因子主要和語(yǔ)文、歷史、英語(yǔ)三科有很強(qiáng)的正相關(guān)；而第二個(gè)因子主要和數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科有很強(qiáng)的正相關(guān)。因此可以給第一個(gè)因子起名為“文科因子〞，而給第二個(gè)因子起名為“理科因子〞。從這個(gè)例子可以看出，因子分析的結(jié)果比主成分分析解釋性更強(qiáng)。編輯課件這些系數(shù)所形成的散點(diǎn)圖〔在SPSS中也稱(chēng)載荷圖〕為可以直觀看出每個(gè)因子代表了一類(lèi)學(xué)科編輯課件計(jì)算因子得分可以根據(jù)輸出算出每個(gè)學(xué)生的第一個(gè)因子和第二個(gè)因子的大小，即算出每個(gè)學(xué)生的因子得分f1和f2。編輯課件該輸出說(shuō)明第一和第二主因子為〔習(xí)慣上用字母f來(lái)表示因子〕可以按照如下公式計(jì)算，該函數(shù)稱(chēng)為因子得分〔factorscore〕。人們可以根據(jù)這兩套因子得分對(duì)學(xué)生分別按照文科和理科排序。當(dāng)然得到因子得分只是SPSS軟件的一個(gè)選項(xiàng)。編輯課件因子分析和主成分分析的一些本卷須知

可以看出，因子分析和主成分分析都依賴(lài)于原始變量，也只能反映原始變量的信息。所以原始變量的選擇很重要。另外，如果原始變量都本質(zhì)上獨(dú)立，那么降維就可能失敗，這是因?yàn)楹茈y把很多獨(dú)立變量用少數(shù)綜合的變量概括。數(shù)據(jù)越相關(guān)，降維效果就越好。編輯課件在得到分析的結(jié)果時(shí)，并不一定會(huì)都得到如我們例子那樣清楚的結(jié)果。這與問(wèn)題的性質(zhì)，選取的原始變量以及數(shù)據(jù)的質(zhì)量等都有關(guān)系在用因子得分進(jìn)行排序時(shí)要特別小心，特別是對(duì)于敏感問(wèn)題。由于原始變量不同，因子的選取不同，排序可以很不一樣。編輯課件附錄編輯課件的p×p矩陣.而對(duì)于觀測(cè)值X=(x1,…,xp),其中xi=(x1i,…,xni),i=1,…,p,的樣本相關(guān)陣第(ij)-元素為X=(X1,…,Xp)的相關(guān)陣為第(ij)-元素為的p×p矩陣,其中sij為第i和第j觀測(cè)的樣本相關(guān)系數(shù)編輯課件關(guān)于特征值和特征向量特征方程|R-lI|=0的解為特征值l,這里B為一個(gè)p維正定方陣.l通常有p個(gè)根l1≥l2≥…≥lp.滿(mǎn)足(R-liI)xi=0的向量xi為li的特征向量.對(duì)任意向量a有性質(zhì)編輯課件頭m個(gè)主成分的累積奉獻(xiàn)率:這里R為X的樣本相關(guān)陣,第i個(gè)特征值li=ai’Rai=V(ai’x);ai為第i個(gè)特征向量.Cov(ai’x,aj’x)=0.編輯課件這里aij為第i個(gè)特征向量的第j個(gè)分量;第i個(gè)主成分的載荷平方和為該主成分的方差,等于其特征值li.所選的m個(gè)主成分對(duì)變量xj的總方差奉獻(xiàn)為主成分負(fù)荷(載荷,loading):Yi與Xj的相關(guān)系數(shù):編輯課件編輯課件正交因子模型：X-m=AF+emi=變量i的均值ei=第i個(gè)特殊因子Fi=第i個(gè)公共因子aij=第i個(gè)變量在第j個(gè)因子上的載荷不能觀測(cè)的值滿(mǎn)足以下條件：F和e獨(dú)立E(F)=0,Cov(F)=IE(e)=0,Cov(e)=Y,Y是對(duì)角矩陣編輯課件F為公共因子向量,每個(gè)公共因子(如Fi)是對(duì)模型中每個(gè)變量都起作用的因子;而e為特殊因子向量,每個(gè)特殊因子(如ei)只對(duì)一個(gè)變量(第i個(gè))起作用.編輯課件因子分析的方法在于估計(jì)S=AA’+Y和Y,再分解以得到A.X的協(xié)方差陣S可以分解成這里l1≥l2≥…≥lp為S的特征值;而e1,…,ep為相應(yīng)的特征向量(e1,…,ep為主成分的系數(shù),因此稱(chēng)為主成分法).上面分解總是取和數(shù)的重要的頭幾項(xiàng)來(lái)近似.編輯課件X的協(xié)方差陣S可以近似為(如Y忽略)如Y不忽略,S可以近似為應(yīng)用中,S可以用樣本相關(guān)陣R代替.編輯課件正交模型X=m+AF+e的協(xié)方差結(jié)構(gòu)

根據(jù)前面模型，可得出下面結(jié)果：上面sii2=Sjaij2+yi2中,Sjaij2稱(chēng)為共性方差(公共方差或變量共同度commonvariance,communalities)，而yi2稱(chēng)為特殊方差.變量共同度刻畫(huà)全部公共因子對(duì)變量Xi的總方差所做的奉獻(xiàn).編輯課件的統(tǒng)計(jì)意義就是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù),表示Xi依賴(lài)Fj的份量,這里eij是相應(yīng)于特征值li的特征向量ei的第j個(gè)分量.因子載荷陣中各列元素的平方和Sj=Siaij2稱(chēng)為公共因子Fj對(duì)X諸變量的方差奉獻(xiàn)之總和因子載荷編輯課件除主成分法外還有最大似然法來(lái)估計(jì)A,m和Y(在多元正態(tài)分布的假定下).當(dāng)然,還有其他方法(有些互相類(lèi)似).編輯課件令T為任意m正交方陣(TT’=T’T=I),那么X-m=AF+e=ATT’F+e=A*F*+e,這里A*=AT,F*=T’F.因此S=AA’+Y=ATT’A’+Y=(A*)(A*)’+Y因此,因子載荷A只由一個(gè)正交陣T決定.載荷A*=AT與A都給出同一個(gè)表示.由AA’=(A*)(A*)’對(duì)角元給出的共性方差,也不因T的選擇而改變.編輯課件正交變換T相當(dāng)于剛體旋轉(zhuǎn)(或反射),因子載荷A的正交變換AT稱(chēng)為因子旋轉(zhuǎn)

估計(jì)的協(xié)方差陣或相關(guān)陣,殘差陣,特殊方差及共性方差都不隨旋轉(zhuǎn)而變.

這里“殘差陣〞為協(xié)方差陣或相關(guān)陣與估計(jì)的AA’+Y之差.編輯課件因子旋轉(zhuǎn)的一個(gè)準(zhǔn)那么為最大方差準(zhǔn)那么.它使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷的總方差到達(dá)最大.如即要選變換T使下式最大(計(jì)算機(jī)循環(huán)算法)編輯課件