2024屆高三12月大聯(lián)考（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前2024屆高三12月大聯(lián)考（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.3.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值是（）A.1B.2C.3D.6

4.已知為第二象限角，且終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（）A.B.C.D.5.已知是拋物線上一點(diǎn)，它在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則拋物線的準(zhǔn)線的方程為（）A.B.C.D.6.某班舉辦趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)，規(guī)則是：某同學(xué)從分別寫有1至9這9個(gè)整數(shù)的9張卡片中隨機(jī)抽取兩張，將卡片上較大的數(shù)作為十位數(shù)字，較小的數(shù)作為個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).若這個(gè)兩位數(shù)與將它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后得到的兩位數(shù)的差為45，就視為該同學(xué)獲獎(jiǎng).若該班同學(xué)A參加這項(xiàng)活動(dòng)，則他獲獎(jiǎng)的概率為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且2，則（）A.B.C.D.8.某校為慶祝建校60周年，有獎(jiǎng)?wù)骷瑢W(xué)們?cè)O(shè)計(jì)的文創(chuàng)作品.王同學(xué)設(shè)計(jì)的一款文創(chuàng)水杯獲獎(jiǎng)，其上部分是圓臺(tái)（多功能蓋），下部分是正六棱臺(tái)（水杯），圓臺(tái)與棱臺(tái)的高之比為0.382：0.618，寓意建校60周年，學(xué)校發(fā)展步入黃金期.這款水杯下部分的三視圖如圖所示，則這款水杯下部分的容（體）積約為（）A.B.C.D.9.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（）A.B.C.D.10.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且的面積為，則的最小值為（）A.2B.C.4D.11.已知雙曲線，過點(diǎn)的兩條直線分別與雙曲線的上支?下支相切于點(diǎn).若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.12.已知，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量.若，則實(shí)數(shù)的值為__________.14.在三棱錐中，平面，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積等于__________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________.16.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，都有.當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個(gè)零點(diǎn).三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）某社區(qū)為了解居民生活垃圾分類的投放情況，對(duì)本社區(qū)10000戶居民進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分：100分），并從這10000份居民的調(diào)查問卷中，隨機(jī)抽取100份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)該社區(qū)10000份調(diào)查問卷得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）和這10000戶居民中調(diào)查問卷得分不低于85分的居民戶數(shù)；（2）該社區(qū)從調(diào)查問卷得分為滿分的居民中隨機(jī)挑選了6戶，其中兩戶為，并將這6戶居民隨機(jī)分配到社區(qū)兩個(gè)宣傳點(diǎn)，每個(gè)宣傳點(diǎn)3戶，且每戶居民只能去一個(gè)宣傳點(diǎn)，幫助社區(qū)工作人員開展宣傳活動(dòng)，求兩戶居民分在不同宣傳點(diǎn)的概率.18.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.19.（12分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.（12分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足軸，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使過定點(diǎn)的任一條直線均與橢圓交于（異于兩點(diǎn)）兩點(diǎn)，且使得直線的斜率為直線的斜率的2倍？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024屆高三12月大聯(lián)考（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)·全解全析及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.123456789101112AACDBDBADBDB1.A【解析】因?yàn)槿?，所?又，所以.故選A.2.A【解析】設(shè)，則，所以，解得，所以，故選A.3.C【解析】作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示.，即.當(dāng)直線自左上向右下平移時(shí)，逐漸減小，逐漸增大，所以當(dāng)直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選.4.D【解析】由題意，得，所以，故選D.5.B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，得，即①.又②，聯(lián)立①②，解得.由，得，所以拋物線的準(zhǔn)線的方程為，故選.6.D【解析】設(shè)同學(xué)隨機(jī)抽取得到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為.依題意，若，則，有1種情況；若，則，有2種情況若，則，有8種情況，共計(jì)有種情況，其中滿足獲獎(jiǎng)的情況是，即，也即獲獎(jiǎng)情況只有，這4種情況，所以該班同學(xué)參加這項(xiàng)活動(dòng)獲獎(jiǎng)的概率為.故選D.7.B【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以的最小正周期，所以，所以.又，所以，故選B.8.A【解析】由三視圖，知這款水杯的下部分是上底邊長(zhǎng)為4，下底邊長(zhǎng)為3，高為6的正六棱臺(tái)，，所以這款水杯下部分的容（體）積約為.故選A.9.D【解析】令，則或，解得或或.令，則或，解得或.畫出函數(shù)圖象的草圖（如圖），得滿足的的取值范圍為.故選D.

10.B【解析】由正弦定理和，得.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?又的面積為，即，所以.由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選B.11.D【解析】如圖，設(shè)過點(diǎn)的直線，聯(lián)立，整理，得，依題意，得，所以.由雙曲線的對(duì)稱性，得，所以，整理，得雙曲線的離心率.故選D.

12.B【解析】方法一：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，所以.綜上，得，故選.方法二：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.又.綜上，得，故選B.

二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】因?yàn)椋?又，所以，解得.故填.14.【解析】如圖，由已知，得的面積為，三棱錐在底面上的高為，等腰三角形底邊上的高為2，所以三棱錐的表面積，體積.又三棱錐的體積（其中為三棱錐內(nèi)切球的半徑），所以，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為.故填.15.【解析】方法一：當(dāng)時(shí)，，解得.又，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.又，所以，解得，所以數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故填.方法二：恒成立，當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，且，解得.當(dāng)時(shí)，①，又②，①-②，得③，所以④.④-③，得.因?yàn)?，所以，?又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為-2，公差為-5的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故填.16.6【解析】如圖，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且.又，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，所以，所以4是函數(shù)的一個(gè)周期，所以.易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間上.由對(duì)稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)且是4是它的一個(gè)周期，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).結(jié)合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個(gè)零點(diǎn).故填6.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）【解析】（1）由頻率分布直方圖，得樣本平均數(shù)為，所以估計(jì)該社區(qū)10000份調(diào)查問卷得分的平均數(shù)為79.4.因?yàn)檫@10000戶居民中調(diào)查問卷得分不低于85分的頻率為，所以估計(jì)該社區(qū)這10000戶居民中調(diào)查問卷得分不低于85分的居民戶數(shù)為.（2）將6戶居民分別記為，依題意，6戶居民被隨機(jī)分到兩個(gè)宣傳點(diǎn)的所有情況有，，，，共20種，其中兩戶居民分在不同宣傳點(diǎn)的情況有，，共12種，所以兩戶居民分在不同宣傳點(diǎn)的概率.另解：若采用排列組合解答酌情給分：6戶居民均分到兩個(gè)宣傳點(diǎn)共有種情況，其中兩戶居民分在相同宣傳點(diǎn)有種情況，所以兩戶居民分在不同宣傳點(diǎn)的概率.18.（12分）【解析】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦危?又平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面，所以.因?yàn)樵谥校瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.又平面平面，所以平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且.又為的中點(diǎn)，底面為矩形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.（3）如圖，因?yàn)?，平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為等邊三角形的高，所以點(diǎn)到平面的距離為.又為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為.又，所以，即三棱錐的體積為.19.（12分）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，得，解得.因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以，，兩式相減，得所以.20.（12分）【解析】（1）因?yàn)檩S，所以，解得所以.根據(jù)橢圓的定義，得，解得.又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn).依題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理，得，由，得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得.由，得，所以，即，所以，所以，所以，②-①，得，當(dāng)時(shí)，解得，所以.又，所以.因?yàn)樯鲜皆谧兓瘯r(shí)恒成立，所以.又，所以.此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意，舍去；所以，即，此時(shí)點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，滿足直線均與橢圓交于兩點(diǎn)，所以存在定點(diǎn)滿足題意，.21.（12分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則.令，則在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，即有最小值，沒有最大值.（2）因?yàn)椋渲?，所?令，則.因?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，其中，則.令，解得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，，即，也即，所以在上單調(diào)遞增，所以沒有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，.又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上沒有零點(diǎn)，且.又在上單調(diào)遞減，所以在內(nèi)存在唯一，使，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以為的一個(gè)極大值點(diǎn).又在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以1為的一個(gè)極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn).綜合①②，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選