平面的基本性質(zhì)

課題：9?1平面的基本性質(zhì)（一）講解新課：平面的兩個(gè)特征：①無(wú)限延展②平的（沒(méi)有厚度）平面是沒(méi)有厚薄的，可以無(wú)限延伸，這是平面最基本的屬性.一個(gè)平面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分?平面的畫法：通常畫平行四邊形來(lái)表示平面（1） 一個(gè)平面：水平放置和直立;當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫成45,橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)，如圖1（1）.⑵直線與平面相交，如圖1（2）、（3），：(3)兩個(gè)相交平面:(3)兩個(gè)相交平面:畫兩個(gè)相交平面時(shí)，若一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如圖2）-畫成虛線或不畫（如圖2）-平面的畫法及其表示方法：在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面?當(dāng)平面水平放置時(shí)，通常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的兩倍,畫兩個(gè)平面相交時(shí)，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫.一般用一個(gè)希臘字母a、&、y……來(lái)表示，還可用平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來(lái)表示如平面a，平面AC等.4:空間圖形是由點(diǎn)、線、面組成的言空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面?從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示?規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示?點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示:圖形符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言（讀法）^_aAea點(diǎn)A在直線a上*?A aA冬a點(diǎn)A不在直線a上

zO^ZZAga點(diǎn)A在平面以內(nèi).羿./Aaa點(diǎn)A不在平面以內(nèi)，4baPb=A直線a、b交于A點(diǎn). aaua直線a在平面a內(nèi)，君fa/ a臣 /aPa=0直線a與平面以無(wú)公共點(diǎn)*^oAazaPa=A直線a與平面a父于點(diǎn)A+€^7aP。=l平面以、。相交于直線l.集合中“E”的符號(hào)只能用于點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的關(guān)系，“u”和“”的符號(hào)只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號(hào)，但在讀法上仍用幾何語(yǔ)言+a二a（平面a外的直線a）表示a二a（平面a外的直線a）表示aPla=0或aPa=A?三、講解范例：例1將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言：（1） Aga，Be。，Agl，Bgl；（2） aua，bu。，a//c，bPc=p，aP。=cx解：說(shuō)明：畫圖的順序：先畫大件（平面），再畫小件（點(diǎn)、線）?例2將下列文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言：（1）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，但不在平面。內(nèi)；（2）直線a經(jīng)過(guò)平面a外一點(diǎn)M；（3）直線l在平面a內(nèi)，又在平面。內(nèi).（即平面a和。相交于直線l.）

解：(1解：(1)Aea,AWp;mea，MWa；lea,lep.(即ap=l)例3在平面a內(nèi)有A,O,B三點(diǎn)，在平面p內(nèi)有B,O,C三點(diǎn)，試畫出它們的圖形,答案：右圖四、課堂練習(xí)：判斷下列命題的真假，真的打“J”，假的打“X”可畫一個(gè)平面，使它的長(zhǎng)為4cm,寬為2cm. ()一條直線把它所在的平面分成兩部分，一個(gè)平面把空間分成兩部分.()一個(gè)平面的面積為20cm2. ()經(jīng)過(guò)面內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線，若直線上各點(diǎn)都在這個(gè)面內(nèi)，那么這個(gè)面是平面.()答案：(1)X(2)J(3)X(4)J觀察(1)、(2)、(3)三個(gè)圖形，模型說(shuō)明它們的位置關(guān)系有什么不同，并用字母表示各個(gè)平面.請(qǐng)將以下四圖中，看得見(jiàn)的部分用實(shí)線描出.⑴觀察(1)、(2)、(3)三個(gè)圖形，模型說(shuō)明它們的位置關(guān)系有什么不同，并用字母表示各個(gè)平面.請(qǐng)將以下四圖中，看得見(jiàn)的部分用實(shí)線描出.⑴⑷(2) (3)如圖所示，用符號(hào)表示以下各概念：點(diǎn)A、B在直線a上；直線a在平面a內(nèi)；點(diǎn)C在平面a內(nèi)；點(diǎn)O不在平面a內(nèi) ；直線b不在平面a內(nèi) .答案：①Aea,Bea②aua,Cea③OWa,b^a①一條直線與一個(gè)平面會(huì)有幾種位置關(guān)系如圖所示，兩個(gè)平面a、p，若相交于一點(diǎn)，則會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象.幾位同學(xué)的一次野炊活動(dòng)，帶去一張折疊方桌，不小心弄壞了桌腳，有一生提議可將幾根一樣長(zhǎng)的木棍，在等高處用繩捆扎一下作桌腳(如圖所示)，問(wèn)至少要幾根木棍，才可能使桌面穩(wěn)定？答案：①3種②相交于經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線③至少3根課后作業(yè)：-試用集合符號(hào)表示下列各語(yǔ)句，并畫出圖形：(1)點(diǎn)A在平面a內(nèi)，但不在平面p內(nèi)；直線a經(jīng)過(guò)不屬于平面a的點(diǎn)A，且a不在平面a內(nèi);平面a與平面p相交于直線l，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；直線l經(jīng)過(guò)平面a外一點(diǎn)P，且與平面a相交于點(diǎn)M

課題：9?1平面的基本性質(zhì)（二）講解新課：1平面的基本性質(zhì)立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個(gè)公理體系.人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察和實(shí)踐，把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理.ABa~7也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦ABa~7也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦auanAea.Aea推理模式："。以］^ABua.如圖示：BeaJ或者：Aea,Bea,AABua應(yīng)用：這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，工用直的木條刮平地面上的水泥漿.①判定直線在平面內(nèi)；②判定點(diǎn)在平面內(nèi),模式：公理1說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過(guò)直線的“直”來(lái)刻劃平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線?推理模式：Aea]nAel=ap|P?如圖示:AePJ或者：Aea,AeP，AaQP=l,Ael應(yīng)用：①確定兩相交平面的交線位置；②判定點(diǎn)在直線上?公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法.指出:今后所說(shuō)的兩個(gè)平面（或兩條直線），如無(wú)特殊說(shuō)明，均指不同的平面（直線）.公理3經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，A,B,C不共線'推理模式：A,B,Cea |na與p重合，A,B,CeP或者：?A,B,C不共線，...存在唯一的平面a，使得A,B,Cea.應(yīng)用：①確定平面；②證明兩個(gè)平面重合,“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說(shuō)明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來(lái)論證.

實(shí)例：（1）門:兩個(gè)合頁(yè)，一把鎖；（2）攝像機(jī)的三角支架；（3）自行車的撐腳.公理3及其下一節(jié)要學(xué)習(xí)的三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問(wèn)題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法.2■平面圖形與空間圖形的概念如果一個(gè)圖形的所有點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這個(gè)圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"三、講解范例： : C例1求證:三角形是平面圖形? .■■■■A P已知：三角形ABC a ■B/求證：三角形ABC是平面圖形 '證明：.??三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C不共線?.?由公理3知，存在平面a使得A、B、Cea再由公理1知，AB、BC、CAua?.?三角形ABC上的每一個(gè)點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)?.?三角形ABC是平面圖形例2點(diǎn)A冬平面BCD，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn)，若EH與FG交于P-（這樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形求證：P在直線BD上.證明：.??EHnFG=P，?PeEH，PeFG，,:E,H分別屬于直線AB,AD，?.?EHu平面ABD，..?Pe平面ABD，同理：Pe平面CBD，又..?平面ABDA平面CBD=BD，所以，P在直線BD上-四、課堂練習(xí)：1下面是一些命題的敘述語(yǔ)（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，a、8表示平面）A.VAea,Bea，?ABea.B.Vaea,ae。，?aQP=a.C.VAea,aua，?Aea.D.VAaa,aua，?Aaa.其中命題和敘述方法都正確的是（）下列推斷中，錯(cuò)誤的是（）A.Ael,Aea,Bel,Beanlua,B.Aea,Ae。,Bea,BePnaQ。=AB*l二a,AelnAaa、A,B,Cea,A,B,Ce。，且A、B、C不共線na,。重合，

一個(gè)平面把空間分成—部分，兩個(gè)平面把空間最多分成―部分，三個(gè)平面把空間最多分成部分.判斷下列命題的真假，真的打“J”，假的打“X”TOC\o"1-5"\h\z（1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （）（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面 （）（3）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面 （）（4）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （）（5）三條平行直線可以確定三個(gè)平面 （）（6）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面 （）（7）兩個(gè)平面若有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合 （）（8）若四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線 （）(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案::ACnBD= 平面AB1n平面AR=平面ACCAn平面AC=11平面ACCAn平面DBBD=TOC\o"1-5"\h\z11 11平面ACn平面ABn平面BC=11 1 1ABnBBnBC=11 1 11C2.C3.2,4,84.(1)X⑵X⑶J⑷X⑸X⑹X⑺X⑻J5?⑴0⑵AiBi⑶。⑷。。1⑸Bi⑹Bi五、小結(jié)：本課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，三條公理中公理1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3是確定平面的依據(jù).“確定一個(gè)平面”與“有且只有一個(gè)平面”是同義詞.“有”即“存在”，“只有一個(gè)”即“唯一”.所以證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的命題時(shí)，要證兩方面一一存在性和唯一性.證明的方法是反證法和同一法?課題：9?1平面的基本性質(zhì)（三）講解新課：推論1經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.已知：直線l，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn).求證：過(guò)點(diǎn)A和直線l有且只有一個(gè)平面- p證明（存在性）：在直線i上任取兩點(diǎn)b、c，A引，.??A,B,C不共線.由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,C可確定一個(gè)平面a，??點(diǎn)B,C在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1，.lua，即平面a是經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)A的平面.（唯一性）：?B,Cel，lua，Aea，.?.點(diǎn)A,B,Cea，由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,C的平面只有一個(gè)，

所以，經(jīng)過(guò)l和點(diǎn)A的平面只有一個(gè).推理模式：A史an存在唯一的平面a，使得Aea，lua+推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面?已知：直線aDb=P.求證：過(guò)直線a和直線b有且只有一個(gè)平面?證明（存在性）：在直線a上任取兩點(diǎn)A，直線b上B，,/anb=P，..?A,B,P不共線.由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,P可確定一個(gè)平面a，..?點(diǎn)A,B,P在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1，.a,bua，即平面a是經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面.（唯一性）：?.?aAb=P，Aea,Beb，a,bua，由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,P的平面只有一個(gè)，所以，經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面只有一個(gè)'推理模式：anb=Pn存在唯一的平面a，使得a,bua、推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面-已知：直線a//b.求證：過(guò)直線a和直線b有且只有一個(gè)平面.證明（存在性）：?/a//b...由平行線的定義，直線a和直線b在同一個(gè)平面a內(nèi)，即平面a是經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面.（唯一性）：取A,Cea，Beb，,?*a,bua,a//b.??點(diǎn)A,B,C不共線且A,B,Cea，由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,C的平面只有一個(gè)，所以，經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面只有一個(gè)，推理模式：a//bn存在唯一的平面a，使得a,bua,三、講解范例：例1兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)已知：直線AB,BC,CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為A,B,C、求證：直線AB,BC,CA共面，

證法一：..?直線ABnAC=A,..?直線AB和AC可確定平面a,,/BeAB，CeAC,...Bea,Cea,...BCua，即AB,BC,CAua即直線AB,BC,CA共面+證法二：因?yàn)锳w直線BC上，所以過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面a.（推論1）因?yàn)锳ea,BEBC，所以Bea.故AB仁a,同理ACua,所以AB,AC,BC共面.證法三：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過(guò)A,B,C三點(diǎn)可以確定平面a.因?yàn)锳ea,Bea，所以AB仁a.同理BCUa,AC仁a，所以AB,BC,CA三直線共面.問(wèn)題：在這題中“且不過(guò)同一點(diǎn)”這幾個(gè)字能不能省略，為什么？AC1與A1A例2在正方體ABCD-ABCD中，①AC1與A1A1111 1 1平面內(nèi)？②點(diǎn)B,C,D是否在同一平面內(nèi)？③畫出平面1平面BC1D的交線，平面ACD1與平面BDC】的交線.解：①在正方體ABCD-ABCD中，1111?/AA//CC,.由推論3可知，AA與CC可確定平面AC,11 1 1 1AA1與CC1在同一平面內(nèi)*..?點(diǎn)B,C1?D不共線，由公理3可知，點(diǎn)B,C1?D可確定平面BC】D,「?點(diǎn)B,C1?D在同一平面內(nèi)?ACABD=O,DCADC=E,.?.點(diǎn)Oe平面AC,Oe平面BCD,又Ce平面AC,Ce平面BCD，.平面ACA平面BCD=OC,1111111同理平面ACD.n平面BDC.=OE.例3若aAP=l，A,Bea,ce&，試畫出平面ABC與平面a,P的交線,解：（1）若ABl=D時(shí)，如圖（1）；（2）若AB//l時(shí)，如圖（2）.

四、課堂練習(xí)：選