第十五章-分式專題復習(學生版)

第十五章分式專題復習（學生版）一．知識網絡結構二．知識要點剖析知識點一.分式的概念：表示成EQ\F(A,B)的形式(A、B為整式,且除式B中含有________)．知識點二.分式意義的條件限制(1)若分式EQ\F(A,B)有意義,則B__0；(2)若分式EQ\F(A,B)無意義,則B__0；(3)若分式EQ\F(A,B)=0,則A__0且B__0；A>A>0A<0________(4)分式EQ\F(A,B)為正數(shù),則或________A<0A>0A<0A>0________(5)分式EQ\F(A,B)為負數(shù),則或________(6)分式EQ\F(A,B)為-1,則解方程____________.知識點三.分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個_______的整式，分式的值_________。即:==（m≠0），知識點四.約分與通分1．約分：把一個分式的分子和分母的________約去，這種變形稱為分式的約分．法則：==__________；知識點五.分式的運算：1.分式的運算法則：（1）加減法法則：1）同分母的分式相加減，分母_____，把分子_______；（2）異分母的分式相加減，先____，化為______的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算．即:；(2)乘除法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的_____，把分母相乘的積作為積的_____；兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘．即：；(3)乘方法則：((n為正整數(shù))；(4)開方法則：(a)（5）零指數(shù)：=_____（）；負整數(shù)指數(shù)：=（，p為正整數(shù)）2.分式的混合運算順序：先算______，再算_____，最后算______，有括號先算括號里面的．注意：通分的關鍵是確定_______，最簡公分母應為各分母系救的最小公倍數(shù)與所有相同因式的最高次冪的積；易把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．（2）進行分式運算時，要掌握通分、約分的方法，靈活運用分式注意分子、分母是多項式時，要_____________和注意的變換，同時掌握運算順序，結果要化為_____分式或______。知識點六.分式的化簡與求值分式化簡：對于化簡求值的題型要注意解題格式，要先化簡，再代人字母的值求值．分式化簡的技巧：(1)代入法（整體代入法）；(2)設比例系數(shù)法；(3)倒數(shù)法；因式分解法；(4)配方法；(5)拆項法；知識點七.分式方程（1）定義：分母中含有_________的方程叫做分式方程。（2）分式方程的解法：去分母法，方程兩邊都乘以___________。特殊方法：換元法。（3）檢驗方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入_________，使最簡公分母_____的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的________，必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗。三.考點典型例析考點1.分式的概念1.在代數(shù)式中，分式共有()．A.2個B.3個C.4個D.5個2.已知分式滿足條件“只含有字母x，且當x=1時無意義”，請寫出一個這樣的分式：_______．3..當x=_____時,式子不是分式.4.下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C．D．考點2.分式意義的條件限制1.（1）（2013南京）使式子1EQ\F(1,x1)有意義的x的取值范圍是。（2）使分式有意義的x的值為（）x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．x≠1或x≠22.（2011杭州）已知分式，當x＝2時，分式無意義，則a＝，當a<6時，使分式無意義的x的值共有個.3.（1）若分式的值為零，那么x的值為（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0（2）分式的值為零，則x的值為（）A.3B.﹣3C.±3D.任意實數(shù)4.若分式的值為正，則實數(shù)的取值范圍是____________.5.若分式的值為負數(shù)，則x為________.6.當分式的值為正整數(shù)時，整數(shù)的取值可能有（）A．個B．個C．個D．個7.(1)若x=1時,分式=0，則a，b應滿足________.(2)當x=1時,分式的值為0；當x=3時,分式無意義，則a+b的值為_______.8.當x_____時,若=-.9.若分式eq\f(1,x2－2x＋m)無論x取何值都有意義，則m的取值范圍是____．考點3.分式的基本性質1.如果把中的和都擴大5倍，那么分式的值（）A．擴大5倍B．不變C．縮小5倍D．擴大4倍2.如果把分式中的m和n都擴大3倍，那么分式的值()A．不變 B．擴大3倍 C．縮小3倍 D．擴大9倍3.下列各式中，正確的是（）A．B．C．eq\f(0.5a＋b,0.2a－0.3b)＝eq\f(5a＋10b,2a－3b)D．4.（2018北京）下列各式從左到右的變形正確的是（）A．=－1 B．= C．=D．=5.分式變形中的整式A=，變形的依據是．6.①②?？键c4.整數(shù)指數(shù)冪的運算1．計算：2·2＝()A．－eq\f(1,8)B.eq\f(1,8)C．0D．82．(齊齊哈爾中考)某種電子元件的面積大約為0.00000069平方毫米，將0.00000069這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為_________．3.化簡：(2m2n－3)3÷(－mn－2)－2＝_________________(結果只含有正整數(shù)指數(shù)冪)．4.（2011湖北荊州）若等式成立，則的取值范圍是______.考點5.分式的混合運算(或化簡）1.（2017廣州）計算（a2b）3?的結果是（

）A.

a5b5

B.

a4b5

C.

ab5

D.

a5b62.下列各式計算錯誤的是()A.eq\f(－3ab,4x2y)·eq\f(10xy,21b)＝－eq\f(5a,14x)B.eq\f(xy2,2yz)÷eq\f(3x2y,8yz)＝eq\f(4y,3x)C.eq\f(a－b,a)÷(a2－ab)＝eq\f(1,a2)D．(－a)3÷eq\f(a3,b)＝b3.（2017河北）若=____+，則橫線上的數(shù)是（

）A.

﹣1

B.

﹣2

C.

﹣3

D.

任意實數(shù)4.（2015百色）化簡-的結果為（）A．B．C．D．5.如圖，設k＝eq\f(甲圖中陰影部分面積,乙圖中陰影部分面積)(a＞b＞0)，則有()A．k＞2B．1＜k＜2C.eq\f(1,2)＜k＜1D．0＜k＜eq\f(1,2)6.若（+）W=1，則w=（）A.a+2（a-2）B.-a+2（a2）C.a-2（a2）D.-a-2（a-2）7.若分式□運算結果為x，則在“□”中添加的運算符號為（

）A.+

B.﹣

C.+或×

D.﹣或÷8.已知：=，則A=__________，B=_________．9.化簡：（1）(a＋2－eq\f(5,a－2))·eq\f(2a－4,3－a)；（2）eq\f(2－x,x－1)÷(x＋1－eq\f(3,x－1))；（3）(eq\f(1,2－x)＋1)÷eq\f(x－3,x2－4)·eq\f(x,x2＋4x＋4).10.（2018北京西城區(qū)）老師所留的作業(yè)中有這樣一個分式的計算題：，甲、乙兩位同學完成的過程分別如下：乙同學：乙同學：=第一步=第二步=第三步甲同學：=第一步=第二步=第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學的解答都有錯誤．請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正．（1）我選擇________同學的解答過程進行分析．（填“甲”或“乙”）該同學的解答從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是____________________________________________________________________________________________；（2）請重新寫出完成此題的正確解答過程．考點6.分式的化簡與求值1.若x：y=1：3，2y=3z，則的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D． 52.若==,則的值為______________.3.若++=5,++=7,則++=____.4．已知，則代數(shù)式的值為________.5若x+=3，則x2+=_______；若，則.6.若x+=3，則=__________。7.已知x2+y2-6x-8y+25=0，分式的值為_______.8.若x2－12y2＝xy，且xy＞0，則分式的值為______．9.（2017眉山）已知m+n=n﹣m﹣2，則﹣的值等于（

）A.

1

B.

0

C.

﹣1

D.

﹣10.（2011南通）設m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，則的值為()2 B. C. D.311.先化簡，再求值：eq\f(x＋3,x－2)÷(x＋2－eq\f(5,x－2))，其中x＝3＋eq\r(3).12．先化簡，再求值：(1－eq\f(3,x＋2))÷eq\f(x－1,x2＋2x)－eq\f(x,x＋1)，其中x滿足x2－x－1＝0.13．化簡并求值：(eq\f(1,x－y)＋eq\f(1,x＋y))÷eq\f(2x－y,x2－y2)，其中x、y滿足|x－2|＋(2x－y－3)2＝0.14.化簡求值：eq\f(a2－6ab＋9b2,a2－2ab)÷(eq\f(5b2,a－2b)－a－2b)－eq\f(1,a)，其中a，b滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,a－b＝2.))15.化簡：eq\f(2x,x＋1)－eq\f(2x＋4,x2－1)÷eq\f(x＋2,x2－2x＋1)，然后在不等式x≤2的非負整數(shù)解中選擇一個適當?shù)臄?shù)代入求值．16.先化簡，再求值：(eq\f(x,x2＋x)－1)÷eq\f(x2－1,x2＋2x＋1)，其中x的值從不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1＜4))的整數(shù)解中選取．17.從三個代數(shù)式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意選擇兩個代數(shù)式構造成分式，然后進行化簡，并求當a＝6，b＝3時該分式的值．18.化簡式子1－eq\f(x－1,x)÷eq\f(x2－1,x2＋2x)，并求出當x為何值時，該代數(shù)式的值為2.考點7.分式方程1．(東營中考)若分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a無解，則a的值為________．2.（2013威海）若關于x的方程無解，則m=．3.若方程－=1有增根，則它的增根是（

）A.0

B.1

C.﹣1

D.1和﹣14.（2013牡丹江）若關于x的分式方程的解為正數(shù)，則字母a的取值范圍是__________.5.解分式方程：(1)(宿遷中考)eq\f(1,x－2)＝eq\f(1－x,2－x)－3；(2)(聊城中考)eq\f(2＋x,2－x)＋eq\f(16,x2－4)＝－1；考點8.分式方程（或分式）與實際應用1.（分式問題）某飼養(yǎng)場為保障出品的肉豬不含任何激素，打算從源頭——飼料抓起，于是派采購員去外地購買衛(wèi)生飼料(不含激素)．現(xiàn)有甲、乙兩位采購員兩次去同一家飼料公司購買衛(wèi)生飼料，兩次衛(wèi)生飼料的價格有變化，兩位采購員的購貨方式不同，其中，甲每次購買1000kg，乙每次購買800元，設兩次購買的衛(wèi)生飼料的單價分別是x元/kg和y元/kg(x，y是正數(shù)，且x≠y)，那么甲、乙兩人誰的購貨方式更實惠？2.（工程問題）工程問題一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費102000元；如果甲、乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用的時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元．(1)甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？(2)若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？3.（銷售問題）超市用2500元購進某種品牌蘋果進行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調撥6000元資金購進該品牌蘋果，但這次進貨價比上次每千克少0.5元，購進蘋果的數(shù)量是上次的3倍．（1）試銷時該品牌蘋果的進貨價是每千克多少元？（2）如果超市按每千克4元的定價出售，當售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共獲利多少元？4.(行程問題)甲、乙兩同學與學校的距離均為3000米，甲同學先步行600米然后乘公交車去學校，乙同學騎自行車去學校．已知甲步行的速度是乙騎自行車速度的eq\f(1,2)，公交車速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學同時從家出發(fā)去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘．(1)求乙騎自行車的速度．(2)當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠？5.(幾何問題)（2017鎮(zhèn)江）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．點D在AC上，AD=1cm，點P從點A出發(fā)，沿AB勻速運動；點Q從點C出發(fā)，沿C→B→A→C的路徑勻速運動．兩點同時出發(fā)，在B點處首次相遇后，點P的運動速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路徑勻速運動；點Q保持速度不變，并繼續(xù)沿原路徑勻速運動，兩點在D點處再次相遇后停止運動，設點P原來的速度為xcm/s．（1）點Q的速度為________cm/s（用含x的代數(shù)式表示）．（2）求點P原來的速度．

考點9分式的規(guī)律題1.觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：eq\f(1,3)，eq\f(2,8)，eq\f(3,15)，eq\f(4,24)，eq\f(5,35)，eq\f(6,48)，…可知第n個數(shù)應是：__________(n為正整數(shù))．2.已知若（a、b都是整數(shù)），則a+b的最小值是．3.(2018成都)已知，，，，，，…(即當為大于1的奇數(shù)時，;當為大于1的偶數(shù)時，)，按此規(guī)律，.(試用含的代數(shù)式表示)4.若有理數(shù)a．b滿足|a﹣1|+|ab﹣3|=0，試求+++…+的值．5.先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題．eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，….(1)計算：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋eq\f(1,5×6)＝____；(2)探究：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)＝____；(用含n的式子表示)(3)若eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)的值為eq\f(17,35)，求n的值．6.(2018安徽)觀察以下等式:第1個等式:；第2個等式:；第3個等式:；第4個等式:；第5個等式:;……按照以上規(guī)律，解決下面的問題:(1)寫出第6個等式:;(2)寫出你猜想的第個等式:(用含的等式表示)，并證明.7.對于正數(shù)，規(guī)定.例如,,則.8.有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：則第n次運算的結果yn=___________________（用含字母x和n的代數(shù)式表示）．考點10.新定義題1.(2013棗莊）對于非零實數(shù)，規(guī)定，若，則的值為（）A.B.C.D.2.已知關于x的方程x+=a+的解是x1=a，x2=，應用此結論可以得到方程x+=[x]+的非整數(shù)解為________（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）．3.若一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，則我們稱這個分式為“和諧分式”．（（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和諧分式”是（填寫序號即可）；（2）若a為正整數(shù)，且為“和諧分式”，請寫出a的值；（3）在化簡時，小東和小強分別進行了如下三步變形：小東：＝＝小強：＝＝顯然，小強利用了其中的和諧分式，第三步所得結果比小東的結果簡單，原因是：，請你接著小強的方法完成化簡．考點11.閱讀理解題1.請你先化簡式子(eq\f(a2＋b2,a2－b2)－eq\f(a－b,a＋b))÷eq\f(2,（a－b）（a＋b）)，再取一組你喜愛的a，b的值代入求值．學生甲和學生乙均先對分式計算，再選值代入：原式＝eq\f(a2＋b2－a2＋2ab－b2,（a－b）（a＋b）)÷eq\f(2,（a－b）（a＋b）)＝eq\f(2ab,（a－b）（a＋b）)·eq\f(（a－b）（a＋b）,2)＝ab.學生甲：當a＝1，b＝－1時，原式＝ab＝－1；學生乙：當a＝－1，b＝－1時，原式＝ab＝1.兩人卻都錯了，這是為什么呢？2.（2018北京朝陽）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．例如，．將假分式化為一個整式與一個真分式的和；(2)若分式的值為整數(shù)，求的整數(shù)值．3.閱讀下面的解題過程：已知，求代數(shù)式的值．解：由，取倒數(shù)得，＝4，即2y2+3y＝1．所以4y2+6y﹣1＝2（2y2+3y）﹣1＝2×1﹣1＝1，則可得＝1．該題的解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：已知，求的值．4.問題提出我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M﹣N，若M﹣N＞0，則M＞N；若M﹣N=0，則M=N；若M﹣N＜0，則M＜N．問題解決如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大?。猓河蓤D可知：M=a2+b2，N=2ab．∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0．∴M﹣N＞0．∴M＞N．類比應用（1）已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別