微分方程課件

第二章

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1/7/20241本章的主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)微分方程建立傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的框圖和傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖1/7/20242概述[數(shù)學(xué)模型]：描述系統(tǒng)中各變量（物理量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)形式和方法。叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型。建模：了解元件及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型。物理模型：任何元件或系統(tǒng)都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來(lái)確定出合理的物理模型。1/7/20243常用的數(shù)學(xué)模型：微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步。1/7/20244

數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型1/7/20245系統(tǒng)中變量的關(guān)系靜態(tài)關(guān)系動(dòng)態(tài)關(guān)系1/7/20246控制理論研究的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微分方程，又稱為動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程。建立數(shù)學(xué)模型的方法分析法實(shí)驗(yàn)法

對(duì)于一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。1/7/20249[分析法]：根據(jù)系統(tǒng)中各元件所遵循的物理、化學(xué)、生物等各種科學(xué)規(guī)律和運(yùn)行機(jī)理，列出微分方程式。又稱理論建模。[實(shí)驗(yàn)法]：人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。1/7/202410實(shí)驗(yàn)法－基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法已知知識(shí)和辨識(shí)目的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)--選擇實(shí)驗(yàn)條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次參數(shù)估計(jì)--最小二乘法模型驗(yàn)證—將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近1/7/202411數(shù)學(xué)模型建立后，研究系統(tǒng)主要指研究系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，分析并綜合系統(tǒng)的各項(xiàng)性能，而不再涉及實(shí)際系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體特點(diǎn)。1/7/2024122.1控制系統(tǒng)微分方程的建立1/7/202413微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù)，又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。（2－1－1）1/7/202414采用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟：●根據(jù)研究問題的需要，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量;●根據(jù)系統(tǒng)、輸入和輸出三者之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的原理或定律，列寫系統(tǒng)的微分方程，可增設(shè)中間變量，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化；例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。1/7/202415●標(biāo)準(zhǔn)化，將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸出有關(guān)的項(xiàng)列在等號(hào)左邊，而將與輸入有關(guān)的項(xiàng)列在等號(hào)右邊，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按階次由高到低的順序排列?？蓪⒏黜?xiàng)系數(shù)歸化成具有一定物理意義的形式?！裣ブ虚g變量，整理出只含有輸入量和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)的方程

；1/7/2024161.電氣系統(tǒng)●由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)?！?/p>

無(wú)源器件：本身不含有電源的器件。電阻、電感、電容●

有源器件：本身含有電源的器件。運(yùn)算放大器1/7/202417●

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)：僅由無(wú)源器件組成的電氣網(wǎng)絡(luò)。●

有源網(wǎng)絡(luò)：包含有源器件或電源的電氣網(wǎng)絡(luò)。1/7/202418●

基爾霍夫電流定律和電壓定律(2－1－2)(2－1－3)●

理想電阻、電感、電容兩端電壓、電流與元件參數(shù)的關(guān)系：(2－1－4)1/7/2024192機(jī)械系統(tǒng)●機(jī)械系統(tǒng)：存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，它們

遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)1/7/202420其中，為物體所受到的力,為物體質(zhì)量,是線位移,是時(shí)間?！褡鲋本€運(yùn)動(dòng)的物體遵循的基本力學(xué)定律是牛頓第二定律：(2－1－5)1/7/202421表示恒值摩擦力，又庫(kù)侖摩擦力。其中，為位移,為黏性阻尼系數(shù)，為黏性摩擦力，與運(yùn)動(dòng)速度成正比,●考慮摩擦力的作用：(2-1-6)1/7/202422其中，M為物體所受到的力矩,為物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,為角位移?！褶D(zhuǎn)動(dòng)的物體遵循牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律：(2－1－7)1/7/202423●對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，摩擦力的作用體現(xiàn)為摩擦力矩：(2-1-8)為恒值摩擦力矩。為黏性阻尼系數(shù)，其中，為黏性摩擦力矩，1/7/202424[例2-1]：試列寫出圖中無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。無(wú)源網(wǎng)絡(luò)1/7/202425根據(jù)電壓平衡方程，可得：由（1）式得：（5）將（5）代入（2）可得：（6）1/7/202426又由（4）得：將代入（6）,再代入（3）可得：整理可得所求無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程：1/7/202427[例2-2]：

由RC組成的四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。1/7/202428

①

②

③④

⑤由④、⑤得解：設(shè)回路電流分別為i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑袑懛匠倘缦拢?/7/202429由②導(dǎo)出

將i1、i2代入①、③，則得

1/7/202430這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)二階線性微分方程。1/7/202431[例2-3]：一個(gè)由彈簧－質(zhì)量－阻尼器組成的機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示。為物體質(zhì)量，為彈簧彈性系數(shù)，為粘性阻尼系數(shù)，外力列寫系為輸入量，位移為輸出量。統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。1/7/202432解：分析質(zhì)量塊m受力，有外力F,彈簧恢復(fù)力

Ky（t）阻尼力慣性力由于m受力平衡，所以:式中：Fi是作用于質(zhì)量塊上的主動(dòng)力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得1/7/202433式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數(shù)（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將上式的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化是二階線性定常系統(tǒng)。1/7/202434

試證明圖(a)、(b)所示的機(jī)、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。

[例2-4]：1/7/202435對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫電路方程如下：

解：

對(duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運(yùn)動(dòng)方程式②

③

④1/7/202436利用②、③、④求出

代入①將①兩邊微分得網(wǎng)絡(luò)(b)方程:與機(jī)械網(wǎng)絡(luò)(a)方程比較：1/7/202437力-電壓相似機(jī)系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。為我們利用簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去研究機(jī)械系統(tǒng)......因?yàn)橐话銇?lái)說，電的或電子的系統(tǒng)更容易，通過試驗(yàn)進(jìn)行研究。機(jī)械電阻R1電阻R2彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)K2電氣阻尼B1阻尼B21/C11/C21/7/202438

圖所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ωm（t）（rad/s）為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。[例2-4]：1/7/202439解：電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的

電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia（t）與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。

電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程1/7/202440電樞回路電壓平衡方程：Ea是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Ceωm（t）②

Ce－反電勢(shì)系數(shù)（v/rad/s）①1/7/202441電磁轉(zhuǎn)距方程：-電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)（N·m/A）是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)-是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距（N·m）電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：Jm－轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的）kg·m·fm-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)（N·m/rad/s）③④

1/7/202442

③、④求出ia(t)，代入①同時(shí)②亦代入①得：

⑤在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，因而⑤可簡(jiǎn)化為⑥

電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s）

1/7/202443如果電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都很小而忽略不計(jì)時(shí)⑥還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為⑦電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比，于是電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。1/7/202444[例2-5]：圖所示為一機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)。它包括一個(gè)慣性負(fù)載和一個(gè)黏性摩擦阻尼器，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為黏性摩擦系數(shù)，為角速度和角位移，輸出量和以為輸出量的運(yùn)動(dòng)方程。為作用在該軸上的負(fù)載阻轉(zhuǎn)矩，為作用在該軸上的為輸入量，分別列寫出以主動(dòng)外力矩。以為1/7/202445[解]