四川省南充市南充高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

南充高中高2023級(jí)高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘總分：150分）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）.1.已知是4與6的公倍數(shù)，，則（）A.P?Q B.C. D.Q?P【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到.【詳解】因?yàn)?與6的最小公倍數(shù)為12，故，故，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C2.已知，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)判斷AC選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B選項(xiàng)，由冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，故C正確；對(duì)于B，因?yàn)槭荝上的遞增函數(shù)，所以，故B正確；對(duì)于D，是R上的增函數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤；故選：D.3.存在量詞命題：有的三角形的垂心在其外部；命題的否定是（）A.有的三角形的垂心在其內(nèi)部. B.任意三角形的垂心在其內(nèi)部.C.有的三角形的垂心在其內(nèi)部或邊上. D.任意三角形的垂心在其內(nèi)部或邊上.【答案】D【解析】【分析】利用量詞命題的否定即可得解.【詳解】量詞命題的否定步驟為：改量詞，否結(jié)論，所以存在量詞命題：有的三角形的垂心在其外部，其否定為：任意三角形的垂心在其內(nèi)部或邊上.故選：D.4.已知是冪函數(shù)，滿足，則（）A.3 B.27 C.81 D.243【答案】B【解析】【分析】設(shè)出，根據(jù)條件求出，故，求出答案.【詳解】設(shè)，則，即，解得，故，所以.故選：B5.函數(shù)的大致圖象為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，排除D，再判斷出函數(shù)不是偶函數(shù)，選出正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?，排除D；又，故，所以不是偶函數(shù)，排除BC；A正確.故選：A6.已知，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)求出，作差比較出.【詳解】因?yàn)?，所以，故，，，故，，故，所?故選：B7.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車(chē)，及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē).假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了（單位：）.停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)（）個(gè)小時(shí)才能駕駛？（）.A.12 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】設(shè)他至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車(chē)，列不等式，即可解得.【詳解】設(shè)他至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車(chē)，則，即，由于在定義域上單調(diào)遞減，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C.8.已知函數(shù)（），在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用定義法得到時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，從而得到.【詳解】任取，，故.當(dāng)時(shí)，，，故，故，，故函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，故，故，函數(shù)單調(diào)遞增；又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.9.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)得到，結(jié)合，得到且或，得到答案.【詳解】因?yàn)?，又，所以，故，又，所以或，故選：BD10.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，得到A正確；BC選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，由換底公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)，且正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論可能成立的是（）A. B.的最小值為0C. D.的最小值為【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)題意分四種情況討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和基本不等式相關(guān)知識(shí)判斷答案即可.【詳解】①當(dāng)，時(shí)，，則，故A正確；②當(dāng)，時(shí)，，則，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，不符合；③當(dāng)，時(shí)，，，則，故C正確；④當(dāng)，時(shí)，，，則，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故D正確，此時(shí)成立，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確.故選：ABCD12.已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)可以是（）A. B. C.1 D.2【答案】AD【解析】【分析】求出函數(shù)的表達(dá)式，作函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.，所以的大致圖象為當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)0，4；當(dāng)時(shí)，由解得，所以有零點(diǎn)，2.故選：AD.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)且，若函數(shù)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則__________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用反函數(shù)的概念可得在函數(shù)的圖像上，即求.【詳解】∵函數(shù)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，∴在函數(shù)的圖像上，∴，即，故答案為：.14.函數(shù)圖象與平行線，，有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】作出的圖象，不妨設(shè)，則由圖可知，，從而可求出的取值范圍.【詳解】的圖象如圖所示，不妨設(shè)，因?yàn)榈膱D象與平行線，，有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，所以由圖可知，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：15.已知函數(shù)，任意給定一個(gè)非零常數(shù)t，均有，試寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的解析式______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】可設(shè)，得為奇函數(shù)，再結(jié)合可得也為奇函數(shù)，從而可求解.【詳解】由題意知對(duì)于任意的非零常數(shù)都有，設(shè)，，所以為奇函數(shù)，即所以，由，即，、得，所以應(yīng)為一個(gè)奇函數(shù)，故，且答案不唯一.故答案為：.16.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則______.【答案】1【解析】【分析】首先由可得，然后構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性以及得，則的值可求.【詳解】令，，由于，所以，即，令，則，因?yàn)樵谏暇笥?，且單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，，所以.故答案為：1.三、解答題（本題共6小題，共計(jì)70分，解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）若，則是的什么條件？（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）既不充分也不必要條件（2）【解析】【分析】（1）求出集合A，根據(jù)充分必要條件可判斷；（2）根據(jù)并集運(yùn)算的定義可列式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】由題知，即，解得，所以；由知，，所以是既不充分也不必要條件.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.18.（1）已知，求的值；（2）方程的兩根分別為，求的值.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）化對(duì)數(shù)式為指數(shù)式，進(jìn)而求出；（2）方法一：變形為，是方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，從而計(jì)算出答案；方法二：解方程得到，，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由知，，，所以；（2）方法一：，，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，，；方法二：，解得，，所以.19.已知，，集合.（1）若，求的取值范圍；（2）若A中含有無(wú)窮多個(gè)元素，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，且，再根據(jù)基本不等式求解最值即可；（2）由題意，進(jìn)而將題意轉(zhuǎn)化為在有唯一解，再分情況討論的值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】，無(wú)解，所以，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，且，所以的取值范圍?【小問(wèn)2詳解】中含有無(wú)窮多個(gè)元素，所以，且，即.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，即在有唯一解.當(dāng)時(shí)，，成立.當(dāng)時(shí)，，解得，由，解得，成立.當(dāng)時(shí)，，解得且.特別地，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為滿足；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為滿足；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)，滿足.（1）求a的值，證明：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）解關(guān)于x的不等式.【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由可解得a的值，再由定義法可求在區(qū)間單調(diào)性；（2）由知，的圖象關(guān)于對(duì)稱，將轉(zhuǎn)化為或利用換元法令，，則，解出t的范圍即可得解.【小問(wèn)1詳解】，，由，解得.任取，，，則，，，由，，，知，，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由知，的圖象關(guān)于對(duì)稱，由，知，，所以的取值范圍為.另解：，，則，即，解得，所以，即，即，所以的取值范圍為.21.假設(shè)某學(xué)習(xí)小組對(duì)家庭每月用水的收費(fèi)提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過(guò)基本月用水量，則只付基本費(fèi)8元和損耗費(fèi)c元（）；若用水量超過(guò)基本月用水量，則除了需付基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過(guò)部分還需按元進(jìn)行付費(fèi)；模型二：用函數(shù)模型（其中k，m，n為常數(shù)，且）來(lái)模擬說(shuō)明每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)關(guān)系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費(fèi)用y分別為9元，19元和31元.（1）寫(xiě)出模型一中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式；（2）寫(xiě)出模型二中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式，并分析說(shuō)明學(xué)習(xí)小組提供的模型哪個(gè)更合理？【答案】（1）（2），，模型一與生活中的實(shí)際情況更接近【解析】【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程組，求出，，不妨設(shè)，推出矛盾，故，得到，求出答案；（2）得到方程組，求出，，，得到解析式，并用三個(gè)方面說(shuō)明模型一與生活中的實(shí)際情況更接近.【小問(wèn)1詳解】由題意得，第2，3月份水費(fèi)均大于13元，故用水量和均大于最低限量，于是有，解得，從而，再考慮1月份用水量是否超過(guò)最低限量，不妨設(shè)，將代入中，得，故，與矛盾，舍去，故，即，解得，故，所以每月支付費(fèi)用（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式.【小問(wèn)2詳解】，由題意知，，即由得，由得，所以，解得，所以，代入，解得，又，所以，所以，.模型一與生活中的實(shí)際情況更接近（言之有理即可）.建議從以下三方面考慮：原因一：惠民政策，生活中，比如：打車(chē)，交稅，交氣費(fèi)等都是與模型一接近，百姓繳費(fèi)少；原因二：指數(shù)爆炸，由知，關(guān)于x是快速增長(zhǎng)，但模型一在上勻速增長(zhǎng)，更符合實(shí)際意義；原因三：當(dāng)時(shí)，，由于，，，所以，故，不符合實(shí)際意義.22.若奇函數(shù).（1）求，的值；（2）記函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（不需要證明）；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)