級(jí)高數(shù)下積分應(yīng)用舉例

第四節(jié)重積分的應(yīng)用舉例一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為

空間區(qū)域的體積被圓柱面所截得的例1

求球體(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:由對(duì)稱性可知二、曲面的面積設(shè)光滑曲面小切平面的面積

dS無(wú)限積累而成.設(shè)它在D

上的投影的面積為d

,(dS稱為曲面面積元素)則?則面積S可看成曲面上各點(diǎn)處或偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(可微)且不同時(shí)為零(見(jiàn)書(shū)P99)故有曲面的面積公式即例1.求

x

+y

+z

=

1被三坐標(biāo)面所割的第一卦限部分的面積.

(曲頂柱體的體積)切記：別寫成！(Dxy是

在xoy面上的投影區(qū)域)若光滑曲面方程為則有若光滑曲面方程為則有同理可得設(shè)光滑曲面故有曲面面積公式解

另如：作業(yè)本P43一4

設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量

由加權(quán)平均算法得出分別位于分別為三、物體的質(zhì)心該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心即“質(zhì)量中心”，物體或物體系的質(zhì)量分布用加權(quán)平均求出的平均中心.重心是物體各部分所受重力的合力作用點(diǎn).由元素法,得當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心.注:若物體質(zhì)量均勻分布,則物體重心、質(zhì)心(形心)重合由元素法,得例.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:

利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片

∴質(zhì)心為C(0,7/3)另如：作業(yè)本P44二4

2、空間物體的質(zhì)心推廣的質(zhì)心在處.當(dāng)物體是均勻的，質(zhì)心稱為形心.四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的質(zhì)點(diǎn)系關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.同理此薄片對(duì)y軸、原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為:1、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)平面薄片物體占有xoy面上區(qū)域D,有連續(xù)該物體位于(x,y)處的微元

分布的面密度對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因此薄片對(duì)

x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:解如圖建立坐標(biāo)系：對(duì)

y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：（面密度為常數(shù)）

()同理：對(duì)

x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：()解:建立坐標(biāo)系(如圖)關(guān)于非坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解Ⅰ(套公式)Ⅱ()同理，設(shè)物體占有空間區(qū)域

,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)

z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2、空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推廣類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量G

為引力常數(shù)設(shè)物體占有空間區(qū)域

,它對(duì)其外P0(x0,y0,z0)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在

上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的分量分別為1、空間物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力五、引力空間物體對(duì)單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為：對(duì)xoy面上的平面薄片D,它對(duì)對(duì)P0(x0,y0,z0)處2、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為解：由積分區(qū)域的對(duì)稱性及質(zhì)量分布均勻性知所求引力為幾何應(yīng)用：立體的體積、曲面的面積物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）六、小結(jié)1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分次序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法

(正確使用對(duì)稱性)附注求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為七.(1)