2007年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國(guó)卷ⅰ)

第4頁（共21頁）2007年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷Ⅰ）一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1．（4分）α是第四象限角，，則sinα=（）A． B． C． D．2．（4分）設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a=（）A． B．1 C． D．23．（4分）已知向量，，則與（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．（4分）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（﹣4，0），（4，0），則雙曲線方程為（）A． B． C． D．5．（4分）設(shè)a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，則b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，到直線x﹣y+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）7．（4分）如圖，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．（4分）設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a=（）A． B．2 C． D．49．（4分）f（x），g（x）是定義在R上的函數(shù)，h（x）=f（x）+g（x），則“f（x），g（x）均為偶函數(shù)”是“h（x）為偶函數(shù)”的（）A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件10．（4分）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是（）A．4 B． C． D．812．（4分）函數(shù)f（x）=cos2x﹣2cos2的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種．（用數(shù)字作答）14．（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3x（x＞0）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）=．15．（5分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為．16．（5分）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為．三、解答題（共6小題，滿分82分）17．（12分）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA22．（16分）已知數(shù)列{an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，證明：，n=1，2，3，…

2007年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）α是第四象限角，，則sinα=（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故選D．2．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a=（）A． B．1 C． D．2【分析】復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化，化簡(jiǎn)為a+bi（a、b∈R）的形式，虛部等于0，可求得結(jié)果．【解答】解．設(shè)a是實(shí)數(shù)，=是實(shí)數(shù)，則a=1，故選B．3．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）已知向量，，則與（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根據(jù)向量平行垂直坐標(biāo)公式運(yùn)算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故選A．4．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（﹣4，0），（4，0），則雙曲線方程為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c，再根據(jù)離心率求得a，最后根據(jù)b=求得b，雙曲線方程可得．【解答】解．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（﹣4，0），（4，0），則c=4，a=2，b2=12，雙曲線方程為，故選A．5．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，則b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)題意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意義，結(jié)合集合中元素的特征，可得a+b=0，進(jìn)而分析可得a、b的值，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，則b﹣a=2，故選C．6．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，到直線x﹣y+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】要找出到直線x﹣y+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，我們可以將答案中的四個(gè)點(diǎn)逐一代入驗(yàn)證，不難得到結(jié)論．【解答】解．給出的四個(gè)點(diǎn)中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三點(diǎn)到直線x﹣y+1=0的距離都為，但∵，僅有（﹣1，﹣1）點(diǎn)位于表示的平面區(qū)域內(nèi)故選C7．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）如圖，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角∠A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如圖，連接BC1，A1C1，∠A1BC1是異面直線A1B與AD1所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值為，故選D．8．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a=（）A． B．2 C． D．4【分析】因?yàn)閍＞1，函數(shù)f（x）=logax是單調(diào)遞增函數(shù)，最大值與最小值之分別為loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之分別為loga2a，logaa，∴l(xiāng)oga2a﹣logaa=，∴，a=4，故選D9．（4分）（2008?上海）f（x），g（x）是定義在R上的函數(shù)，h（x）=f（x）+g（x），則“f（x），g（x）均為偶函數(shù)”是“h（x）為偶函數(shù)”的（）A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件【分析】本題主要是抽象函數(shù)奇偶性的判斷，只能根據(jù)定義，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均為偶函數(shù)”，則有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）為偶函數(shù)”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函數(shù)，而f（x），g（x）均不是偶函數(shù)”，故選B10．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)，據(jù)n的特點(diǎn)求出n的值．【解答】解：的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則，所以n可以被3整除，當(dāng)n=3時(shí)，C31=3≠15，當(dāng)n=6時(shí)，C62=15，故選項(xiàng)為D11．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是（）A．4 B． C． D．8【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得到過F且斜率為的直線方程然后與拋物線聯(lián)立可求得A的坐標(biāo)，再由AK⊥l，垂足為K，可求得K的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可得到答案．【解答】解：∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=﹣1，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A（3，2），AK⊥l，垂足為K（﹣1，2），∴△AKF的面積是4故選C．12．（4分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos2x﹣2cos2的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，然后換元，分別求出單調(diào)區(qū)間判定選項(xiàng)的正誤．【解答】解．函數(shù)=cos2x﹣cosx﹣1，原函數(shù)看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，對(duì)于g（t）=t2﹣t﹣1，當(dāng)時(shí)，g（t）為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，g（t）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，t=cosx減函數(shù)，且，∴原函數(shù)此時(shí)是單調(diào)增，故選A二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有36種．（用數(shù)字作答）【分析】由題意知本題是一個(gè)有約束條件的排列組合問題，先從除甲與乙之外的其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，寫出即可．【解答】解．從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，∵先從其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，∴不同的選法共有C31?A42=3×4×3=36種．14．（5分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3x（x＞0）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）=3x（x∈R）．【分析】由題意推出f（x）與函數(shù)y=log3x（x＞0）互為反函數(shù)，求解即可．【解答】解．函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3x（x＞0）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）與函數(shù)y=log3x（x＞0）互為反函數(shù)，f（x）=3x（x∈R）故答案為：3x（x∈R）15．（5分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為．【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)可知4S2=S1+3S3，利用等比數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案為16．（5分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC為等邊三角形，我們把一個(gè)等腰直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可得，該三角形的斜邊EF上的中線DG的長(zhǎng)等于底面三角形的高，從而得出等腰直角三角形DEF的中線長(zhǎng)，最后得到該三角形的斜邊長(zhǎng)即可．【解答】解：一個(gè)等腰直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為AB=2，則該三角形的斜邊EF上的中線DG=，∴斜邊EF的長(zhǎng)為2．故答案為：2．三、解答題（共6小題，滿分82分）17．（12分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大?。唬á颍┣骳osA+sinC的取值范圍．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，進(jìn)而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得cosA+sinC的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC為銳角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC為銳角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范圍為（，）．18．（12分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)．（Ⅰ）求事件A：“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由題意知購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買該商品的3位顧客中無人采用1期付款，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．（2）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對(duì)應(yīng)于η的可能取值為200元，250元，300元．得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率，寫出變量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由題意知購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買該商品的3位顧客中無人采用1期付款，設(shè)A表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對(duì)應(yīng)于η的可能取值為200元，250元，300元．得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列為η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）證明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大?。痉治觥拷夥ㄒ唬海?）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，說明SO⊥底面ABCD．利用三垂線定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，設(shè)AD∥BC，連接SE．說明∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角，通過，求出直線SD與平面SBC所成的角為．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz，通過證明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.與的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因?yàn)闉槠矫鍿BC的法向量，利用α與β互余．通過，，推出直線SD與平面SBC所成的角為．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂線定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依題設(shè)AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足為E，則DE⊥平面SBC，連接SE．∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角．所以，直線SD與平面SBC所成的角為．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz，因?yàn)?，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.與的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因?yàn)闉槠矫鍿BC的法向量，所以α與β互余．，，所以，直線SD與平面SBC所成的角為．20．（14分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥2；（Ⅱ）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用a+b≥2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式變形令g（x）=f（x）﹣ax并求出導(dǎo)函數(shù)令其=0得到駐點(diǎn)，在x≥0上求出a的取值范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=ex+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，則g'（x）=f'（x）﹣a=ex+e﹣x﹣a，（?。┤鬭≤2，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以，x≥0時(shí)，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根為，此時(shí)，若x∈（0，x1），則g'（x）＜0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，x∈（0，x1）時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，與題設(shè)f（x）≥ax相矛盾．綜上，滿足條件的a的取值范圍是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007?全國(guó)卷Ⅰ）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），證明：；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值．【分析】（Ⅰ）橢圓的半焦距，由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線段F1F2為直徑的圓上，故x02+y02=1，由此可以證出．（Ⅱ）設(shè)BD的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），由題意知|BD|=再求