第七章第1節(jié)課件

2024/1/6第七章第1節(jié)1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照_______________排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的_____.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為_(kāi)__________的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.(3)數(shù)列有三種表示法，它們分別是___________、圖象法和______________.知

識(shí)

梳

理一定順序項(xiàng)定義域列表法通項(xiàng)公式法2.數(shù)列的分類(lèi)

分類(lèi)原則類(lèi)型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an＋1_______an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1_______an常數(shù)列an＋1＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有限無(wú)限＞＜3.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與_________之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.序號(hào)nS1Sn－Sn－1[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列1，2，3，4，…的通項(xiàng)公式為an＝n；(2)數(shù)列2，4，6，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n；(3)數(shù)列1，2，4，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－1；(4)數(shù)列1，4，9，16，…的通項(xiàng)公式為an＝n2；2.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)一般有兩種常見(jiàn)思路： (1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想； (2)利用累加或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.診斷自測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.(

) (2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的.(

) (3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).(

) (4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).(

)解析(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列.(2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的.(3)不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(

)

A.15

B.16 C.49

D.64

解析當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.

答案A3.已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是(

)答案C4.已知an＝n2＋λn，且對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.

解析因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)

因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.

答案

(－3，＋∞)5.(2018·臺(tái)州月考)在數(shù)列{xn}中，x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，則數(shù)列{xn}的第2項(xiàng)是________，所有項(xiàng)和T＝________.解析∵x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，∴x2＝log2(x1－2)＝log28＝3，x3＝log2(x2－2)＝log21＝0.數(shù)列{xn}所有項(xiàng)的和為10＋3＋0＝13.答案

3

136.(必修5P33A5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________.解析a1＝1，a2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)，a4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)，∴an＝1＋5×(n－1)＝5n－4.答案5n－4考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)【例1】

根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：規(guī)律方法根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；(3)拆項(xiàng)后的各部分特征；(4)符號(hào)特征.應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.考點(diǎn)二由Sn與an的關(guān)系求an(易錯(cuò)警示)【例2】(1)(2017·溫州市十校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.解析(1)依題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以a1＝－1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1.(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式.【訓(xùn)練2】(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.解析(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式.考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式【例3】(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. (2)(2018·衢州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)公式an＝________.解析

(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2時(shí)，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，將