【教案】等比數(shù)列的概念第1課時+教學設計高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時）教學設計一、本課在教材中的地位《等比數(shù)列》是人教A版（2019）數(shù)學選擇性必修第二冊第四章的內容。本節(jié)是數(shù)列這一章的一個重要內容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應用，而且公式推導過程中蘊涵的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng).等比數(shù)列是另一個常見的簡單數(shù)列，研究內容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導出通項公式，給出等比中項的概念.二、教學目標1.通過類比和歸納的方法得到等比數(shù)列的定義和通項公式，能夠應用等比數(shù)列的通項公式解決簡單的問題;2.學生通過觀察、抽象、推理、應用的過程，獲得用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言描述現(xiàn)實世界的實際感受，提高其數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).三、核心素養(yǎng)1數(shù)學抽象：等比數(shù)列的概念2邏輯推理：等比數(shù)列通項公式的推導3數(shù)學運算：等比數(shù)列通項公式的運用4數(shù)據(jù)分析：學習等比數(shù)列的概念，同時探究等比數(shù)列通項公式的推導方法，提高學生數(shù)學判斷的能力，以及參與數(shù)學活動的能力.四、教學重點、難點1、重點：等比數(shù)列、等比中項的概念、等比數(shù)列的通項公式2、難點：等比數(shù)列通項公式的推導和運用五、教學過程設計（一）復習引入問題1：如何說明一個數(shù)列是等差數(shù)列？從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)。具體實例等差數(shù)列的概念具體實例等差數(shù)列的概念代數(shù)運算歸納法通項公式函數(shù)角度數(shù)數(shù)一次函數(shù)形形抽象概念累加法累加法（二）觀察分析，感知概念引導探究1等比數(shù)列及等比中項的概念問題2：類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，觀察以下幾個數(shù)列，思考它們有何共同特征？1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:①,,,...,;②,,,...,;③,,,...,.2.《莊子?天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”,那么從第1天開始,各天得到的“棰”的長度依次是④3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產生的后代個數(shù)依次是2,4,8,16,32,64,....⑤【師生活動】學生獨立思考、討論交流．教師提示，類比已有的學習經(jīng)驗是一個好方法，比如“等差數(shù)列”；然后指引學生回顧等差數(shù)列相鄰兩項的關系，確定新數(shù)列的研究問題：相鄰兩項比是固定常數(shù)．【設計意圖】意在引導學生從運算的角度，類比已有研究對象的主要特征，發(fā)現(xiàn)一個新的特殊數(shù)列作為研究對象，這樣的過程有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力．（三）抽象概括，形成概念追問：（1）類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？可以用符號語言表示嗎？一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個不為零的常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公比，通常用字母表示.（2）從等比數(shù)列的符號語言可以發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的每一項和公比應滿足什么條件？注:①從第二項起每一項與它的前一項之比為常數(shù);②任意一項且;③時，為非零常數(shù)列.【師生活動】教師引導學生觀察、分析，等比數(shù)列的每一項，公比．【設計意圖】讓學生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，其中包括獨立思考和交流討論．同時增強學生對數(shù)列的每一項和公比均不等于0的了解和記憶，這是一個提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的時機．例1判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，寫出它的公比．．（1）1，，，，，…；不是（2）10,10,10,10,10，…；是，公比是1（3），，，，…；是，公比（4）1，0，1，0，1，…不是（5）1，-4，16，-64，256，…是，公比是-4（6）-1，-4，-16，-64，-256，…是，公比是4【師生活動】請學生根據(jù)所學的等比數(shù)列的概念判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列．【設計意圖】進一步鞏固等比數(shù)列的概念．追問：（1）觀察題（2）是公比為1的等比數(shù)列，那么它是等差數(shù)列嗎？數(shù)列“0,0,0,0,0...”是等差數(shù)列嗎？（2）觀察（2）、（3）、（6）它們有什么共同特征？（5）這個數(shù)列跟前3個相比有什么區(qū)別？結論：①非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②q＞0時，等比數(shù)列各項符號相同；q＜0時，等比數(shù)列正負交替，是擺動數(shù)列.問題4：回憶等差中項的概念和關系，類比等差中項的定義，如果在與中間插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則G可以叫與做的等比中項嗎？如果可以，他們有什么關系？ 如果三個數(shù),G,組成等比數(shù)列，那么G叫做和的等比中項.，那么叫做與的等比中項．此時，．【師生活動】【師生活動】根據(jù)學生探究的情況，教師引導，幫助學生建立等比中項的定義．【設計意圖】對于難度不大的內容，引導學生通過類比的方法去找到等比數(shù)列中相鄰三項的關系，并抽象概念得到等比數(shù)列的定義．例2（1）2與8的等比中項為；答案：（2）?9和?4的等比中項為；答案：（3）1和?4的等比中項為；答案：（4）1，，4，-8是等比數(shù)列，則．答案：注意：同號兩數(shù)有兩個等比中項，它們互為相反數(shù)；異號兩數(shù)沒有等比中項.【師生活動】請學生根據(jù)等比中項的概念填空．【設計意圖】進一步鞏固等比中項的概念．四、辨析理解深化概念探究：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？設一個等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得．不完不完全歸納法由此可得又，這就是說，當時上式也成立．因此，首項為，公比為的等比數(shù)列的通項公式為．問：在學習等差數(shù)列的通項公式是除了應用了不完全歸納法，還利用了累加法，類比等差數(shù)列的這個推導方法，等比數(shù)列還可以用什么方法推導它的通項公式？設等比數(shù)列，首項為，公比為累乘法，共有（n-1）個等式將這（n-1）個等式左右兩邊相乘得到，即思考：已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項表示.結論：等比數(shù)列的通項公式為【師生活動】讓學生先獨立思考，教師展示學生推導并規(guī)范解答．【設計意圖】內容難度不大，引導學生類比等差數(shù)列通項公式的推導過程進行推導，并得到等比數(shù)學的通項公式．這是一個提升學生數(shù)學抽象的時機．例3若等比數(shù)列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項.【師生活動】帶領學生完成第一個通項公式的尋找，后面三個數(shù)列的通項公式由學生獨立完成，最后教師組織學生訂正．【設計意圖】通過以上四個數(shù)列的通項