專題5.28 平面直角坐標系背景下存在性問題（分層練習）（提升練）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題5.28平面直角坐標系背景下存在性問題（分層練習）（提升練）1．在平面直角坐標系中，對于點，若點Q的坐標為，則稱點是點的“a級關(guān)聯(lián)點”．（1）已知點的“級關(guān)聯(lián)點”是點；（2）已知點的“級關(guān)聯(lián)點”N位于x軸上，求點N的坐標；（3）在（2）的條件下，若存在點H，且，直接寫出H點坐標．2．在平面直角坐標系中有四點．

（1）在圖中描出四點，再連接；（2）直接寫出線段與線段的位置關(guān)系；（3）若與軸交于點，與軸交于點，在線段上是否存在一點，使得三角形與三角形的面積相等，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖：在正方形網(wǎng)格上有一個．

（1）畫出關(guān)于直線的對稱圖形；（2）的形狀是___________三角形；（3）若在上存在一點Q，使得最小，請在圖中畫出點Q的位置；（4）若網(wǎng)格上最小正方形的邊長為1，求的面積．4．已知，點B在x軸上，且．（1）求點B的坐標，在平面直角坐標系中畫出，并求出的面積．（2）在y軸上是否存在點P，使得以A，C，P為頂點的三角形的面積為9？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）在y軸上是否存在點Q，使得是等腰三角形？若存在，請畫出點Q的位置，并直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，三點，其中，，滿足關(guān)系式，．

（1）求，，的值：（2）求出三角形的面積？（3）如果在第二象限內(nèi)有一點，那么請用含的式子表示四邊形的面積；（4）在（3）的條件下，是否存在點，使四邊形的面積與三角形的面積相等？若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標系中，已知，點的坐標為，點的坐標為，點在軸的負半軸上，且．

（1）直接寫出點的坐標；（2）在軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；（3）把點向上平移個單位長度得到點，作射線，連接，點在射線上運動（不與點，重合），試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．7．如圖，在平面立角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于點，點，點C在y軸的負半軸上，若將沿直線折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．

（1）直接寫出的長__________．（2）求點D和點C的坐標；（3）y軸上是否存在一點P，使得？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸負半軸上，且，滿足，連接交軸正半軸于點．

（1）求、的值以及三角形的面積；（2）根據(jù)三角形的面積、三角形的面積與三角形的面積三者之間的數(shù)量關(guān)系，求點的坐標；（3）在軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．9．如圖，在平面直角坐標系中，，，過作軸于．

（1）求的面積．（2）若過作交軸于，且，分別平分，，如圖，求的度數(shù)；（3）在軸上存在點使得的面積等于面積的，請直接寫出點．10．在直角坐標系中，有正方形（四條邊相等，四個內(nèi)角都是），其中平行于y軸，點在第二象限．

（1）如圖，若，長為6，則點B，C，D的坐標分別為：B______，C______，D______；（2）若，，點是直角坐標系中的一個動點，，點Q從B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC方向運動，運動時間為t秒，若．①當時，求的面積；②試問是否存在點P，使得，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，在平面直角坐標系中，，，，且，（1）求a，b的值；（2）①在y軸的正半軸上存在一點M，使，求點M的坐標；②在坐標軸的其他位置是否存在點M，使，仍然成立？若存在請直接寫出符合條件的點M的坐標．12．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B坐標分別為，點C在y軸上，且軸，a，b滿足．一動點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O﹣A﹣B﹣C﹣O的路線運動（點P首次回到點O時停止），運動時間為t秒（）．（1）直接寫出點A，B的坐標；（2）點P在運動過程中，連接，若把四邊形的面積分成的兩部分，求出點P的坐標．（3）點P在運動過程中，是否存在點P到x軸的距離為個單位長度的情況，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．13．如圖1，在平面直角坐標系中，點A，的坐標分別為，，且，滿足，現(xiàn)同時將點A，分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，分別得到點A，的對應(yīng)點，，連接，．（1）請直接寫出A，兩點的坐標．（2）如圖2，點是線段上的一個動點，點是線段的中點，連接，，當點在線段上移動時（不與，重合），請找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）在坐標軸上是否存在點，使三角形的面積與三角形的面積相等？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，試說明理由．14．如圖，在平面直角坐標系中，點，過點作x軸的垂線l，點A關(guān)于直線l的對稱點為B．（1）點B的坐標為_____________；（2）已知點，點，在圖中描出點B，C，D，順次連接點A，B，C，D．①在四邊形內(nèi)部有一點P，滿足且，則此時點P的坐標為_____________，_____________；②在四邊形外部是否存在點Q，滿足且，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．15．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中，滿足，點是第一象限內(nèi)的點，，．（1）分別求出點、、的坐標．（2）如果在第二象限內(nèi)有一點，是否存在點，使得的面積等于的面積？若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．（3）在平面直角坐標系是否存在點，使與全等，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．16．如圖1，在平面直角坐標系中，已知，其中a是的整數(shù)部分，在數(shù)軸上，b表示的數(shù)在原點的左側(cè)，離原點的距離是2個單位長度．（1）填空：________，________；（2）在（1）條件下，如果在第三象限內(nèi)有一點，請用含m的式子表示四邊形的面積；（3）如圖2，點A的坐標為，點B的坐標為，點M的坐標為，動點P從原點O出發(fā)以每秒4個單位長度的速度沿y軸負方向移動，同時點B以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向移動，連接，設(shè)運動時間為秒．是否存在這樣的t，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．17．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．A、B兩點的坐標分別為、，且，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．（1）求、OB的長；（2）連接，若的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．18．在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），且a、b滿足．（1）求OA，OB長度；（2）在x軸上是否存在點C，使得三角形ABC的面積是12；若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P從點B出發(fā)沿著y軸運動（點P不與原點、B點重合）速度為每秒2個單位長度，連接AB、AP，當運動的時間t為幾秒時，？并求出此時點P的坐標．參考答案：1．（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)新定義代入求解；（2）先根據(jù)新定義寫出坐標，再根據(jù)x軸上的點的特征，列方程求解；（3）根據(jù)平行直線的關(guān)系求解．（1）解：由題意得：，即；（2）解：由題意得：，∵N位于x軸上，∴，解得：，∴；（3）解：由（2）得：，∴，∵軸，且，∴或．【點撥】本題考查了點的坐標特征，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．2．（1）見分析；（2）；（3）存在，【分析】（1）根據(jù)A，B，C，D的坐標確定A，B，C，D的位置即可，再畫線段；（2）證明軸，軸，可得答案；（3）如圖，設(shè)，，則，由，可得，再建立方程求解即可．（1）解：A，B，C，D如圖示，線段，即為所畫的線段；

（2）∵，的縱坐標相同，∴軸，同理：軸，∴．（3）如圖，設(shè)，，則．

∵，即∴，即，解得：∴．【點撥】本題考查的是坐標與圖形，三角形的面積的計算，掌握平面直角坐標系內(nèi)線段的長度的計算是解本題的關(guān)鍵．3．（1）見分析；（2）等腰直角三角形；（3）見分析；（4）5【分析】（1）分別確定A，B，C關(guān)于直線的對稱點，，，再順次連接即可；（2）先標注圖形，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案；（3）先確定C關(guān)于直線的對稱點，再連接，交直線于即可；（4）由長方形的面積減去周圍三個三角形的面積即可．（1）解：如圖，即為所求；．（2）如圖，標注圖形，

由圖形可得：，，，∴，∴，，∴，∴，∴為等腰直角三角形．（3）如圖，即為所求；

（4）．【點撥】本題考查的是作軸對稱圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的定義，網(wǎng)格三角形面積的計算，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．4．（1）點B的坐標為或，圖見分析，的面積為8；（2）點P的坐標為或；（3）點Q的坐標為，，，．【分析】（1）根據(jù)，點B在x軸上，且，可知點B的橫坐標與點A的橫坐標的差的絕對值為4，從而可以求得點B的坐標，從而可以求得的面積．（2）根據(jù)題意可知點P在點C的上方或者下方，從而可以求得點P的坐標．（3）根據(jù)已知條件可以將各種情況在坐標系中表示出來，利用勾股定理列式計算從而可以得出點的坐標．（1）解：∵，點B在x軸上，且，∴設(shè)點B的坐標為，．解得，或．∴點B的坐標為或．在平面直角坐標系中畫出，如下圖所示：∴，．即的面積為8；（2）解：在y軸上存在點P，使得以A、C、P三點為頂點的三角形的面積為9．設(shè)點P的坐標為，由題意可知點P可能在點C的上方或下方．當點P在點C上方時，，解得，．當點P在C點下方時，，解得，．由上可得，點P的坐標為或；（3）解：在y軸上存在點Q，使得是等腰三角形．如下圖所示：∵，∴，當時，點Q的坐標為：或；當時，點Q與點C關(guān)于x軸對稱，點Q的坐標為：；當時，設(shè)點Q的坐標為，則，解得，∴點Q的坐標為，綜上，使得是等腰三角形，點Q的坐標為：，，，．【點撥】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)、三角形的面積、等腰三角形的判定、勾股定理，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖形寫出各點的坐標，能根據(jù)坐標求出相應(yīng)圖形的面積．5．（1），，；（2）6；（3）；（4）存在，【分析】（1）用非負數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由（1）得出A，B，C的坐標，再利用三角形面積公式計算；（3）把四邊形的面積看成兩個三角形面積和，用來表示；（4）求出的面積，結(jié)合（3）列出方程即可．（1）解：由已知，及，∴，，，可得：，，；（2）由（1）得：，，，∴三角形的面積為；（3），，；（4），，則，所以存在點使．【點撥】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角形及四邊形面積的求法，根據(jù)題意容易解答．6．（1）；（2）存在點，點的坐標為或；（3）或．【分析】（1）根據(jù)點在軸的負半軸上，，點的坐標為即可求得答案．（2）先求得的長度，分兩種情況寫出點的坐標：當點位于點的上方；點位于點的下方．（3）分兩種情況討論：點在點上方；點在線段上．利用平行線的性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)求解即可．解：（1）∵點在軸的負半軸上，，點的坐標為，∴點的坐標為．（2）存在點，點的坐標為或．理由如下：如圖所示，連接，．

∵，∴．∴．當點位于點的上方時，點的坐標為．當點位于點的下方時，點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或．（3）∵點的坐標為，點的坐標為，∴軸．①點在點上方．設(shè)與交于點，如圖所示．

∵軸，∴．∵．∴．②點在線段上．過點作軸的平行線，交軸于點，如圖所示．

∵軸，軸，∴．∴．∵軸，∴．∴．綜上所述，或．【點撥】本題主要考查平面直角坐標系、平行線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，能采用分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．7．（1）5；（2）點，點C；（3）存在，或【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）證明，可得，可得點，設(shè)點的長度為m，可得，可得，可得，從而可得答案；（3）求解，設(shè)，則，結(jié)合，再建立方程求解即可．（1）解：∵點，點，∴；（2）由折疊得：，，點，，，點，設(shè)點的長度為m，，由折疊得，在中，由勾股定理得即，即，解得，點C在y軸的負半軸上，點C的坐標為；（3）∵，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得：或，∴點P的坐標為或．【點撥】本題考查的是坐標與圖形，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟練的利用方程解題是解本題的關(guān)鍵．8．（1），，；（2）；（3）當時，則或【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根與絕對值的非負性可求a、b的值，然后根據(jù)三角形的面積公式可進行求解；（2）設(shè)點，然后根據(jù)等積法可進行求解；（3）由題意可分點P在y軸的正半軸和負半軸兩種情況進行求解．（1）解：∵，且，∴，∴，∵點在軸負半軸上，∴，∴，∴，∴；（2）解：設(shè)點，∴，∵，∴，∴；（3）解：由題意可分：①當點P在y軸的正半軸時，則有，∴，∴，即；②當點P在y軸的負半軸時，則有，∴，∴，即；綜上所述：當時，則或．【點撥】本題主要考查坐標與圖形及算術(shù)平方根與絕對值的非負性，熟練掌握坐標與圖形及算術(shù)平方根與絕對值的非負性是解題的關(guān)鍵．9．（1）；（2）；（3）點的坐標為或【分析】（1）根據(jù)求出點坐標，利用三角形的面積公式進行求解即可；（2）如圖，過作，利用平行線的判定和性質(zhì)，得到，，，結(jié)合角平分線的定義，利用，進行求解即可；（3）設(shè)點的坐標為，利用的面積等于，列方程求解即可．（1）解：∵軸，，∴，∵，∴，，∴；（2）如圖，過作．

∵軸，∴軸，，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，．∵，分別平分，，∴，，∴；（3）解：設(shè)，∵，，∴，，由（1）知：，∴的面積=，解得：或；∴點的坐標為或．【點撥】本題考查坐標與圖形．正確的識圖，通過點的坐標確定線段的長度，構(gòu)造平行線，進行角度的轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵．10．（1），，；（2）①9②存在，．【分析】（1）利用，長為6，以及正方形的性質(zhì)即可求解；（2）利用非負性的性質(zhì)求得，，，得到，，，，；①當時，求得P點坐標，Q點坐標，根據(jù)割補法求解即可；②利用割補法列式計算即可求解．（1）解：∵正方形，平行于y軸，，長為6，∴，，；故答案為：，，；（2）解：∵其中，，，∴，，，∴，，，，；①當時，代入求得P點坐標，此時Q點坐標，連接,

；②假設(shè)存在點P滿足題意，則有，∵當時，A、P、Q三點共線，三角形不存在，∴，將兩者分別用含有t的代數(shù)式表示，化簡得，解得：，此時【點撥】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，絕對值、算術(shù)平方根和偶次方的非負性質(zhì)，三角形面積公式等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)和三角形面積公式是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．11．（1），；（2）①；②或或；【分析】（1）根據(jù)非負式子和為0它們分別等于0直接求解即可得到答案；（2）①設(shè)，根據(jù)面積關(guān)系列式求解即可得到答案；②分負半軸及x軸兩類討論，設(shè)出點坐標列式求解即可得到答案；（1）解：∵，，，∴，，解得：，；（2）解：①設(shè)，∵，，，，∴，解得：，∴；②i：當M在y軸負半軸時，設(shè)，∵，，，，∴，解得：，∴；ii：當M在x軸上時，設(shè)，∵，，，，∴，解得：，∴或；綜上所述：或或；【點撥】本題考查絕對值非負性，算術(shù)平方根非負性，平面內(nèi)點與坐標原點及坐標軸上點圍城圖形面積問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點到坐標軸距離問題轉(zhuǎn)換成三角形的高．12．（1）；（2）點P的坐標為或；（3）存在，點P的坐標為或【分析】（1）直接利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解答；（2）證明四邊形為長方形，求出面積，再分兩種情況：當時和當時，分別列出方程，求解即可；（3）分兩種情況：點P在上運動和點P在上運動，根據(jù)點P到x軸的距離為個單位長度列出方程，求解即可．（1）解：由題意知，a，b滿足，∵，∴，∴，∴；（2）由題意可知，軸，，∵軸，∴四邊形為長方形，∵，∴，∵把四邊形的面積分成的兩部分，∴一部分面積為4，另一部分面積為8，∴可分兩種情況討論：當時和當時，①當時，此時點P在上，點P的坐標為，∴，∴，∴，∴點P的坐標為，②當時，此時點P在上，點P的坐標為，∴，∴，∴點P的坐標為，綜上可知，，點P的坐標為或；（3）存在，理由如下：①當P在上運動時，，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴點P的坐標為，②當P在上運動時，，∴，∴，∴，∴點P的坐標為，綜上可知，點P的坐標為或．【點撥】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、三角形的面積、一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題關(guān)鍵．13．（1）；；（2）；（3）存在，或或或【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性、偶次方的非負性分別求出、，得到點A，的坐標；（2）求出五邊形的內(nèi)角和，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，計算即可；（3）根據(jù)題意求出的面積，分點在軸上、點在軸上兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．（1）解：，，，解得：，，則點A，的坐標分別為，；（2）解：，理由如下：五邊形的內(nèi)角和，∵，，；（3）解：由題意得，點的坐標為，點的坐標為，則的面積，當點在軸上時，設(shè)點的坐標為，則，由題意得，，解得：或，當點在軸上時，設(shè)點的坐標為，則，由題意得，，解得：或，綜上所述，三角形的面積與三角形的面積相等時，存在點，且點的坐標為或或或．【點撥】本題考查的是幾何變換的綜合題，非負數(shù)的性質(zhì)、平移變換、三角形的面積計算，掌握坐標與圖形的關(guān)系、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．14．（1）；（2）①，．②，理由見分析【分析】（1）根據(jù)對稱性可知點A和點B到直線l的距離相等，且縱坐標相等即可求解；（2）①根據(jù)點A，B，C，D的坐標可得點A和點B關(guān)于直線l對稱，點C和點D關(guān)于直線l對稱，，，，由，可知點P在直線l上，設(shè)點P，再根據(jù)可得，求解即可得點P坐標，進而即可求解；②與①同理，設(shè)，根據(jù)，可得，解方程進而即可求解．解：（1）∵點坐標為，過點作x軸的垂線l，∴點到直線l的距離為1，∵點A和點B關(guān)于直線l的對稱點，∴，故答案為：；（2）如圖所示：順次連接A，B，C，D，可以發(fā)現(xiàn)四邊形是等腰梯形，且關(guān)于直線對稱，①∵點，點，點，點，∴點A和點B關(guān)于直線l對稱，點C和點D關(guān)于直線l對稱，，，，∵在四邊形內(nèi)部有一點P，滿足，則點P在直線l上，設(shè)點P，∵，∴，即，整理得：，解得：，∴點，

∴，故答案為：，；②存在，理由：∵∴點Q在對稱軸上，設(shè)，∵，∴，即，解得：，∴點．【點撥】本題考查坐標與圖形—對稱，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想和參數(shù)構(gòu)造方程解決問題．15．（1），，；（2）；（3），或【分析】（1）根據(jù)可得，，從而得到，，再根據(jù)，構(gòu)造全等三角形，即可得到點C的坐標；（2）根據(jù)三個頂點坐標可求，則，又因為，即可求點P的坐標；（3）根據(jù)三角形全等畫出符合題意的圖形，確定點E，由（1）求點C的坐標的方法可求出點坐標，點與點關(guān)于點A對稱，點C與點關(guān)于點B對稱，即可得到點E的三個坐標．（1）解：∵，∴∴，，∴，，∴，過點作軸于點，則∵，∴，在中，，∴∵，∴∴，∴，∴，∵點在第一象限內(nèi)，∴．（2）存在．過點作軸于點，則∵，∴∵，∴，∴，∴（3），或理由：如圖所示，當，且點在第一象限時，由（1）同理得當，且點在第二象限時，點與點關(guān)于點A對稱∴當，且點在第二象限時，點C與點關(guān)于點B對稱∴綜上所述，，或故答案為：，或【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角坐標系中求三角形的面積以及點之間的對稱問題，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握運用全等三角形的性質(zhì)與判定．16．（1）；（2）；（3）存在，5．【分析】（1）根據(jù)無理數(shù)的范圍即可求出它的整數(shù)部分；根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)即可求出；（2）將四邊形的面積分解成兩個三角形與的面積和即可求出；（3）先用表示點，然后用表示與的面積，然后根據(jù)題意列式即可求出答案．（1）解：，且a是的整數(shù)部分，，在數(shù)軸上，b表示的數(shù)在原點的左側(cè)，離原點的距離是