第五章相交線與平行線單元試卷(培優(yōu)篇)(Word版-含解析)

第五章相交線與平行線單元試卷（培優(yōu)篇）（Word版含解析）一、選擇題1．如圖，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，則∠ACD＝（）A．35° B．45° C．55° D．70°2．給出下列4個(gè)命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②相等的角是對(duì)頂角；③等角的補(bǔ)角相等；④兩直線平行，同位角相等．其中，假命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，直線a∥b，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1=58°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．42° D．58°4．如圖，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）A． B． C． D．5．①如圖1,AB∥CD,則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2,AB∥CD,則∠E=∠A+∠C;③如圖3,AB∥CD,則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4,AB∥CD,則∠A=∠C+∠P.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．、1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．給出下列命題：①平分弦的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的??；②平面上任意三點(diǎn)能確定一個(gè)圓；③圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等；④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤經(jīng)過圓心的直線是圓的對(duì)稱軸.正確的命題為（）A．①③⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①②⑤7．將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④8．如圖，直線，被直線所截，則與是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．對(duì)頂角9．下列各命題中，屬于假命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．如圖，直線a，b被直線c所截，且a//b，若∠1=55°，則∠2等于（）A．35° B．45° C．55° D．125°11．如圖，若∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，則有（）．A．a(chǎn)∥b B．c∥d C．a(chǎn)⊥d D．任兩條都無法判定是否平行12．已知：如圖，，則，，之間的關(guān)系是A．B．C．D．二、填空題13．如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上點(diǎn)P在AB，CD之間且在EF的左側(cè)．若將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后的兩條射線互相垂直，則EPF的度數(shù)為_____．14．如圖，△ABC中，∠C90，AC5cm，CB12cm，AB13cm，將△ABC沿直線CB向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)C到直線DE的距離為______cm．15．如圖，圖①是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖②，則圖②中的∠CFG的度數(shù)是_____________．16．100條直線兩兩相交于一點(diǎn)，則共有對(duì)頂角（不含平角）_______對(duì)，鄰補(bǔ)角________對(duì).17．如圖，與是對(duì)頂角，，，則______．18．如圖，將直角三角形ABC沿斜邊AC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交BC于點(diǎn)G，BG＝4，EF＝12，△BEG的面積為4，下列結(jié)論：①DE⊥BC；②△ABC平移的距離是4；③AD＝CF；④四邊形GCFE的面積為20，其中正確的結(jié)論有________（只填寫序號(hào)）．19．如圖，已知，求證：．證明：∵（已知）（______）∴（等量代換）∴（______）（同位角相等，兩直線平行）∴（______）20．如圖，，平分，，則______．三、解答題21．如圖，已知，，線段上從左到右依次有兩點(diǎn)、（不與、重合）（1）求證：；（2）比較、、的大小，并說明理由；（3）若，平分，且，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．22．如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過作，通過平行線性質(zhì)來求．（1）按小明的思路，求的度數(shù)；（問題遷移）（2）如圖2，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（問題應(yīng)用）：（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．23．如圖，，平分，平分．（1）求證：；（2）在（1）問的條件下，過點(diǎn)作，垂足為，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)．24．如圖1，．求的度數(shù)．小明想到了以下方法(不完整)，請(qǐng)?zhí)顚懸韵陆Y(jié)論的依據(jù)：如圖1，過點(diǎn)作（）(已知)（）．（）．．即．如圖2，點(diǎn)在外，問之間有何數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)說明理由；如圖3所示，在的條件下，已知的平分線和的平分線交于點(diǎn)用含有的式子表示的度數(shù)是____．(直接寫出答案，不需要寫出過程)25．問題情境：如圖1，，，．求度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質(zhì)，可得．問題遷移：（1）如圖3，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．、、之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)在、兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出、、間的數(shù)量關(guān)系．26．如圖，已知為兩條相互平行的直線，之間一點(diǎn)，和的角平分線相交于，．（1）求證：；（2）連結(jié)，當(dāng)，且時(shí)，求的度數(shù)；（3）若時(shí)，將線段沿直線方向平移，記平移后的線段為（，分別對(duì)應(yīng)，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)______．27．已知：，，四點(diǎn)在同一直線上．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，猜想這三個(gè)角之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，是下方一點(diǎn)，連接，且，，若，求的度數(shù)．28．如圖，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），將線段AB平移至線段CD，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)D在第一象限．（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)（k，0），求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含k的式子表示）；（2）連接BD、BC，若三角形BCD的面積為5，求k的值；（3）如圖2，分別作∠ABC和∠ADC的平分線，它們交于點(diǎn)P，請(qǐng)寫出∠A、和∠P和∠BCD之間的一個(gè)等量關(guān)系，并說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂線的定義可得△ACD是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可得出∠ACD的度數(shù)．【詳解】∵AB∥CD，∠BAD=35°，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．B解析：B【分析】根據(jù)平行線的判定方法對(duì)①進(jìn)行判斷；據(jù)對(duì)頂角的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)補(bǔ)角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷．【詳解】?jī)芍本€平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以①錯(cuò)誤;相等的角不一定是對(duì)頂角，所以②錯(cuò)誤；等角的補(bǔ)角相等，所以③正確；兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，所以④正確；；故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定，對(duì)頂角的性質(zhì)等，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．3．B解析：B【解析】試題分析：如圖，過點(diǎn)A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故選B．考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．4．D解析：D【分析】利用角平分線和平行的性質(zhì)即可求出．【詳解】∵AB∥CD∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=100°，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，∴∠2=∠BDC=80°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行，熟練掌握平行的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．C解析：C【詳解】①如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤；②如圖2，過點(diǎn)E作EF∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點(diǎn)E作EF∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，則③正確；④如圖4，過點(diǎn)P作PF∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故選C.6．C解析：C【分析】①垂徑定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三點(diǎn)共線；③旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；④三角形的外心的性質(zhì)；⑤圓的性質(zhì).【詳解】①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的弧，原命題錯(cuò)誤；②三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)圓，原命題錯(cuò)誤；③由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，原命題正確；④由三角形的外心的性質(zhì)，原命題正確；⑤由圓的性質(zhì)，原命題正確；本題的答案是：C.【點(diǎn)睛】考查垂徑定理的逆定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的外心的性質(zhì)、圓的性質(zhì).7．D解析：D【分析】根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2即可證得①；根據(jù)求出∠1與∠E的度數(shù)大小即可判斷②；利用∠2求出∠3，與∠B的度數(shù)大小即可判斷③；利用求出∠1，即可得到∠2的度數(shù)，即可判斷④.【詳解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正確；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正確；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正確；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90-∠1=，故④正確，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查互余角的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)，熟練運(yùn)用解題是關(guān)鍵.8．A解析：A【分析】根據(jù)同位角的定義求解．【詳解】解：直線a，b被直線c所截，∠1與∠2是同位角．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角：三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．9．D解析：D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】A、正確，符合不等式的性質(zhì)；B、正確，符合不等式的性質(zhì)．C、正確，符合不等式的性質(zhì)；D、錯(cuò)誤，例如a=2，b=0；故選D．【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解不等式的性質(zhì)，難度不大．10．C解析：C【解析】試題分析：根據(jù)圖示可得：∠1和∠2是同位角，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)11．A解析：A【詳解】解：∵∠4=∠1=70°，∠2=110°，∴∠4+∠2=180°；∴a∥b．∵∠2≠∠3，∴c與d不平行．故選A．12．C解析：C【分析】分別過C、D作AB的平行線CM和DN，由平行線的性質(zhì)可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【詳解】解：如圖，分別過C、D作AB的平行線CM和DN，，，，，，，又，，，即，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a//b，b//c?a//c．二、填空題13．45°或135°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后利用平行線的性質(zhì)得出∠EMF與∠AEM和∠CFM的關(guān)系，然后可得答案．【詳解】解：如圖1，過作，，，，，，，同理可得，由折疊可解析：45°或135°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后利用平行線的性質(zhì)得出∠EMF與∠AEM和∠CFM的關(guān)系，然后可得答案．【詳解】解：如圖1，過作，，，，，，，同理可得，由折疊可得：，，，如圖2，過作，，，，，，，，由折疊可得：，，，綜上所述：的度數(shù)為或，故答案為：45°或135°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出圖形，分兩種情況分別計(jì)算出∠EPF的度數(shù)．14．【分析】根據(jù)平移前后圖形的大小和形狀不變，添加輔助線構(gòu)造梯形，利用面積相等來計(jì)算出答案．【詳解】解：如圖，連接AD、CD，作CH⊥DE于H，依題意可得AD=BE=3cm，∵梯形ACED解析：【分析】根據(jù)平移前后圖形的大小和形狀不變，添加輔助線構(gòu)造梯形，利用面積相等來計(jì)算出答案．【詳解】解：如圖，連接AD、CD，作CH⊥DE于H，依題意可得AD=BE=3cm，∵梯形ACED的面積，∴，解得；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的平移和點(diǎn)到直線的距離，注意圖形平移前后的形狀和大小不變，以及平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相等．15．130°【解析】∵AD∥BC，∠DEF=25°，∴∠BFE=∠DEF=25°，∴∠EFC=155°，∴∠CFG=155°-25°=130°．故答案為130°．點(diǎn)睛：本題主要是根據(jù)折疊能解析：130°【解析】∵AD∥BC，∠DEF=25°，∴∠BFE=∠DEF=25°，∴∠EFC=155°，∴∠CFG=155°-25°=130°．故答案為130°．點(diǎn)睛：本題主要是根據(jù)折疊能夠發(fā)現(xiàn)相等的角，同時(shí)運(yùn)用了平行線的性質(zhì)．16．19800【解析】100條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，每個(gè)交點(diǎn)處有兩組對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角，故100條直線兩兩相交于一點(diǎn)共有4950×2＝9900（對(duì)）對(duì)頂角，有4950×4＝19800解析：19800【解析】100條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，每個(gè)交點(diǎn)處有兩組對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角，故100條直線兩兩相交于一點(diǎn)共有4950×2＝9900（對(duì)）對(duì)頂角，有4950×4＝19800（對(duì)）鄰補(bǔ)角，故答案為：9900，19800.17．40°【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)得出∠1=∠2，即可求出α的度數(shù)．【詳解】解：∵∠1與∠2是對(duì)頂角，，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=4解析：40°【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)得出∠1=∠2，即可求出α的度數(shù)．【詳解】解：∵∠1與∠2是對(duì)頂角，，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)以及角度的計(jì)算．18．①③④【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)小題進(jìn)行判斷：①利用平移前后對(duì)應(yīng)線段是平行的即可得出結(jié)果；②平移距離指的是對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度；③根據(jù)平移前后對(duì)應(yīng)線段相等即可得出結(jié)果；④利用梯形的面積公解析：①③④【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)小題進(jìn)行判斷：①利用平移前后對(duì)應(yīng)線段是平行的即可得出結(jié)果；②平移距離指的是對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度；③根據(jù)平移前后對(duì)應(yīng)線段相等即可得出結(jié)果；④利用梯形的面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵直角三角形ABC沿斜邊AC的方向平移到三角形DEF的位置，∴AB∥DE，∴∠ABC=∠DGC=90°，∴DE⊥BC，故①正確；△ABC平移距離應(yīng)該是BE的長(zhǎng)度，BE>4，故②錯(cuò)誤；由平移前后的圖形是全等可知：AC=DF,∴AC-DC=DF-DC,∴AD=CF,故③正確；∵△BEG的面積是4，BG=4，∴EG=4×2÷4=2，∵由平移知：BC=EF=12，∴CG=12-4=8，四邊形GCFE的面積：（12+8）×2÷2=20，故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平移的性質(zhì)，正確的掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．對(duì)頂角相等，AG，兩直線平行，同位角相等．【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義可得，再根據(jù)平行線的判定可得CH//AG,最后由兩直線平行、同位角相等即可證明．【詳解】解：證明：∵（已知）（對(duì)頂角相等）解析：對(duì)頂角相等，AG，兩直線平行，同位角相等．【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義可得，再根據(jù)平行線的判定可得CH//AG,最后由兩直線平行、同位角相等即可證明．【詳解】解：證明：∵（已知）（對(duì)頂角相等）∴（等量代換）∴（AG）（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：對(duì)頂角相等，AG，兩直線平行，同位角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義、平行線的性質(zhì)和判定定理等知識(shí)，靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)和判定定理是解答本題的關(guān)鍵．20．30°【分析】先由AB//CD得到∠CDB=∠ABD，∠C+∠ABC=180?,設(shè)出∠ABD=x°，依據(jù)“平分，”列出方程，求出∠ABD即可解決問題．【詳解】∵AB//CD∴∠ABD=x°解析：30°【分析】先由AB//CD得到∠CDB=∠ABD，∠C+∠ABC=180?,設(shè)出∠ABD=x°，依據(jù)“平分，”列出方程，求出∠ABD即可解決問題．【詳解】∵AB//CD∴∠ABD=x°，∠ABD，∠C+∠ABC=180?,平分，∴∠ABD=∠CBD∵，∴設(shè)∠ABD=x°，則∠CBD=x°，∠C=4x°，∴2x°+4x°=180°,解得，x=30∴∠ABD=30°，∴∠CDB=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，求出∠ABD=30°是解此題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）見解析；（2）∠1＞∠2＞∠3，理由見解析；（3）BE⊥AD，理由見解析【分析】（1）證明∠C+∠ADC=180°，再根據(jù)平行線的判定證明即可；（2）通過比較∠EBC、∠FBC、∠DBC的大小，再進(jìn)行等量代換即可；（3）設(shè)∠FBD=x°，則∠DBC=4x°，根據(jù)∠ABC=130°列出方程，求解即可．【詳解】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=50°，∴∠ADC=130°，∵∠C=50°，∴∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC；（2）∠1＞∠2＞∠3，∵AD∥BC，∴∠1=∠EBC，∠2=∠FBC，∠3=∠DBC，∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，∴∠1＞∠2＞∠3；（3）∵AD∥BC，∴∠1=∠EBC，∵AB∥CD，∴∠BDC=∠ABD，∵∠1=∠BDC，∴∠ABE=∠DBC，∵BE平分∠ABF，設(shè)∠FBD=x°，則∠DBC=4x°，∴∠ABE=∠EBF=4x°，∴4x+4x+x+4x=130°，∴x=10°，∴∠1=4x+x+4x=90°，∴BE⊥AD．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答．22．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由見解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α【分析】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=∠α-∠β；如圖所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=∠β-∠α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．23．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義即可得證；（2）過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再結(jié)合（1）的結(jié)論易得，利用角平分線的定義及垂線的定義即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴，∴．（2）解：過點(diǎn)作．∵，∴，∴，．由（1）得，∴．∵，∴，即，∴．∵平分，∴．又，，∴，∴．∵平分，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等內(nèi)容，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判斷，即可解答．（2）過P點(diǎn)作PN//AB，則PN//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PEA=∠NPE，進(jìn)而得到∠FPN=∠PFC；（3）令A(yù)B與PF交點(diǎn)為O，連接EFEF如圖3，在△GFE中，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P，得到∠PEA=∠PFC?α，即可解答.【詳解】解：（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（2）理由如下：過點(diǎn)作，則∴∵∴∵∴∴即.（3）令與交點(diǎn)為，連接如圖3，在中，，∵，，∴，∵由（2）知，∴，而，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．25．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；②當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠α?∠β【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，根據(jù)題意得出AD∥PE∥BC，從而利用平行線性質(zhì)可知=∠DPE，=∠CPE，據(jù)此進(jìn)一步證明即可；（2）根據(jù)題意分當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)兩種情況逐一分析討論即可.【詳解】（1）∠CPD=，理由如下：如圖3，過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC，PE∥AD，∴AD∥PE∥BC，∴=∠DPE，=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=，理由如下：如圖4，過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC，PE∥AD，∴AD∥PE∥BC，∴=∠EPD，=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE?∠EPD=；②當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=，理由如下：如圖5，過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC，PE∥AD，∴AD∥PE∥BC，∴=∠DPE，=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠α?∠β.【點(diǎn)睛】本題主要考查了在平行線性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.26．（1）證明見解析；（2）∠BCD＝108°；（3）70°【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠EDF＝∠DAB，由角平線的定義得出∠EDF＝∠FDC，最后根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行進(jìn)行求證；（2）設(shè)∠DCF＝x，則∠CFB＝1.5x，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠ABF＝1.5x，由角平分線的定義得出∠ABC＝3x，最后利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出關(guān)于x的方程，求解即可；（3）畫出圖形，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠CDF＝∠CBF，由角平分線的定義與已知條件可求出∠ABC與∠FDC，由平移的性質(zhì)與平行公理的推論得出AD∥PQ，最后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式求解．【詳解】解：（1）證明：∵AB∥DE，∴∠EDF＝∠DAB，∵DF平分∠EDC，∴∠EDF＝∠FDC，∴∠FDC＝∠DAB，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵，設(shè)∠DCF＝x，則∠CFB＝1.5x，∵CF∥AB，∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，∵AD∥BC，∴∠FDC+∠BCD＝180°，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝3x，∴∠BCF＝2x，∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如圖，∵∠DCF＝∠CFB，∴BF∥CD，∴∠CDF+∠BFD＝180°，∵AD∥BC，∴∠CBF+∠BFD＝180°，∴∠CDF＝∠CBF，∵AD，BE分別平分∠ABC，∠CDE，∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，∵∠F