內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁左翼中旗科爾沁左翼中旗?？档诙袑W(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

2023---2024年度第一學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)第二次月考試題一．選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）1.我國(guó)傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個(gè)圖案構(gòu)成這四個(gè)圖案中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念逐一判斷即可.【詳解】解：A選項(xiàng)：不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B選項(xiàng)：是中心對(duì)稱圖形,符合題意；C選項(xiàng)：不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D選項(xiàng)：不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握中心對(duì)稱圖形的概念．一個(gè)圖形繞著某固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能夠與原來的圖形重合，則稱這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形．2.等腰三角形的底和腰是方程的兩根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（

）A.8 B.8或10 C.10 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系以及因式分解法解一元二次方程，熟記三角形三邊關(guān)系以及因式分解法解一元二次方程的步驟是解題關(guān)鍵，還需要注意的是對(duì)等腰三角形腰長(zhǎng)和底的分類討論．【詳解】解：，，解得：或4，①當(dāng)?shù)妊切窝L(zhǎng)為2，底為4時(shí)，更多課件教案等低價(jià)滋源(一定遠(yuǎn)低于各大平臺(tái)價(jià)格)請(qǐng)家威杏MXSJ663，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切窝L(zhǎng)為4，底為2時(shí)，，，能構(gòu)成三角形．∴周長(zhǎng)為．故選：C．3.函數(shù)y＝﹣2x2先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得函數(shù)解析式是（）A.y＝﹣2（x﹣1）2+2 B.y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C.y＝﹣2（x+1）2+2 D.y＝﹣2（x+1）2﹣2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移方法“左加右減，上加下減”直接進(jìn)行求解即可．【詳解】解：拋物線y＝﹣2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），把（0，0）先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），所以平移后的拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的平移，熟記“左加右減，上加下減”是解決圖像平移的關(guān)鍵．4.已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()A. B. C. D.且【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根得出，求出不等式的解集，結(jié)合二次根式的意義求得答案即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，變?yōu)椋淮藭r(shí)方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，由題意知，，且，∴.綜上所述：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，故選：C.5.如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，連接，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出，，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求解．【詳解】解：由題意可得：將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟知旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．6.某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過兩次降價(jià)，每件零售價(jià)由元降為元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率，設(shè)每次降價(jià)的百分率為，下面所列的方程中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格（降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是，第二次后的價(jià)格是，據(jù)此即可列出方程．【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，由題意得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意并列出方程．7.拋物線和直線相交于兩點(diǎn)，，則不等式的解集是().A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】把不等式整理成，然后寫出直線在拋物線上方部分的的取值范圍即可．【詳解】解：由不等式得，∵兩函數(shù)圖象交點(diǎn)為，，，，，∴不等式的解集是．故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)求不等式的解集，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，則∠E的度數(shù)為（）A.45° B.50° C.55° D.60°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理.圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，而同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，所以在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.9.如圖，是等邊三角形，是邊上的一點(diǎn)，連接，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，，則的周長(zhǎng)是（）A.10 B.12 C.17 D.19【答案】B【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定，利用旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，得到線段相等，再結(jié)合題干條件，即可解題．【詳解】解：繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，的周長(zhǎng)為，故選：B．10.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①圓的每一條直徑都是它的對(duì)稱軸；②平分弦的直徑必定垂直于這條弦；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等．A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查判斷命題的真假，圓的對(duì)稱性，垂徑定理，圓周角定理．掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；故①是假命題；②平分弦（不是直徑）的直徑必定垂直于這條弦；故②是假命題；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故③是真命題；④在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，故④是真命題；故選C．11.已知二次函數(shù)，其函數(shù)值與自變量之間的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：012340點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由表格中的點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)開口方向和對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)圖象對(duì)稱性，得出結(jié)論．【詳解】解：從表中可知，二次函數(shù)過點(diǎn)，，，則有，，解得，，即二次函數(shù)為：，該二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線，∵，∴由二次函數(shù)對(duì)稱性得到，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，掌握二次函數(shù)圖象對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．12.如圖，、是圓O的直徑，且，，點(diǎn)M是上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③的最小值為4；④設(shè)為x，則，上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】①由，可得，據(jù)此根據(jù)圓周角定理即可得結(jié)論；②由點(diǎn)M是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，而的位置是確定的，因此不一定成立，可得結(jié)論；③由題意可得點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱，因此的最小值是在點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時(shí)取到，即的長(zhǎng)；④過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，利用解直角三角形可求得，利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：①，∴，，，故①正確；②點(diǎn)M是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，而確定，不一定成立，故②錯(cuò)誤；③∵，，，∴，，點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱，連接，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，的最小值是在點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時(shí)取到，即的長(zhǎng)，，，故③正確；④連接，∵，，則為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，過點(diǎn)C作于N，則，在中，以為底，邊上高為，，故④錯(cuò)誤；綜上分析可知，①③正確，共2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，最小值問題，等邊三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）13.已知A(a，1)與B(5，b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a﹣b=_____．【答案】﹣4【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是互為相反數(shù)，可得a、b的值，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則可得答案．【詳解】∵A（a，1）與B（5，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a=﹣5，b=﹣1，∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.教練對(duì)小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為，由此可知鉛球推出的距離是______m．【答案】10【解析】【分析】要求鉛球推出的距離，實(shí)際上是求鉛球的落腳點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故可直接令，求出x的值，x的正值即為所求．【詳解】在函數(shù)式中，令，得，解得，（舍去），∴鉛球推出的距離是10m．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，需要注意的是中3代表的含義是鉛球在起始位置距離地面的高度；當(dāng)時(shí)，x的正值代表的是鉛球最終離原點(diǎn)的距離．15.如圖，點(diǎn)A，B，C在上，．若點(diǎn)D為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），則度數(shù)為___________．【答案】或【解析】【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在劣弧上時(shí)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧上時(shí)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可知，當(dāng)點(diǎn)D在劣弧上時(shí)，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，已知弦，，，則半徑長(zhǎng)為___________.【答案】【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作直徑，連接，證明，根據(jù)勾股定理求出．【詳解】解：作直徑，連接，如圖所示：∵，而，∴，∴，∴，∵是直徑，∴，在中，，，∴，∴．故答案為：．17.如圖，在正方形中，，P為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線上一點(diǎn)，若，則的面積的最大值為________．【答案】16【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，作于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)易得，設(shè)，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出，由三角形面積公式得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過點(diǎn)P作于M，∵是正方形的對(duì)角線，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為16．故答案為：16．三．解答題（共9小題，共69分）18.解方程：（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小問1詳解】解：，∴，∴或，∴；【小問2詳解】解：，∴，∴或，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．19.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）寫出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍．【答案】（1）（2）對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3）函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍為【解析】【分析】（1）將和兩點(diǎn)代入二次函數(shù)，求得b和c；從而得出拋物線的解析式；（2）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，然后求出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）令，解得，，得出此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出當(dāng)函數(shù)值時(shí)，自變量x的取值范圍．【小問1詳解】解：由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點(diǎn)，得，解這個(gè)方程組，得：，拋物線的解析式為：；【小問2詳解】解：∵；∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【小問3詳解】解：令，得，解這個(gè)方程，得，，∴此二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的三種形式及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的三種形式及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）若是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和它的另一根；（2）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；【答案】（1）m的值為1，方程的另一根為3（2）見解析【解析】【分析】（1）把代入原方程求出m，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式解答；【小問1詳解】解：將代入原方程得：，解得：，∵方程的另一根為．∴m的值為1，方程的另一根為3．【小問2詳解】證明：．∵，即，∴無論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程（a，b，c為常數(shù)）根與系數(shù)的大小，根的判別式．當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．21.如下圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分．如果M是中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心O交圓O于點(diǎn)E，并且．求的半徑．【答案】【解析】【分析】連接CO，利用垂徑定理求解再令⊙O的半徑為rm，利用勾股定理建立方程求解半徑即可得到答案.【詳解】解：連接CO．∵M(jìn)是弦CD的中點(diǎn)，且EM經(jīng)過圓心O，∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2．在Rt△OCM中，令⊙O的半徑為rm，∵OC2＝OM2＋CM2，∴，解得：r＝．【點(diǎn)睛】本題考查是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握利用垂徑定理構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.22.在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上）；（1）作出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（_____），（______），（______）；（2）把向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫出；（3）與成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo)（________）．【答案】（1）作圖見解析；；；（2）見解析（3）【解析】【分析】此題考查中心對(duì)稱圖形的畫法，平移圖形的畫法，中心對(duì)稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，對(duì)稱中心的確定方法，正確掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，然后順次連接即可；（2）根據(jù)平移特點(diǎn)先作出點(diǎn)，，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，然后順次連接即可；（3）連接兩組對(duì)稱點(diǎn)的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出此點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：如圖，為所求作的三角形；根據(jù)圖可知，，，．故答案為：；；．【小問2詳解】解：如圖，為所求作的三角形；【小問3詳解】解：連接、，則、的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心，∵，，∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，即對(duì)稱中心的坐標(biāo)為．故答案為：．23.如圖，兩個(gè)等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）觀察猜想如圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）探究證明把△CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由．【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD；（2）成立，見解析【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)AE交BD于H．證明△ACE≌△BCD即可；（2）延長(zhǎng)AE交BD于H，交BC于O，只要證明△ACE≌△BCD，即可證明（1）中的結(jié)論還成立．【詳解】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)AE交BD于H．在△ACE與△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，∴∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，故答案為：AE＝BD，AE⊥BD；（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：如圖2中，延長(zhǎng)AE交BD于H，交BC于O．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE與△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD，∴AE＝BD，AE⊥BD，（1）中的結(jié)論還成立．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題．24.已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC，BD，CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5【解析】【分析】（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD＝CD＝5；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD＝OB＝OD＝5．【詳解】解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝∵AD平分∠CAB，∴，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直徑為10，則OB＝5，∴BD＝5．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．25.網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某公司在某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售板栗．已知板栗的成本價(jià)格為6元/，每日銷售量（）與銷售單價(jià)（元/）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于30元/．設(shè)公司銷售板栗的日獲利為（元）．（元/）789（）430042004100（1）請(qǐng)求出日銷售量y與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤(rùn)為多少元？（3）當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)時(shí)，日獲利不低于42000元？【答案】（1）；（2）銷售單價(jià)定為28元時(shí)，銷售這種板栗日獲利w最大，最大利潤(rùn)為48400元；（3）當(dāng)時(shí)，日獲利w不低于42000元【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；(2)由題意可得w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；(3)由題意可得w關(guān)于x的一元二次方程，求得方程的根，再結(jié)合x的取值范圍，可得答案．【小問1詳解】解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：，解得：，∴y＝﹣100x+5000；【小問2詳解】解：由題意得：w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）＝﹣100x2+5600x﹣30000＝﹣100（x﹣28）2+48400，∵a＝﹣100＜0，對(duì)稱軸為直線x＝28．∵6≤x≤30