高一-平面向量講義

平面向量講義§2.1平面向量的實際背景及基本概念1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的幾何表示：以A為起點，B為終點的向量記作________．3．向量的有關(guān)概念：(1)零向量：長度為__________的向量叫做零向量，記作______．(2)單位向量：長度為______的向量叫做單位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共線向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共線向量．①記法：向量a平行于b，記作________．②規(guī)定：零向量與__________平行．考點一向量的有關(guān)概念例1判斷下列命題是否正確，并說明理由．①若a≠b，則a一定不與b共線；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A、B、C、D四點是平行四邊形的四個頂點；③在平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④若向量a與任一向量b平行，則a＝0；⑤若a＝b，b＝c，則a＝c；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.變式訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．考點二向量的表示方法例2一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向向西偏北50°走了200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.考點三相等向量與共線向量例3如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)與a的模相等的向量有多少個？(2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？(4)請一一列出與a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的線性運算1．向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量________叫做a與b的和(或和向量)，記作__________，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則．對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點不共線，以______，______為鄰邊作__________，則對角線上的向量________＝a＋b，這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．2．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝______________.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝______________________.3.相反向量(1)定義：如果兩個向量長度________，而方向________，那么稱這兩個向量是相反向量．(2)性質(zhì)：①對于相反向量有：a＋(－a)＝______.②若a，b互為相反向量，則a＝________，a＋b＝______.③零向量的相反向量仍是__________．4.向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的___________________________________________________________________．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝__________.如圖所示．(3)幾何意義：如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為________，被減向量的終點為________的向量．例如：eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.5．向量數(shù)乘運算實數(shù)λ與向量a的積是一個__________，這種運算叫做向量的__________，記作________，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝__________.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當(dāng)時，與a方向相同,當(dāng)時，與a方向相反))；特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時，0a＝________或λ0＝________.6．向量數(shù)乘的運算律(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝____________.(3)λ(a＋b)＝____________.特別地，有(－λ)a＝____________＝________；λ(a－b)＝____________.7．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使______________．8．向量的線性運算向量的____、____、________運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________________.考點一運用向量加法法則作和向量例1如圖所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.變式訓(xùn)練1如圖所示，已知向量a、b、c，試作和向量a＋b＋c.考點二運用向量加減法法則化簡向量例2化簡：（1）eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).（4）(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．(5)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))；（6）(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．變式訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.變式訓(xùn)練3如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(DA,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求證：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up6(→)).考點三向量的共線例3設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝eq\f(1,2)變式訓(xùn)練4已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則()A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部C．P在AB邊上或其延長線上D．P在AC邊上考點四：三點共線例4兩個非零向量a、b不共線．(1)若Aeq\o(B,\s\up6(→))＝a＋b，Beq\o(C,\s\up6(→))＝2a＋8b，Ceq\o(D,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點共線；(2)求實數(shù)k使ka＋b與2a＋kb共線．變式訓(xùn)練5已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D變式訓(xùn)練6已知平面內(nèi)O，A，B，C四點，其中A，B，C三點共線，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則x＋y＝________.§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個______向量，那么對于這一平面內(nèi)的______向量a，__________實數(shù)λ1，λ2，使a＝____________________________.(2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)________向量的一組基底．2.兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個__________a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則________＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a與b的夾角．①范圍：向量a與b的夾角的范圍是______________．②當(dāng)θ＝0°時，a與b________.③當(dāng)θ＝180°時，a與b________.(2)垂直：如果a與b的夾角是________，則稱a與b垂直，記作______________．3．平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的正交分解：把一個向量分解為兩個__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個____________i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y使得a＝____________，則________________叫作向量a的坐標(biāo)，________________叫作向量的坐標(biāo)表示．(3)向量坐標(biāo)的求法：在平面直角坐標(biāo)系中，若A(x，y)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝________________________.4．平面向量的坐標(biāo)運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________，即兩個向量和的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________________________，即兩個向量差的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝________，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．5．兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)當(dāng)a∥b時，有______________________．(2)當(dāng)a∥b且x2y2≠0時，有____________________．即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例．6．若eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，則P與P1、P2三點共線．當(dāng)λ∈________時，P位于線段P1P2的內(nèi)部，特別地λ＝1時，P為線段P1P2的中點；當(dāng)λ∈________時，P位于線段P1P2的延長線上；當(dāng)λ∈________時，P位于線段P1P2的反向延長線上．考點一對基底概念的理解例1如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②變式訓(xùn)練1設(shè)e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2； ②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1； ④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是________．(寫出所有滿足條件的序號)考點二用基底表示向量例2如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b試用a，b表示eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).變式訓(xùn)練2如圖，已知△ABC中，D為BC的中點，E，F(xiàn)為BC的三等分點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→)).考點三平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求證：AP∶PM＝4∶1.變式訓(xùn)練3如圖所示，已知△AOB中，點C是以A為中點的點B的對稱點，eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，DC和OA交于點E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．考點四平面向量的坐標(biāo)運算例4已知平面上三點A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).變式訓(xùn)練4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq\f(1,2)a－eq\f(1,3)b.考點五平面向量的坐標(biāo)表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，試用a，b表示c.變式訓(xùn)練5設(shè)i、j分別是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐標(biāo)．考點六平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用例6已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求頂點D的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練6已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四個頂點的坐標(biāo)．考點七平面向量共線的坐標(biāo)運算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？變式訓(xùn)練7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？考點八平面向量的坐標(biāo)運算例8已知點A(3，－4)與點B(－1,2)，點P在直線AB上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，求點P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練8已知點A(1，－2)，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與a＝(2,3)同向，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(13)，求點B的坐標(biāo)．考點九利用共線向量求直線的交點例9如圖，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三點，點C在直線AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，連接DC，點E在CD上，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(ED,\s\up6(→))，求E點坐標(biāo)．§2.4平面向量的數(shù)量積1．平面向量數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量______________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為____．(3)投影：設(shè)兩個非零向量a、b的夾角為θ，則向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．2．?dāng)?shù)量積的幾何意義a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影________________的乘積．3．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝________(交換律)；(2)(λa)·b＝________＝________(結(jié)合律)；(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝____________.即兩個向量的數(shù)量積等于________________．5．兩個向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?________________.6．平面向量的模(1)向量模公式：設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝________________.(2)兩點間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________________________.7．向量的夾角公式設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ＝________＝__________.考點一求兩向量的數(shù)量積例1已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積．變式訓(xùn)練1已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).考點二求向量的模長例2已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.變式訓(xùn)練2已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.考點三向量的夾角或垂直問題例3設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．變式訓(xùn)練3已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時，向量ka－b與a＋2b垂直？考點四向量的坐標(biāo)運算例4已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.變式訓(xùn)練4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，則(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________.考點五向量的夾角問題例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．變式訓(xùn)練5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍．考點六向量數(shù)量積坐標(biāo)運算的應(yīng)用例6已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|與點D的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練6以原點和A(5,2)為兩個頂點作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求點B和eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)．§2.5平面向量應(yīng)用舉例1．向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(b≠0)?________?____________.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：a⊥b?__________?__________.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝_______________＝_______________.(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|＝______.2．力向量力向量與前面學(xué)過的自由向量有區(qū)別．(1)相同點：力和向量都既要考慮________又要考慮________．(2)不同點：向量與________無關(guān)，力和________有關(guān)，大小和方向相同的兩個力，如果________不同，那么它們是不相等的．3．向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的________運算，運動的疊加亦用到向量的合成．(3)動量mν是______________．(4)功即是力F與所產(chǎn)生位移s的________．考點一三角形問題例1點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點O是△ABC的()A．三個內(nèi)角的角平分線的交點B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點D．三條高的交點變式訓(xùn)練1在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A．2eq