北師大 八年級上冊 第1章 勾股定理 單元測試卷 （解析版）

第1章勾股定理單元測試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（）

A.7,24,25B.3—,4—15—

222

C.3,4,5D.4,7—,8—

22

2.如圖，以直角三角形4、氏C為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方

形，上述四種情況的面積關系滿足S|+S2=S3圖形的個數(shù)有（）

3.如圖，在平面直角坐標系中，點尸坐標為（-2,3）,以點。為圓心，以0P的長為半

徑畫弧，交x軸的負半軸于點A,則點A的橫坐標介于（）

A.-4和-3之間B.3和4之間C.-5和-4之間D.4和5之間

4.下列各命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的對應角相等

B.如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等

C.兩直線平行，同位角相等

D.如果兩個角都是45°,那么這兩個角相等

5.若AABC的三邊a、b、c滿足條件（a-b）（a2+b2-c2）=0,貝QABC為（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

6.如圖，在水塔。的東北方向32機處有一抽水站A,在水塔的東南方向24〃?處有一建筑工

則水管的長為（）

C.50mD.56m

7.如圖，在△ABC中，ZC=90°，AC=2,點。在上,ZADC=2ZB,AD=^,則

8c的長為（）

心1C.V5-1D.遙+1

8.直角三角形的周長為24,斜邊長為10,則其面積為（)

A.96B.49C.24D.48

9.小明準備測量一段河水的深度，他把一根竹竿豎直插到離岸邊1.5根遠的水底，竹竿高出

水面0.5m,把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（）

A.2/nB.2.5mC.2.25mD.3m

10.一個木工師傅測量了一個等腰三角形木板的腰、底邊和高的長，但他把這三個數(shù)據(jù)與其

它的數(shù)據(jù)弄混了，請你幫助他找出來，是第（）組

A.13,12,12B.12,12,8C.13,10,12D.5,8,4

BC上的中線4。=6,BC的長是（）

C.2/61D.6

12.如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12c/n,底面周長為lOc/n,在容

器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上

沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是()

B.13cmC.2V61c/nD.2聲誦

二、填空題(共6小題).

13.平面直角坐標系中，已知點A(-1,-3)和點B(l,-2),則線段AB的長為

14.若直角三角形的兩直角邊長為“、b,且滿足，a2-6a+9+lb-4|=0,則該直角三角形的

斜邊長為.

15.如圖，△A8C中，ZB=90°,AB=2?,BC=2,AD=CD=^,則NZMC=

16.如圖，把一張長方形紙片ABC。折疊起來，使其頂點C與A重合，折痕為EF.若AB

=1,BC=2,則AB長為

17.觀察下列一組數(shù)：

列舉：3、4、5,猜想：32=4+5；

列舉：5、12、13,猜想：52=12+13；

歹IJ舉：7、24、25,猜想：72=24+25；

列舉:13、b、c,猜想：132=b+c；

請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結合相關知識求得6=,c=.

18.在△ABC中，AB=2料，BC=\,ZABC=45Q,以AB為一邊作等腰直角三角形ABD,

使/AB￡)=90°,連接CC,則線段CO的長為.

三、解答題（共14分，每小題7分）

19.如圖，在△A8C中，AD±BC,AD=U,80=16,CD=5.求：△ABC的周長.

20.如圖，在一棵樹的10米高8處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C,

而另一只爬到樹頂。后直撲池塘C,結果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？

四.解答題（共40分，每小題10分）

21.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫格點，以格

點為頂點按下列要求畫圖：

（1）在圖中畫一條線段使萬；

（2）在圖中畫一個三邊長均為無理數(shù)，且各邊都不相等的直角△OEF.

②

22.如圖，已知四邊形ABC。中，NB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊

形ABC。的面積.

23.小明和小亮在同一所學校上學，放學后，小明先向東走1800米，再向南走200米到家,

小亮先向北1000米，再向東走200米到家，根據(jù)題意，先畫出示意圖，再計算小明家和

小亮家的距離.

24.如圖，A、8兩個村子在河8的同側，A、8兩村到河的距離分別為AC=lhw,BD=

3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊CO上建一水廠分別向A、8兩村輸送自來水，鋪設水管的費

用為20000元/千米.

（I）請你在河CD邊上作出水廠位置O,使鋪設水管的費用最省;

（2）求出鋪設水管的總費用.

B

月

c\D

五、解答題（共24分，每小題12分）

25.如圖，己知△OMN為等腰直角三角形，NMON=90°,點B為NM延長線上一點，0C

_LOB,且OC=OB,連CM

(1)求證：CN-BM-,

(2)作NBOC的平分線交MN于A,求證：AN2+BM2=AB2.

26.閱讀下面的情景對話，然后解答問題:

（1）①根據(jù)“奇異三角形”的定義，請判斷小紅提出的命題是否正確，并填空（填

“正確”或“不正確”）；

②若某三角形的三邊長分別是2、4、氏,則該三角形（是或不是）奇異三角

形；

（2）若RtZiABC是奇異三角形，且其兩邊長分別為2、2&,則第三邊邊長為；

且此直角三角形的三邊之比為（請按從小到大排列，不得含有分母）；

Q

（3）在中，ZACB=90.AB=cfAC=b,BC=a,且b>a,若RtZ\A8C是

奇異三角形.求〃：b：c.

參考答案

一、選擇題(共12小題).

1.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是()

A.7,24,25B.3—,4—,5—

222

C.3,4,5D.4,7—,8—

22

解：A、=72+242=252,.?.能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

'：(3-1)2+(4-1)2#(55)2,.?.不能組成直角三角形,故本選項符合題意;

222

C、?.?32+42=52,.?.能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

D,V42+(7/)2=(8/)2,.?.能組成直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：B.

2.如圖，以直角三角形4、氏C為邊，向外作等邊三角形，半E機等腰直角三角形和正方

形，上述四種情況的面積關系滿足S+S2=S3圖形的個數(shù)有()

勺岳等00

S3

A.1B.2C.3D.4

解：(1)S[=?J52=近從$3=返2,

444

*/a2+b2=c2,

...：^2+：^2=叵2,

444

.??S1+S2=S3.

/八c兀1c兀Qc兀1

(2)Si=?g島Sz=：按,S3=-wc~,

Va2+b2=c2,

.\S1+S2=S3.

a2+b2=c2,

.?工+工2=12,

444

.??S1+S2=S3.

(4)S\=a2,S2=b2,S3=d,

212

■:a+b=c9

?\S]+S2=Sy.

綜上，可得

面積關系滿足51+52=53的圖形有4個.

故選：D,

3.如圖，在平面直角坐標系中，點尸坐標為(-2,3),以點。為圓心，以。尸的長為半

A.-4和-3之間B.3和4之間C.-5和-4之間D.4和5之間

解：???點尸坐標為(-2,3),

?*-op=yj(-2)2+32=后,

?.?點A、P均在以點。為圓心，以0P為半徑的圓上，

V9<13<16,

?官〈JI"

?.?點A在x軸的負半軸上，

，點A的橫坐標介于-4和-3之間.

故選：A.

4.下列各命題的逆命題成立的是()

A.全等三角形的對應角相等

B.如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等

C.兩直線平行，同位角相等

D.如果兩個角都是45°,那么這兩個角相等

解：A、逆命題是三個角對應相等的兩個三角形全等，錯誤；

8、絕對值相等的兩個數(shù)相等，錯誤；

C、同位角相等，兩條直線平行，正確；

D、相等的兩個角都是45°,錯誤.

故選：C.

5.若△A8C的三邊“、b、c滿足條件(a-b)(a2+b2-c2)=0,則△ABC為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

解：：(a-b)(a2+b2-c2)—0,

:.a=b或c^+h^—c1.

當只有“=b成立時，是等腰三角形.

當只有第二個條件成立時：是直角三角形.

當兩個條件同時成立時：是等腰直角三角形.

故選：C.

6.如圖，在水塔O的東北方向32〃7處有一抽水站A,在水塔的東南方向24〃?處有一建筑工

地B,在4B間建一條直水管，則水管的長為()

C.50/HD.56m

解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角,

AZAOB=90°,

又OA=32/w,OB=24m，

；?AB=VOA2+OB2=40W-

故選：B.

7.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,點。在BC上，ZADC=2ZB,AD=后,則

BC的長為()

C-V5-1D.依+1

解：；/AOC=2/B,NADC=NB+NBAD,

：.NB=ZDAB,

???DB—DA=

在RtZXAQC中，

DC=7AD2-AC2=<5-4=1,

.?.8。=遙+1.

故選：D.

8.直角三角形的周長為24,斜邊長為10,則其面積為（）

A.96B.49C.24D.48

解：直角三角形的周長為24,斜邊長為10,則兩直角邊的和為24-10=14,

設一直角邊為x,則另一邊14--

根據(jù)勾股定理可知：N+(14-x)2=100,

解得x=6或8,

所以面積為6X8+2=24.

故選：C.

9.小明準備測量一段河水的深度，他把一根竹竿豎直插到離岸邊1.5m遠的水底，竹竿高出

水面05”,把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（）

A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m

解：若假設竹竿長x米，則水深（x-0.5）米，由題意得，

x2=1.52+（x-0.5）2解之得,%—2.5

所以水深2.5-0.5=2米.

故選：4

X\V-05

10.一個木工師傅測量了一個等腰三角形木板的腰、底邊和高的長，但他把這三個數(shù)據(jù)與其

它的數(shù)據(jù)弄混了，請你幫助他找出來,是第()組

A.13,12,12B.12,12,8C.13,10,12D.5,8,4

解:4、132Kl22+62,錯誤;

B、122r82+62,錯誤；

C、132=122+52,正確;

D.52^42+42,錯誤.

故選：C.

上的中線AO=6,BC的長是（）

A.13B.12C.2-761D.6

解：延長到E,使OE=A￡),連接BE.

'AD=ED

在△AOC與中，<NADC=NEDB，

,CD=BD

:.XADgXEDB(SAS),

：.AC=BE=l?>.

在△ABE中，AB=5,AE=12,BE=13,

.,.ZBA￡=90°.

在△A3。中，ZBAD=90°,AB=5,40=6,

BD=VAB2+AD2=:V61,

?#-BC=2\6]?.

故選：C.

、\、?\??

-%

12.如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm,底面周長為10c〃?，在容

器內壁離容器底部3c〃?的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上

沿3c機的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是()

螞如K\

A.B.13cmC.D.2V31C7W

解：如圖：

?.?高為12c機，底面周長為10cm,在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，

此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，

：.A'D=5(cm),BD=\2-3+AE=}2(cm),

將容器側面展開，作A關于E尸的對稱點A',

連接A'B,則A'8即為最短距離，

A'D2+BD2=VB2+122=13(cm).

故選：B.

二、填空題(每小題4分，共24分)

13.平面直角坐標系中，已知點A(-1,-3)和點8(1,-2),則線段AB的長為_代_.

解：?.?點A(-1,-3)和點B(1,-2),

?**AB=7(-1-1)2+(-3+2)2=V5-

故答案為述.

14.若直角三角形的兩直角邊長為“、b,且滿足Ja2_6a+9+|b-4|=0,則該直角三角形的

斜邊長為5.

解：vVa2-6a+9+|b-4|=0'

/.a2-6〃+9=0,b-4=0,

解得a=3,b=4,

??,直角三角形的兩直角邊長為〃、b,

22

該直角三角形的斜邊長=7a+b=正+42=5.

故答案是：5.

15.如圖，/XABC中，ZB=900,A8=2&,BC=2,AD=CD=^則/如AC=45°.

解：在Rt/VLBC中，ZB=90°,AB=2近,BC=2,

'?AC=JAB2+BC2=<8+4=2V3>

在△AOC中，AD=CD=A

4C2=12=4￡>2+C￡>2=6+6,

...△4OC為直角三角形，ZD=90°,

：.ZDAC=ZDCA=45°.

故答案為：45°.

16.如圖，把一張長方形紙片ABCQ折疊起來，使其頂點C與A重合，折痕為EF.若A8

=1,BC=2,則AF長為_±_.

解：；四邊形A3。是矩形，

：.ZB=90°,

由折疊可得，AF=FC,

?AF=x,貝ijBF=2-x,

在中，AB2+BF1=AF1,

即以+(2-x)

解得：x=W，

4

：.AF^—,

4

故答案為：

4

17.觀察下列一組數(shù)：

列舉：3、4、5,猜想：32=4+5；

列舉：5、12、13,猜想:52=12+13；

歹U舉：7、24、25,猜想：72=24+25；

列舉：13、〃、c,猜想：132=b+c；

請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結合相關知識求得力=84,c=85

解：在32=4+5中，4=$1工，5=鏟+1:

22

在52=12+13中，12=57,13=$_」口_；

22

則在13、b、c中，〃=宜二L=84,C=]+]=85.

22

18.在AABC中，AB=2近,BC=],NABC=45°,以A8為一邊作等腰直角三角形

使N4BO=90°,連接C￡>,則線段CD的長為_遍或/

解：①如圖1,點4、。在BC的兩側，;△AB。是等腰直角三角形，

.'.AD=y/^AB—y/2>:-2y[2=4,

VZABC=45°,

：.BE=DE=—AD=--X4=2,BEA.AD,

22

'：BC=\,

：.CE=BE-BC=2-1=1,

在Rt/XCDE中，CD-VCE2+DE2~Vl2+22~VS：

②如圖2,點A、。在BC的同側，：△ABO是等腰直角三角形，

:.BD=AB=2瓜

過點D作DELBC交BC的反向延長線于E,則△B0E是等腰直角三角形,

，DE=BE=返義2&=2,

：.CE=BE+BC=2+l=3,

在Rt/\CDE中,。。="比2+DE2r+22=而§,

綜上所述，線段CZ）的長為爬或后.

故答案為：,\/13-

三、解答題（共14分，每小題7分）

19.如圖，在△ABC中，AD±BC,AD=\2,BD=16,CD=5.求：ZiABC的周長.

A

222222

根據(jù)勾股定理得：AB=AD+BDfAC=AD-^CDf

AAfi=V162+122=20'AC={122+52=3

二△ABC的周長=A8+AC+8C=A8+AC+8D+￡)C=20+13+16+5=54,即aABC的周長是

54.

20.如圖，在一棵樹的10米高8處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C,

而另一只爬到樹頂。后直撲池塘C,結果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？

解：設B￡)=x米，貝I」A￡)=(10+x)米，CD=(30-x)米，

根據(jù)題意，得：

(30-x)2-(x+10)2=202,

解得x=5.

即樹的高度是10+5=15米.

四.解答題(共40分，每小題10分)

21.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫格點，以格

點為頂點按下列要求畫圖：

(1)在圖中畫一條線段MN,使

(2)在圖中畫一個三邊長均為無理數(shù)，且各邊都不相等的直角△￡>￡￡

解：如圖所示:

M

②

22.如圖，已知四邊形ABCO中，ZB=90°,48=3,BC=4,CD=\2,AO=13,求四邊

...△4BC為直角三角形，

又；AB=3,BC=4,

根據(jù)勾股定理得：AC=J7訪刖=5，

又,：CD=12,40=13,

AU=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

：.CD2+AC2=AD2,

.?.△AC。為直角三角形，ZAC￡>=90°,

貝！1S四邊彩ABC"=SAABC+SAACO=-^-AB?8C+^4C?CZ)="^X3X4+^"X5X12=36.

故四邊形ABC。的面積是36.

23.小明和小亮在同一所學校上學，放學后，小明先向東走1800米，再向南走200米到家,

小亮先向北1000米，再向東走200米到家，根據(jù)題意，先畫出示意圖，再計算小明家和

小亮家的距離.

解：如圖所示：ABLBC,

由題意可得：AB=\200m,BC=\60Qm,

故ACRAB?+BC2=200。(山)?

答：小明家和小亮家的距離為2000,".

?°叫小亮家

A-：\

.、、

*?6、

a、

、、

(、

1000泄:\

*：1800m200m

B..................扁家

24.如圖，A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=lh〃，BD=

3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊CO上建一水廠分別向A、8兩村輸送自來水，鋪設水管的費

用為20000元/千米.

(1)請你在河CD邊上作出水廠位置O,使鋪設水管的費用最省；

(2)求出鋪設水管的總費用.

B

c\D

解：(D①水廠位置。如圖所示；

(2)如圖，作出以A'B為斜邊的直角三角形,

\*AC=\km,BD=3kmfCD=3km,

；.A'E=CD=3km,3E=3+1=4切?

由勾股定理得，A1B=I/32+42=5km,

20000X5=100000元.

答：鋪設水管的總費用100000元.

五、解答題(共24分，每小題12分)

25.如圖，已知為等腰直角三