初中數(shù)學(xué)幾何模型匯總-六 對(duì)角互補(bǔ)模型

數(shù)學(xué)模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

旋轉(zhuǎn)型

類型一(“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型))

已知直角AABC和等腰直角△DBC,則AB+AC=V2AD.

B

1.如圖1,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,BA=BC,直線MN是過點(diǎn)A的直線

CD1MN于點(diǎn)D,連接BD.

(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)

系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點(diǎn)B作BELBD,交MN于點(diǎn)E,

進(jìn)而得出：DC+AD=BD.

(2)探究證明

將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段DC,AD,BD之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明

(3)拓展延伸

在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)4ABD面積取得最大值時(shí)，若CD長為1,請(qǐng)

直接寫B(tài)D的長.

【答案】⑴血；(2)AD-DC=72BD；(3)BD=AD=V2+1.

【解析】

【分析】（I）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系

（2）過點(diǎn)B作BELBD,交MN于點(diǎn)E.AD交BC于0,

證明ACD3/AAE3,得到CD=AE,EB=BD,

根據(jù)MED為等腰直角三角形，得到。七=近8。，

再根據(jù)OE=AO-AE=AD—CD,即可解出答案.

（3）根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在

AB的右側(cè)時(shí)，AABD的面積最大.

在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證

由比＞=AD即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖1中，

由題意：\BAE^\BCD,

，AE=CD,BE=BD,

CD+AD=AD+AE=DE,

?；ABOE是等腰直角三角形,

ADE=V2BD,

/.DC+AD=V2BD,

故答案為也.

（2）AD-DC=0BD.

證明：如圖，過點(diǎn)B作BELBD,交MN于點(diǎn)E.AD交BC于O.

...ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,

...ZABE=NCBD.

?:NBAE+NAOB=90°,NBCD+/COD=90。,ZAOB=ZCOD,

：.NBAE=ZBCD,

：.ZABE^ZDBC.又<AB=CB,

：.LCD噲MEB,

:.CD=AE,EB=BD,

AfiD為等腰直角三角形，DE=6BD.

"：DE=AD-AE=AD—CD,

:.AD-DC=6BD.

（3）如圖3中，易知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上

且在AB的右側(cè)時(shí);AABD的面積最大.

圖3

此時(shí)DG_LAB,DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證

CH=AH=血，

AD=0+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)

用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵.

類型二(“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側(cè)型))

已知直角AABC和等腰直角△DBC,則AB-AC=&AD.

-R---------------

2.已知:AABC中，CA=CB,ZACB=90°,D為^ABC外一點(diǎn)，且滿足

ZADB=90°

(1)如圖所示，求證：DA+DB=72DC

占C

D

(2)如圖所示，猜想DA.DB.DC之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

c

D

(3)如圖所示，過C作CH_LBD于H,BD=6,AD=3,則CH=:

3

【答案】（1）詳見解析；（2）DA-DB=0DC；（3）-

【解析】

【分析】（1）過C點(diǎn)作CQ_LCD交DB的延長線于Q點(diǎn)，由余角的性質(zhì)可得

NACD=NQCB,ZADC=ZQ,由“A4S'可證△ACDgaBC。，可得CD^CQ,AD=BQ,

由等腰直角三角形性質(zhì)可得。。=夜C。，即可得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作CQLCO交A。于點(diǎn)Q,由“SAS'可證△4C。絲△8CO,可得

AQ=BD,可證CQ=CO,且NQCO=90。，即可得D4、DB、QC之間關(guān)系；

（3）過點(diǎn)C作CQ_LCD交8。于點(diǎn)Q,由“SAS'可證△4C￡>ZZ\BC。，可得

AD=BQ,可證△OCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求C”的

長.

【詳解】證明：（1）如圖，過C點(diǎn)作C。，CD交08的延長線于。點(diǎn)

ZACB=90°,CQLCD,ZADB=9Q°

：.ZACD+ZDCB=90°,ZDCB+ZQCB=90°,ZADC+ZCDQ^90°,

ZCDg+Z(2=90°

:.NACANQCB,ZADC=ZQ,且AC=BC

A(AAS)

：.CD=CQ,AD=BQ

：.DQ=DB+BQ=DB+AD

"：CDLCQ,ZDCQ=90°

:.DQ=QCD

：.DB+AD=42CD

(2)DA-DB=yf2CD

理由如下：如圖，過點(diǎn)C作CQ_LC。交AD于點(diǎn)Q,

'：CA=CB,NACB=90。，

ZABC=ZCAB=45°

?.,NACB=90。，QCLCD

：.NACB=N4DB=90。，

.?.點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)。，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

，ZADC=ZABC=45°

"：QCLCD

：.NCQD=/CDQ=45。

：.CQ=CD,且NQCO=90。

：.QD==y/2CD

ZACB=ZDCQ=90°,

：.ZACQ^ZDCB,MAC=BC,CQ=CD

：./XACQ^^BCD(SAS)

：.AQ=BD

，QD=V2CD^DA-AQ^DA-BD,

即：DA-DB=6DC

（3）如圖，過點(diǎn)。作CQ_LC￡＞交8。于點(diǎn)。,

?.?NACB=90。，QC^CD

：.ZACB=ZADB=90°,

.?.點(diǎn)A,點(diǎn)8,點(diǎn)C,點(diǎn)。四點(diǎn)共圓，

/.ZCDQ=ZCAB=45°

\'QCLCD

：.ZCQD=ZCDQ=45°

：.CQ=CD,且NQC￡>=90。

.,.△Dee是等腰直角三角形，

,?NAC3=NOCQ=90。，

AZACD=ZQCB,KAC=BC,CQ=CD

：./\ACD^/\BCQ(SAS)

：.AD=BQ,

：.DQ=DB-BQ=DB-AD=3

??,△OCQ是等腰直角三角形，DQ=3,CHLDB

：.CH=DH=HQ=JDQ=1.

3

故答案啊.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形

的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

類型三“等邊三角形對(duì)120。模型”.

△ABC是等邊三角形，ZBPC=120°,則有PB+PC=PA；

類型四“120。等腰三角形對(duì)60。模型

△ABC是等腰三角形，且NBAC=120。，NBPC=60。，則有PB+PC=&PA；

3.例：截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難

為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過

延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,AABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),NBDC=120。,探索

線段。A、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：將△A3。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△人(7￡可得AE=AD,CE=BD,

ZABD=ZACE,ZDAE=60°,根據(jù)N5AC+NBOC=180。，可知

ZABD+ZACD=\SQ°,則ZACE+ZACD=\S0°,易知△ADE是等邊三角形，所以

AD^DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段D4、DB、0c之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)。是邊8c下方一點(diǎn)，

ZBDC=90°,探索三條線段OA、DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1圖2

【答案】⑴DA=DB+DC;⑵0DA=DB+DC,證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)60?？傻肅E=BD,ZABD^ZACE,NZME=60。，根據(jù)

NZMC+N80c=180°,可知NA6￡)+NACO=180°,則ZACE+ZACD=\80°,易知

△ADE是等邊三角形，所以從而解決問題.

⑵延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE,由已知可得NA5O+NAC￡>=180°,根據(jù)

NACE+NACO=180°,可得ZAB￡>=NACE,可證△ABDMAACE,進(jìn)而可得AD=AE,

/RM)=NC4E,可得NZME=NBAC=90°,由勾股定理可得：DA2+AE2=DE2

行等量代換可得結(jié)論.

【詳解】⑴結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：?.'△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到aACE,

AAE=AD,CE=BD,NABD=NACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.?.NABD+NACD=180。，

.,.ZACE+ZACD=180°,

.?.D,C,E三點(diǎn)共線，

VAE=AD,ZDAE=60°,

.?.△ADE是等邊三角形，

；.AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

⑵結(jié)論：>/2DA=DB+DC,

證明如下:

如圖所示，延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE,

,/ABAC=90°,NBDC=90°,

ZAB。+NACO=180°,

,/ZACE+ZACD=1SO°,

：.ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

，△ABDMAACE(SAS),

/.AD=AE,NBAD=NCAE,

ZDAE=ZBAC^90\

DA2+AE2^DE2,

：.2DA2^(DB+DC)\

：.72DA=DB+DC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了截長補(bǔ)短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)

系，正確作出輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180。，點(diǎn)E,F分別在四

邊形ABCD的邊BC,CD上，ZEAF=yZBAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系.

A

(1)思路梳理

將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AADG,使AB與AD重合，由NB+/ADC=180。，

得NFDG=180°,即點(diǎn)F,D,G三點(diǎn)共線，易證AAFG之△AFE,故EF,BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系為

(2)類比引申

如圖2,在圖1的條件下，若點(diǎn)E,F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊

CB,DC延長線上，ZEAF=yZBAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)

量關(guān)系，并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E均在邊BC上，且

NDAE=45。，若BD=1,EC=2,直接寫出DE的長為.

【答案】(1)EF=BE+DF；(2)EF=DF—BE；證明見解析；(3)亞.

【解析】

【分析】(1)將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至aADG,使AB與AD重合，首先證明

F,D,G三點(diǎn)共線，求出NEAF=NGAF,然后證明AAFG四Z\AFE,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)解答；

(2)將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到AADE,首先證明

E',D,F三點(diǎn)共線，求出NEAF=NEAF,然后證明△AFEZaAFE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)解答；

(3)將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AACD,使AB與AC重合，連接ED,同

(1)可證AAED之AED,求出NECD&90。，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)將4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AADG,使AB與AD重合，

VZB+ZADC=180°,

ZFDG=180°,即點(diǎn)F,D,G三點(diǎn)共線,

VZBAE=ZDAG,ZEAF=-ZBAD,

2

/.ZEAF=ZGAF,

AE=AG

在AAFG和AAFE中，＜ZEAF=ZGAF,

AF=AF

.'.△AFG^AAFE,

.?.EF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE；

證明：將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到AADE,則

△ABEgADE',

.?.NDAE'=NBAE,AE'=AE,DE'=BE,ZADE'=ZABE,

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

AZADE'=ZADC,即E,D,F三點(diǎn)共線，

ZEAF=-ZBAD,

2

.\ZE'AF=ZBAD-(ZBAF+ZDAE')=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=

NBAD-NEAF=-ZBAD,

2

.?.NEAF=NE'AF,

AE=AE'

在AAEF和AAE'F中，JZEAF=ZE'AF,

AF=AF

/.△AFE^AAFE'(SAS),

...FE=FE',

又?.?FE'=DF—DE',

...EF=DF-BE；

(3)將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AACD，，使AB與AC重合，連接ED,

同(1)可證△AEDgAED',

/.DE=D'E.

ZACB=NB=ZACD'=45°,

.?.NECD'=90°,

在RSECD'中，ED'=V￡C2+D,C2=y]EC2+BD2=^5即DE=6,

故答案為：y/5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，靈活運(yùn)用利用旋轉(zhuǎn)變換作圖、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

構(gòu)造全等型

類型五-全等型90°

條件：①NAOB=NDCE=90。，②OC平分NAOB

2

結(jié)論：①CD=CE；②OD+OE=0OC；(3)SADCE=SAOCD+SAOCE=OC

輔助線的做法，可有下面兩種方法來證明.

當(dāng)C與AO的延長線相交時(shí)，也是相同的方法.

2

結(jié)論變：①CD=CE；?OE-OD=V2OC；@SAOCE-SAOCD=yOC

5探究：如圖1和2,四邊形ABC。中，已知AB=AD,N84Z)=90。，點(diǎn)E,尸分

別在8C、CO上，ZE4F=45°.

(1)①如圖1,若￡)8、NADC都是直角，把ZiABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至

△ADG,使4B與4)重合，則能證得￡F=BE+DF,請(qǐng)寫出推理過程；

②如圖2,若D8、NO都不是直角，則當(dāng)￡>8與ZD滿足數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍

有EF=BE+DF；

(2)拓展：如圖3,在△A5C中，N84C=9Oo,A5=AC=20，點(diǎn)。、E均在邊

【答案】(1)①見解析；②NB+N￡>=180°,理由見解析?；(2)力E=|

【解析】

【分析】(I)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,求出

NEAF=NGAF=45。，根據(jù)SAS推出△EAF04GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

EF=GF,即可求出答案；

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,NB=NADG,ZBAE=ZDAG,求出C、D、

G在一條直線上，根據(jù)SAS推出AEAF絲Z\GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF

=GF,即可求出答案；

(2)根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出NABC=NC=45。，BC=4,根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE,ZFBA=ZC=45°,NBAF=NCAE,求出NFAD=

ZDAE=45°,證△FADgaEAD,根據(jù)全等得出DF=DE,設(shè)DE=x,則DF=

x,BF=CE=3-x,根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可.

【詳解】(1)①如圖1,

,/把/XABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AAOG,使A3與AD重合,

/.AE=AG,ZBAE=/DAG,BE=DG

,：/BAD=90°,NEAF=45°,

/.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即N￡4E=NG4E=45。，

在△外/和AGAF中

AF=AF

<NEAF=NGAF

AE=AG

^EAF^GAF(SAS),

/.EF=GF,

"：BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

②/B+NO=180°,

理由是：

把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AADG,使AB和AD重合,

則AE=AG,ZB^ZADG,NBAE=NDAG,

,/ZB+ZADC=180°,

ZADC+ZADG=180°,

：.C,D,G在一條直線上，

和①知求法類似，N￡AF=NG4E=45。，

在△外/和AGAF中

AF=AF

<ZEAF=NGAF

AE=AG

：.^EAF^AGAF(SAS),

，EF=GF,

?；BE=DG,

:.EF=GF=BE+DF；

故答案為：ZB+ZD=180°

(2)?.?△ABC中，A3=AC=20，ZBAC^90

：.ZABC=ZC=45°,由勾股定理得：

BC=1AB?+AC?="(2揚(yáng)2+(2揚(yáng)2=4，

把AAEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB,使AB和AC重合，連接DF.

則AF=AE,NKB4=NC=45。，ZBAF=ZCAE,

?；ZZXE=45。，

/.ZFAD=ZFAB+ABAD=Z.CAE+ABAD=ABAC-ADAE=90°-45°=45°,

：.ZFAD=ZDAE=45°,

在△E4￡>和AEAO中

'AD=AD

?ZFAD=NEAD

AF^AE

：./\FAD^/\EAD,

：.DF^DE,

設(shè)DE=x,則DF=x,

,?BC=1,

BF=CE=A-\-x=3-x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

/.NFBD=90。,

由勾股定理得：DF2^BF2+BD2,

x2=(3-x)2+12,

解得：x=g，

即。E=3.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此

題是開放性試題，首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生

的分析問題，解決問題的能力要求比較高.

類型六-全等型120°

條件：①NAOB=2NDCE=120。，②OC平分/AOB

2

結(jié)論：①CD=CE；?OD+OE=OC；?SADCE=SAOCD+SAOCE=—OC

4

證明提示：①可參考“全等型-90?！弊C法一；

②如圖：在OB上取一點(diǎn)F,使OF=OC,證明△OCF等邊三角形.

6.如圖，已知乙4。3=60。，在NAOB的角平分線上有一點(diǎn)C,將一個(gè)120。

角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與射線OAOB相交于點(diǎn)。,￡

國3

roiraz

（1）如圖1,當(dāng)NDCE繞點(diǎn)、C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，請(qǐng)猜想OD+OE與0C的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)NOCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CO與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)

論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。位于OA的反向延長線上時(shí)，求線段

OROE與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

【答案】（1）OD+OE=y/3OC,見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）

OE-OD=^OC

【解析】

【分析】（1）先判斷出NOCE=60。，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD=BOC,

2

同OE=3oc,即可得出結(jié)論；

2

（2）同（1）的方法得0F+0G=60C,再判斷出△CFDgZSCGE,得出DF=EG,

最后等量代換即可得出結(jié)論；

（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）QOM是NAOB的角平分線

ZAOC=NBOC=-NAOB=30°

2

■.CD1OA,：.ZODC=90°,.-.ZOCD=60°

ZOCE=ZDCE-ZOCD=60°

在肋AOCD中，OO=OCcos30°=正OC,

2

同理：OE=^OC

2

OD+OE=j3OC

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：

過點(diǎn)。作C「_LQ4于尸，CG_LQB于G

:.ZOFC=ZOGC=90°

vZAO5=60°

.-.ZFCG=120°

由（1）知，OF^—OC,OG^—OC

22

OF+OG=yf3OC

：CF1OA,CG1OB,且點(diǎn)。是ZAOB的平分線OM上一點(diǎn)

:.CF=CG

\ZDCF=120°,ZFCG=120°

.../DCF=ZECG,\CFDMACGE

:.DF=EG

：.OF=OD+DF^OD+EG,OG=OE-EG

OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE

：.OD+OE=y[3OC

（3）結(jié)論為：OE-OD=y/3OC.

理由：過點(diǎn)C作CFLOA于F,CGLOB于G,

.?.ZOFC=ZOGC=90°,

VZAOB=60°,

/.ZFCG=120°,

同（1）的方法得，OF=且OC,OG=也OC,

22

.?.OF+OG=GOC,

VCF1OA,CG1OB,且點(diǎn)C是/AOB的平分線OM上一點(diǎn),

，CF=CG,VZDCE=120°,ZFCG=120°,

/.ZDCF=ZECG,

.".△CFD^ACGE,

，DF=EG,

Z.0F=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

，OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,

/.OE-OD=V3OC.

【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

7.如圖，一傘狀圖形，己知408=120。，點(diǎn)P是NAO3角平分線上一點(diǎn)，且

OP=2,/MPN=60。,PM與0B交于點(diǎn)F,PN與OA交于點(diǎn)E.

（1）如圖一，當(dāng)PN與P。重合時(shí)，探索PF的數(shù)量關(guān)系

（2汝口圖二，將NMPN在（1）的情形下繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（0<&<60。），繼續(xù)探

縈PE,尸產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系，并求四邊形OE"的面積.

【答案】（1）PE=PF,證明詳見解析；（2）PE=PF,M

【解析】

【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到NPOF=60°,推出4PEF是等邊三角形，得到

PE=PF；

（2）過點(diǎn)P作PQLOA,PHLOB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PQ=PH,

/PQO=NPHO=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PE=PF,S四邊形OEPF=S四邊彩OQPH，

求得0Q=l,QP=e，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）VZAOB=420°,0P平分ZAOB,

：.ZPOF=60°,

AMPN=60°,

：.ZMPN=ZFOP=a)°,

...AP防是等邊三角形,

PE=PF；

(2)過點(diǎn)p作PQ_LOA,PHYOB,

,/0P平分NAOB,

...PQ=PH,ZPQO=ZPHO=9Q°,

ZAOB=i20°,

/.ZQPH=60o,

/.ZQPE+ZFPH+ZEPH,

ZQPE=ZEPF,

在AQPE與gpF中

ZEQP=ZFHP

<ZQPE=ZHPF,

PQ=PH

AQPEPF(AAS),

:.PE=PF,

S四邊形OEPF一S四邊形q2PH,

VPQ±OA,PHVOB,OP平分ZAO5,

/.NQPO=30。,

.??。2=1,QP=722-12=,

SA”Q=5X1XG=,

/z

四邊形OEPF的面積=2SAOPQ=6

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三

角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.(1)方法導(dǎo)引：

問題：如圖1,等邊三角形ABC的邊長為6,點(diǎn)。是NABC和ZACB的角平分線交

點(diǎn)，ZFOG=120°，繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn)NR9G,分別交AABC的兩邊于。，E兩

點(diǎn).求四邊形0D8E面積.

討論：

①小明：在NFOG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF經(jīng)過點(diǎn)3時(shí)，OG一定經(jīng)過點(diǎn)C.

②小穎：小明的分析有道理，這樣我們就可以利用“ASA”證出△QDBGAOEC.

③小飛：因?yàn)椤鱋D3g&9￡C,所以只要算出AOBC的面積就得出了四邊形。。BE

的面積.

老師：同學(xué)們的思路很清晰，也很正確.在分析和解決問題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)借用特

例作輔助線來解決一般問題：請(qǐng)你按照討論的思路，直接寫出四邊形ODBE的面

積：.

(2)應(yīng)用方法：

①特例：如圖2,NFOG的頂點(diǎn)。在等邊三角形A8C的邊上，08=2,

OC=4,邊OGJ_AC于點(diǎn)E,。尸，45于點(diǎn)0,求ABOD的面積.

②探究：如圖3,已知NR?G=60°,頂點(diǎn)。在等邊三角形ABC的邊BC上，

03=2,OC=4,記ABOD的面積為x,ACOE的面積為V,求孫的值.

③應(yīng)用：如圖4,已知NFOG=60°,頂點(diǎn)0在等邊三角形ABC的邊CB的延長線

上，。8=2,BC=6,記ABOD的面積為。，ACOE的面積為力，請(qǐng)直接寫出。

與b的關(guān)系式.

A

【答案】（I）3石；⑵①△8。。的面積=#；②xy=12；③必=48.

【解析】

【分析】（1）連接。8、0C,利用ASA證出&ODBgJJEC,從而得出QBC的面

積與四邊形。OBE的面積相等，過點(diǎn)。作于”點(diǎn)，利用銳角三角函數(shù)求

出0H即可求出aOBC的面積，從而得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NB=60°,從而求出NBOD,然后根據(jù)30°所

對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出OD和BD,從而求出結(jié)論；

②過點(diǎn)。作OM_LAB于M，QVL4c于N,根據(jù)相似三角形判定定理可得

△%>8ACO￡,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，變形可得

BDEC=OBOC=8,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)論；

③過點(diǎn)。作OM_LAB交A3的延長線于M,ON工AC于N,根據(jù)相似三角形的

判定定理可得ABOOSACOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，變形可得

BDEC=OBOC=T6,分別求出OM和ON,再結(jié)合三角形的面積公式即可求出

結(jié)論.

【詳解】解：（1）連接08、OC

NA8C=NAC8=60°

???0是NABC和ZACB的角平分線交點(diǎn)

，ZDBO=ZOCG=NCBO=30°

:.OB=OC,ZBOC=ZFOG=120°

，ZDOB=ZCOE

：.QDB%OEC

:.QBC的面積與四邊形ODBE的面積相等

過點(diǎn)。作于〃點(diǎn)

：BC=6,

：.BH=3

':"80=30°，

OH=BH?tanNOBH=上,

=—x6xV3=36

2

???四邊形ODBE的面積為3省.

故答案為：36.

(2)①?；AAfiC是等邊三角形,

/.4=60°

???。/_1/止于點(diǎn)。,

，ZBOD=3(f

?.?08=2,

；.BD=g0B=l,OD=y/OB2-BD2=73>

ic

:?&BOD的面積=—xlxg=——

22

②過點(diǎn)。作0M_LAB于"，ON上AC于N.

由①得：0M=6同理：0N=26

???AABC是等邊三角形，

:.NB=NC=60°

NFOG=60°，

/.ZBDO+NDOB=NEOC+NDOB=120°

ZBDO=ZEOC,

：.ABDOS《X)E

.OBBD

''~EC~^C，

：.BDEC=OBOC=8

xy=(g百呵｛g.26Ec|=12

③ab=48

過點(diǎn)。作OM_LAB交A5的延長線于M,ONA.AC于N.

,/ZBDO+NDOC=ZABC=60",

，ZFOG=ZEOC+ZDOC=60°

/."DO=NEOC,

'：NDBO=ZECO=120°

：.ABDM衛(wèi)OE,

.OBBD

"'~EC~^C

：.BDEC=OBOC=T6

,/ZOBN=ZABC=60°,08=2,

...NBOM=30°,

/.OM=6

VZACB=60°,OC=S,

NCON=30°,

；?ON=4百

1

W)BD4V3ECj=48

2

【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形

的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性

質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵.

類型七-全等型a

條件：①/AOB=2a,ZDCE=180-2a.；②CD=CE；

結(jié)論：①OC平分/AOB；②OD+OE=2OC.cosa

2

③S四邊形OOCE=SAOCD+SAOCE=OCsinacosa

當(dāng)NDCE的一邊交AO的延長線于點(diǎn)D時(shí)，上述條件不變，結(jié)論有所變化

q.綜合實(shí)踐

初步探究：

如圖，已知NAOB=60。，在NAOB的平分線0M上有一點(diǎn)C,將一個(gè)120。角的頂

點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E.

⑴當(dāng)NDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1）,請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)

量關(guān)系為:

解決問題：

（2）當(dāng)NDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論

是否成立？并說明理由；

⑶當(dāng)NDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時(shí)，上述