【2021浙江中考數(shù)學(xué)】特殊平行四邊形含答案

特殊平行四邊形

-------------------------課前熱身-------------------------

s考點(diǎn)清單

考點(diǎn)一矩形

1.有一個(gè)角是的叫做矩形.

2.矩形的個(gè)角都是直角.

3.矩形既是對(duì)稱圖形，又是對(duì)稱圖形，它至少有條對(duì)稱軸.

4.有個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

5.對(duì)角線相等的是矩形.

考點(diǎn)二菱形

6.一組相等的叫做菱形.

7.菱形的條邊都相等.

8.菱形的互相垂直，并且每條對(duì)角線平分.

9.菱形既是對(duì)稱圖形，又是對(duì)稱圖形，它至少有條對(duì)稱軸.

10.四條邊相等的四邊形是.

11.對(duì)角線的平行四邊形是菱形.

考點(diǎn)三矩形和菱形共有的性質(zhì)

12.矩形和菱形畫出兩條對(duì)角線后，都會(huì)出現(xiàn)4個(gè)______三角形和4個(gè)________三角

形.

13.矩形和菱形常常轉(zhuǎn)化為______三角形或________三角形來(lái)解決.

考點(diǎn)四正方形

14.有一組相等，并且有一個(gè)角是的平行四邊形叫做正方形.

15.正方形的對(duì)角線,每條對(duì)角線平分一組.正方形既是

對(duì)稱圖形，又是對(duì)稱圖形，有條對(duì)稱軸.

16.有一組鄰邊相等的是正方形.

17.有一個(gè)角是直角的是正方形.

SJ熱身訓(xùn)練

1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等

B.對(duì)角相等

C.對(duì)邊相等

1

D.對(duì)角線互相平分

2.若矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為4,一條邊長(zhǎng)為2,則此矩形的面積為（）

A.8小B.4小

C.2小D.8

3.如圖25—1,在菱形ABC。中，ZB=120°,A8=2,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC

上，則ED+EF的最小值是（）

A.2B#C.1.6D.1.5

（圖25—1）

4.如圖25-2,菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8,則此菱形一組對(duì)邊的距離等于（）

(IS25-2)

A.1.2B.2.4

C.3.6D.4.8

k

5.（2020福建）設(shè)A,B,C,。是反比例函數(shù)y="kW0）圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下

結(jié)論：

①四邊形A3?？梢允瞧叫兴倪呅危?/p>

②四邊形ABCQ可以是菱形；

③四邊形ABCD不可能是矩形；

④四邊形ABCD不可能是正方形.

其中正確的是一.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

-------------------------分類達(dá)標(biāo)-------------------------

?達(dá)標(biāo)一特殊平行四邊形基本題

例1下列命題中正確的是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.對(duì)角相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

2

C.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

D.內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

變式1在四邊形A3CO中，AC=8D如果添加一個(gè)條件，即可推出四邊形A8CZ）是矩

形，那么這個(gè)條件是（）

A.AB=BC

B.AC與8?；ハ嗥椒?/p>

C.ACLBD

D.AB±BD

例2在平行四邊形月8。中添加下列條件，不能判定四邊形ABCO是菱形的是（）

A.AB=BCB.AC±BD

C.AC=BDD.ZABD=ZCBD

變式2如圖25—3,將△ABC沿BC方向平移得到△￡>CE,連結(jié)A。，下列條件中能夠

判定四邊形A3CO為菱形的是（）

A.AB=BCB.AC=BC

C.N8=60。D.ZACB=60°

例3（2020日照）小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題：如圖25—4,四邊

形ABCD為平行四邊形，現(xiàn)從下列四個(gè)條件①A8=8C；②/A8C=90。；③AC=BO；

④AC,8。中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使。45。成為正方形.現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為

其中錯(cuò)誤的是（）

變式3如圖25—5,平行四邊形A8CO的對(duì)角線互相垂直，要使平行四邊形A8C0成

為正方形，還需添加的一個(gè)條件是—.（只需添加一個(gè)即可）

3

A

(圖25—5)

?達(dá)標(biāo)二矩形創(chuàng)新題

例4（2019杭州）如圖25—6,把某矩形紙片A8CO沿ERG〃折疊（點(diǎn)E,〃在邊AO

上，點(diǎn)F,G在邊BC上），使得點(diǎn)3,點(diǎn)C落在邊AD上同一點(diǎn)P處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)4,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)少，若N"G=90。，的面積為4,的面積為1,

則矩形ABCD的面積等于

變式4（2018金華）小靚用如圖25—7（1）的七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長(zhǎng)方形ABCD

內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC上,三角形①的邊G￡＞在邊A。上，

如圖25—7（2）所示.則器的值是

⑵

(IS25-7)

?達(dá)標(biāo)三菱形創(chuàng)新題

例5（2019寧波）如圖25—8,矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABCQ的邊A。，BC

上，頂點(diǎn)憶H在菱形A8CO的對(duì)角線5。上.求證：BG=DE.

4

AED

（圖25—8）

變式5(2018寧波)如圖25—9,在菱形ABC。中，AB=2,是銳角，AE_LBC于點(diǎn)

E,“是45的中點(diǎn)，連結(jié)M。，ME.若NEMD=90。,則cosB的值為

（IS25-9）

?達(dá)標(biāo)四正方形創(chuàng)新題

例6將圖25—10中的正方形分割成四個(gè)等腰三角形,分割后不出現(xiàn)45。的角.

（圖D25-2）

-------------------------|當(dāng)堂鞏固------------------------

1.如圖25—12,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形0A3C的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上.若

點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(5,4)B.(8,4)C.(5,3)D.(8,3)

5

y

（圖25—12）

2.如圖25—13,在矩形ABC。中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)是（一2,4）,則

BD的長(zhǎng)是（）

A.V17D.472

3.已知菱形的邊長(zhǎng)為2cm,一個(gè)內(nèi)角為60。，那么該菱形的面積為—cm2.

4.將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形ABC。與長(zhǎng)方形￡尸6。按如圖25—14放置，點(diǎn)。在線段

AG上，若AG=m，CE=n,則長(zhǎng)方形ABC￡＞的面積是—.（用小，〃表示）

c

EF

G

（圖25—14）

5.如圖25—15,以正方形A8CO的一邊為邊向外作等邊則N8E。的度數(shù)

是一

（圖25—15）

6.如圖25—16,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，作

PFVCD,垂足分別是E,F.則PE+PF=.

6

（圖25—16）

7.如圖25—17,在菱形ABCO中，E是邊A8上一點(diǎn)，且NA=NED尸=60。，有下列

結(jié)論：?AE=BF；②是等邊三角形；③△BEE是等腰三角形；④NADE=NBEF,

其中正確的有一.（填序號(hào)）

B

（圖25—17）

8.（2018青島）如圖25—18,已知正方形A8CQ的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E,尸分別在AO,DC

上，AE=DF=2,BE與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)”為BF的中點(diǎn)，連結(jié)GH,則G”的長(zhǎng)為

（圖25—18）

9.（2018臺(tái)州）如圖25—19,在正方形ABC。中，AB=3,點(diǎn)、E,尸分別在C￡>,A￡>上,

CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為

2：3,則ABCG的周長(zhǎng)為.

（圖25-19）

10.（2020哈爾濱）如圖25—20,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

7

在線段3。上，連結(jié)AE,若CD=2BE,NDAE=NDEA,EO=1,則線段AE的長(zhǎng)為

（圖25-20）

------------------------配套練習(xí)-----------------

A|基礎(chǔ)鞏固

1.正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角相等

B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)角線相等

D.對(duì)角線互相垂直

2.在矩形ABCZ）中，AB=6,BC=8,則點(diǎn)A到的距離是（）

A.4B.4.6C.4.8D.5

3.如圖Z25-1,在菱形A8C。中，Z￡>=130°,則NI的度數(shù)為（）

（圖Z25—1）

A.30°B.25°C.20°D.15°

4.已知菱形的邊長(zhǎng)為6cm,一個(gè)內(nèi)角為60。，那么該菱形的面積為—cm2.

5.如圖Z25-2,菱形A8CO的對(duì)角線AC,BO相交于點(diǎn)。，已知。8=4,菱形A8CD

的面積為24,則AC的長(zhǎng)為.

（圖Z25-2）

6.如圖Z25—3,。點(diǎn)是矩形A8CO的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，菱形A8EO的邊長(zhǎng)為2,則

8

BC=

(圖Z25—3)

7.如圖Z25—4,已知點(diǎn)4（3,0）,P為y軸正半軸上一點(diǎn)，以線段布為邊在第一象限

內(nèi)作正方形APBC,

8.如圖Z25—5,四邊形A8CO是矩形，△PBC和△QC。都是等邊三角形，且點(diǎn)P在

矩形上方，點(diǎn)。在矩形內(nèi).

求證：（1）/PBA=/PCQ=3O。；

(2)PA=PQ.

(圖Z25-5)

位能力提升

9.如圖Z25—6,已知正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是正方形ABC。的邊AQ上的一

點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)為F,若尸C=90°,則EF的長(zhǎng)為（）

A.|

B-3C.TD10

9

（圖Z25—6）

10.如圖Z25—7,在矩形A8C。中，A8=8,BC=4點(diǎn)G,E分別在邊AB,CO上，點(diǎn)

F,〃在對(duì)角線AC上.若四邊形EFGH是菱形，則AG的長(zhǎng)是（）

11.如圖Z25—8,菱形A3CZ）的邊長(zhǎng)為6,NA8C=60。，對(duì)角線8。上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、

F（點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè)），若EF=2,則AE+CF的最小值為（）

A.2yfl0B.46C.6

（圖ZD25-3）

12.我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方

形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明

了勾股定理.如圖Z25—9所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若。=2,b=3,則該矩

形的面積為.

10

@C思維拓展

13.如圖Z25—10,P為正方形A3CO的邊8C的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以。P為一邊作正

方形DPEM,以E為一頂點(diǎn)作正方形EFG”，且FG在BC的延長(zhǎng)線上.

(1)若正方形A3CQ,。尸EM的面積分別為a,h,則正方形E尸GH的面積為一(直接寫

結(jié)果).

(2)過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線交NPDC的平分線于點(diǎn)Q,連結(jié)QE,試探求在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

的大小是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由.

（圖Z25-10）

11

答案

1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（A）

A.對(duì)角線相等

B.對(duì)角相等

C.對(duì)邊相等

D.對(duì)角線互相平分

2.若矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為4,一條邊長(zhǎng)為2,則此矩形的面積為（B）

A.8小B.4小

C.2小D.8

3.如圖25—1,在菱形ABC。中，ZB=120°,AB=2,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC

上，則EO+EF的最小值是（B）

A.2B.小C.1.6D.1.5

（圖25—1）

4.如圖25—2,菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8,則此菱形一組對(duì)邊的距離等于（D）

(5125-2)

A.1.2B.2.4

C.3.6D.4.8

5.（2020福建）設(shè)A,B,C,。是反比例函數(shù)尸W0）圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下

結(jié)論：

①四邊形A8CZ）可以是平行四邊形；

②四邊形ABCQ可以是菱形；

③四邊形ABCD不可能是矩形；

④四邊形ABCD不可能是正方形.

12

其中正確的是①④.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

---------------------------分類達(dá)標(biāo)---------------------------

?達(dá)標(biāo)一特殊平行四邊形基本題

例1下列命題中正確的是（D）

A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.對(duì)角相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

D.內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

變式1在四邊形ABCD中，AC=BD如果添加一個(gè)條件，即可推出四邊形ABC。是矩

形，那么這個(gè)條件是（B）

A.AB=BC

B.AC與瓦）互相平分

C.AC±BD

D.AB1.BD

例2在平行四邊形A8C。中添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是（C）

A.AB=BCB.AC1BD

C.AC=BDD.NABD=NCBD

變式2如圖25—3,將△ABC沿BC方向平移得到△DCE,連結(jié)A。，下列條件中能夠

判定四邊形A8CD為菱形的是（A）

A.AB=BCB.AC=BC

C.ZB=60°D.ZACS=60°

例3（2020日照）小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題：如圖25—4,四邊

形ABCD為平行四邊形，現(xiàn)從下列四個(gè)條件①AB=8C；②NA8C=90。；③AC=B￡＞；

④中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使口ABC。成為正方形.現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為

其中錯(cuò)誤的是（B）

DE----------------------KC

AB

13

（圖25—4）

A.①②B.②③C.①③D.②④

變式3如圖25—5,平行四邊形A8CD的對(duì)角線互相垂直，要使平行四邊形A8CZ）成

為正方形，還需添加的一個(gè)條件是.（只需添加一個(gè)即可）

?達(dá)標(biāo)二矩形創(chuàng)新題

例4（2019杭州）如圖25—6,把某矩形紙片A8CD沿EF,GH折疊（點(diǎn)E,，在邊

上，點(diǎn)RG在邊8C上），使得點(diǎn)8,點(diǎn)C落在邊上同一點(diǎn)P處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)4,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D',若/FPG=90。，△4EP的面積為4,/XD'PH的面積為1,

則矩形ABCD的面積等于S石+1（）.

：.F,P,。三點(diǎn)共線，:.ND'PH=ZEPF=ZA'EP.

?.?/D'=NA'=90°,A^D'PH^/XA'EP.

,:SAD，PH:SMEP=1：4,：.D'H:A?=1：2.

設(shè)Q'”=x,則A'P=AB=DC=D'P=2x.

?S&D，PH=1，??/A?2X=1,

解得x=1(負(fù)值舍去)，

D'H=DH=1,D'P=A'P=AB=2,A'E=AE=2D'P=4,

...由勾股定理可得P"=小，EP=25

S短彩ABCD=AB(AE+EP+PH+。H)=10+6小.

變式4(2018金華)小靚用如圖25—7(1)的七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長(zhǎng)方形ABCD

內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E,尸分別在邊AB,8C上，三角形①的邊GO在邊AO上，

14

如圖25—7(2)所示.則筮的值是一粵二.

(5125-7)

【解析】提示：設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為X,

?達(dá)標(biāo)三菱形創(chuàng)新題

例5(2019寧波)如圖25-8,矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC

上，頂點(diǎn)歹，〃在菱形ABC。的對(duì)角線80上.求證：BG=DE.

解：不難證明△3GF經(jīng)△OE”(AAS),

：.BG=DE.

變式5(2018寧波)如圖25—9,在菱形ABCQ中，AB=2,N8是銳角，AE_LBC于點(diǎn)

E,"是AB的中點(diǎn)，連結(jié)ME.若NEMD=90。,則cosB的值為—烏

（圖25—9）

15

解：如圖D25—1,延長(zhǎng)。M交C6的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

易證△AQM/△BHM,:.AD=HB=2.

?:EMLDH,:.EH=ED.設(shè)BE=x,

'：AE2=AB2~BE1=DE1-AD2,

.,.22-X2=(2+X)2-22,

"'?x='\/3-1(舍負(fù))，：.cosB=AB=^^2,

?達(dá)標(biāo)四正方形創(chuàng)新題

例6將圖25—10中的正方形分割成四個(gè)等腰三角形，分割后不出現(xiàn)45。的角.

解：分割方法如圖D25—2所示.

變式6將圖25—11中的正方形分割成四個(gè)等腰三角形，分割后不出現(xiàn)全等三角形.

解：分割方法如圖D25—3所示.

-------------------------當(dāng)堂鞏固------------------------

1.如圖25—12,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上.若

點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,4),則點(diǎn)3的坐標(biāo)為(B)

A.(5,4)B.(8,4)C.(5,3)D.(8,3)

16

y

（圖25—12）

2.如圖25—13,在矩形ABC。中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)是（一2,4）,則

BD的長(zhǎng)是（B）

A.V17D.472

3.已知菱形的邊長(zhǎng)為2cm,一個(gè)內(nèi)角為60。，那么該菱形的面積為_Zd^_cm2.

4.將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形EFGO按如圖25—14放置，點(diǎn)￡>在線段

—f1~

AG上，若AG="?,CE=n,則長(zhǎng)方形4BCD的面積是—《一?（用團(tuán)，”表示）

F

G

（圖25—14）

5.如圖25—15,以正方形ABCZ）的一邊AO為邊向外作等邊則/BED的度數(shù)

是45。

（圖25—15）

6.如圖25—16,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，作PE_LAE>,

PFA.CD,垂足分別是E,F.則PE+PF=1.

17

7.如圖25—17,在菱形ABCO中，E是邊A8上一點(diǎn)，且NA=NED尸=60。，有下列

結(jié)論：?AE=BF；②△￡>￡F是等邊三角形；③△BEE是等腰三角形；④NADE=NBEF,

其中正確的有①②④.（填序號(hào)）

(圖25—17)

8.（2018青島）如圖25—18,已知正方形A8CQ的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E,尸分別在AO,DC

上，AE=DF=2,BE與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)，為BF的中點(diǎn)，連結(jié)GH,則G”的長(zhǎng)為

V34

—2-

9.（2018臺(tái)州）如圖25—19,在正方形ABC。中，A8=3,點(diǎn)E,尸分別在C￡>,上,

CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為

2:3,則△BCG的周長(zhǎng)為.

18

10.（2020哈爾濱）如圖25-20,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

在線段BO上，連結(jié)AE,若CD=2BE,ZDAE=ZDEA,￡0=1,則線段AE的長(zhǎng)為2巾

（圖25-20）

---------------------------配套練習(xí)-----------------

A|基礎(chǔ)鞏固

1,正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（D）

A.對(duì)角相等

B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)角線相等

D.對(duì)角線互相垂直

2.在矩形A8CO中，AB=6,8c=8,則點(diǎn)A到的距離是（C）

A.4B.4.6C.4.8D.5

3.如圖Z25-1,在菱形A8C。中，N￡>=130。，則N1的度數(shù)為（B）

（圖Z25—1）

A.30°B.25°C.20°D.15°

4.已知菱形的邊長(zhǎng)為6cm,一個(gè)內(nèi)角為60。，那么該菱形的面積為」?_cm2.

5.如圖Z25—2,菱形A8CD的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,已知OB=4,菱形A8C。

的面積為24,則AC的長(zhǎng)為6

19

（圖Z25—2）

6.如圖Z25—3,。點(diǎn)是矩形A3CO的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，菱形ABE。的邊長(zhǎng)為2,則

BC=2小

7.如圖Z25—4,已知點(diǎn)A（3,0）,P為y軸正半軸上一點(diǎn)，以線段必為邊在第一象限

內(nèi)作正方形APBC,當(dāng)OB=5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(圖Z25—4)

8.如圖Z25-5,四邊形A8CO是矩形，△PBC和△QC。都是等邊三角形，且點(diǎn)P在

矩形上方，點(diǎn)。在矩形內(nèi).

求證：（l）/PBA=/PCQ=30°；

(2)R\=PQ.

解：略

9.如圖Z25-6,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是正方形ABC。的邊AO上的一

點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于8E的對(duì)稱點(diǎn)為尸，若NZ）RT=90。，則EP的長(zhǎng)為（B）

2

A:B.3ClDio

（圖Z25—6）

提示：方法1：如圖ZD25—1,過(guò)點(diǎn)尸作MNLA。，BHVCF,易證DF=FH=HC,由

DC=2,可知￡>F=|^,NF=|,ND，,設(shè)AE=EF=x,在中，由勾股定理得

（圖ZD25—1）