初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)中考試題及答案 四邊形

中考試題分類匯編（四邊形）

一、選擇題

A.矩形的對角線互相平分且相等

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.等腰梯形的兩條對角線相等

D.等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等

2、（山東日照）如圖，在周長為20cm的中，ABtAD,AC.

相交于點(diǎn)O,交AZ）于E,則△ABE的周長為（）D

（A）4cm（B）6cm

（C）8cm（D）10cm

3、（山東東營）如圖2,四邊形ABC。為矩形紙片.把紙片ABCQ折疊，使點(diǎn)8恰好落在8邊的中點(diǎn)

E處,折痕為AF.若C￡>=6,則AF等于（)A

(A)4m(B)3后(C)472(D)8

A.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形岡，

5、（甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是（）A

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

6、（浙江紹興）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,E為BC的

中點(diǎn)，則下列式子中一定成立的是（）B

A.AC=20EB.BC=20E

C.AD=OED.OB=OE

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.一組鄰邊相等的矩形是正方形

c一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形

8、（天津市）在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC_LBD,且AC=5c?z,

BD=12cm,則梯形中位線的長等于（）C

A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm

9、（浙江嘉興）如圖，在菱形A8CQ中，不一定成立的（）C

（A）四邊形ABCO是平行四邊形(B)AC±BD

（C）△A8O是等邊三角形(D)ZCAB^ZCAD

10、（浙江金華）國家級歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥

蘢.某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、

綠、橙、紫6種顏色的花.如果有AB〃所〃OC,

BC//GH//AD,那么下列說法中錯誤的是（）C

A.紅花、綠花種植面積一定相等

B.紫花、橙花種植面積一定相等第10題

C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等

D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等

11、（四川樂山）如圖（1）,在平面四邊形ABCD中，CELAB,E為

BC

圖⑴

垂足.如果NA=125,則N8CE=()B

A.55B.35C.25D.30

A.兩條對角線相等的四邊形是矩形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

二、填空題

1、（浙江嘉興）四邊形的內(nèi)角和等于.360°

2、（山東臨沂）如圖，在四邊形ABC。中，E、F、G、H分別是AB、BD、

CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFG”是菱形，四邊形ABCQ還應(yīng)滿

足的一個條件是。

答案：AD=BC,或ABCD為等腰梯形（答案不唯一）

3、（天津）己知矩形ABCD,分別為AD和CD為一邊向矩形外作正三，第7顆圖）

BE

角形ADE和正三角形CDF,連接BE和BF,則——的值等于。1

BF

4、（河北?。┤鐖D7,若D4BCO與OEBCF關(guān)于BC所在直線對稱，/48E=90°,

則/尸=°.45

5、（甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是

F

.平行四邊形圖7

6、（湖南懷化）如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開可以

拼成不同形狀的四邊形，請寫出其中一種四邊形的名稱

答案：平行四邊形、矩形、等腰梯形（三種中任選一種均給滿分）

7、菱形的兩條對角線長分別是6和8,則菱形的邊長為。5

第6題圖

8、（甘肅隴南）如圖，矩形的對角線4c和BO相交于點(diǎn)O,

過點(diǎn)O的直線分別交AO和3c于點(diǎn)E、F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部

分的面積為..3

9、（四川成都）如圖，把一張矩形紙片ABCD沿

折疊后，點(diǎn)。分別落在。的位置上，EC交C'/'

C,C',A,-------V-

A￡>于點(diǎn)G.已知NEFG=58°,那么ZBEG=G\

a.64

10、（四川成都）如圖，如果要使UA3CD成為一個菱形，需要添

加一個條件，那么你添加的條件是

AB=AD,AC_L5。等;

三、解答題

1、（浙江杭州市）我們學(xué)習(xí)了四邊形和一些特殊的四邊形，右圖表示了在某種條件下它們之間的關(guān)系。

如果①，②兩個條件分別是：①兩組對邊分別平行；②有且只有一組對邊平行。那么請你對標(biāo)上的其他

6個數(shù)字序號寫出相對應(yīng)的條件。L口

、口一矩形

平行四邊形正方形

菱形

四邊形Lr\

解：③有一個內(nèi)角為直角：④一組鄰邊相等：⑤一組鄰邊相等：⑥有一個內(nèi)角為直角：

⑦兩腰相等；⑧一條腰垂直于底邊。

2、（浙江臨安）已知I：如圖，E、F是平行四邊行ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF。

求證：(1)AADF^ACBE；(2)EB〃DF。

證明：(1)VAE=CF

.*.AE+EF=CF+FE即AF=CE--1分

又ABCD是平行四邊形，...曲=03,AD//BC

.*.ZDAF=ZBCE-----2分

在ZXADF與4CBE中

AF=CE

AD=CB

ZDAF=ZBCE

/.△ADF^ACBE（SAS）-----4分

（2）,/△ADF^ACBE

；.ZDFA=/BEC-----5分

...DF〃EA-----6分

3、（恩施自治州）如圖7,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,E、F是直線AC上的兩點(diǎn),

并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

證明：?：四邊形ABCD是平行四邊形

.,.OA=OC,OB=OD（4分）

又：AE=CF

.*.OE=OF（6分）

...四邊形BFDE是平行四邊形（8分）

4、（云南雙柏）如圖，在梯形紙片ABCD中，AD//BC,AD>CD,將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)

C落在AD上的點(diǎn)C處，折痕DE交BC于點(diǎn)E,連結(jié)CE.

求證：四邊形CDCE是菱形.

證明：根據(jù)題意可知\CDE^^CDE

則CD=C'D,NC、DE=NCDE,CE=C'E

'：AD//BCZC'DE=/CED

NCDE=ZCED，CD=CE

.?.CD=C'D=C'E=CE，四邊形CDC'E為菱形

5、（浙江臺州）把正方形ABC。繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到

正方形AEEG,邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）.試問線段"G與線

段”8相等嗎？

請先觀察猜想，然后再證明你的猜想.

解：HG=HB.

證法1：連結(jié)A”，

,/四邊形ABCD,AE尸G都是正方形.

/.NB=NG=90°.（第5題）

由題意知AG=AB,又AH=AH.

RtA/lGH絲RtAABH（HL）,

：.HG=HB.

E

證法2：連結(jié)G3.（第5題）

?.,四邊形ABC。，AEFG都是正方形，

：.ZABC=ZAGF=90°.

由題意知AB=AG.

，ZAGB=ZABG.

ZHGB=ZHBG.

:.HG=HB.（第5題）

6、（江蘇揚(yáng)州）如圖，正方形A5CD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃后得到正方形AEEG,邊EF與CD交于點(diǎn)

O.

（1）以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段相笠

且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；

4G

（2）若正方形的邊長為2cm,重疊部分（四邊形AEOD）的面積為二一cm2,求旋轉(zhuǎn)的角度〃.

3

解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是和

理由如下：

（2）

（1）AOYDE

證明：在RtZSADO與RtZ\AEO中，AD=AE,AO=AO,

RtAADO名RtAAEO,

：.ZDAO=ZOAE（即AO平分ND4E）

:.AO±DE（等腰三角形的三線合一）

注：其它的結(jié)論也成立如GD_L3E.

(2)30

4J3

四邊形AEOO的面積為,

3

一ccAAKHrAOX。。2G

/.二角形ADO的面積---------=----

23

AD=2,DO=—,：.ZDAO=30,ZEAB=30.

3

7、(甘肅隴南)四邊形ABC。、DEFG都是正方形，連接AE、CG.

(1)求證：AE=CG；

(2)觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系,

并證明你的猜想.

(1)證明：如圖，

AD=CD,DE=DG,ZADC=ZGDE=901',

又ZCDG=90°+ZADG=ZADE,

：.LADE^/\CDG.：.A^CG.

(2)猜想：AE1CG.

證明：如圖，

設(shè)AE與CG交點(diǎn)為M,AD與CG交點(diǎn)為N.

■:zADaiXCDG,：.ZDAE=ZDCG.

又NANM=ZCND,△AMNs△CDN.

：.NAMN=/ADC=90°.Z.AE1CG.

8、(淄博)已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為點(diǎn)O,AN是△ABC外角/C4M的平

分線，CELAN,垂足為點(diǎn)E,

(1)求證：四邊形AOCE為矩形；

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形

ADCE是一個正方形？并給出證明.

(1)證明：在△ABC中，AB=AC,AD1BC.

：.NBAD=NDAC.......................1分

AN是△ABC外角/CAM的平分線，

二ZMAE=^CAE................................2分

(第8題)

oo

/.ZDA￡=ZDAC+ZCAE=lx180=90...........3分

2

又：ADLBC,CEVAN,

：.ZA￡)C=NC￡4=90°..........................4分

二四邊形AOCE為矩形................................5分

(2)說明：給出正確條件得1分，證明正確得2分.

例如，當(dāng)AD=LBC時(shí)，四邊形ADCE是正方形.........6分

2

證明：VAB=AC,AQ_LBC于。.

/.DC=-BC...............................................................7分

2

xAD^-BC,/.DC=AD.

2

由（1）四邊形AQCE為矩形，

，矩形AOCE是正方形.

9、（山東青島）將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合?；餌落到D，處，折痕

為EF./\

（1）求證：4ABE也Z\AD'F；/\

（2）連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)獎-------'工-------:口

證明：⑴由折疊可知：ZD=ZD\CD=AD\ZC=ZD'AE./\//

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZB=ZD,AB=CD,ZC=ZBAD............2'

.,./B=ND,AB=ADf,

BEC

ND'AE=NBAD,即N1+/2=N2+/3.

/.Z1=Z3.

.,.△ABEDT.....................4'

⑵四邊形AECF是菱形.

由折疊可知：AE=EC,Z4=Z5.

?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AD〃BC.

AZ5=Z6.AZ4=Z6.；.AF=AE.

：AE=EC,.*.AF=EC.

又：AF〃EC,

???四邊形AECF是平行四邊形.

VAF=AE,

二四邊形AECF是菱形.

10、（四川資陽）如圖8-1,已知產(chǎn)為正方形ABCD的對

角線AC上一點(diǎn)（不與A、C重合），PELBC于點(diǎn)E,PF

LCD于點(diǎn)E

（1）求證：BP=DP；

（2）如圖8-2,若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是，請給予證

圖8-1圖8-2

明；若不是，請用反例加以說明；

（3）試選取正方形ABC。的兩個頂點(diǎn)，分別與四邊形PEC尸的兩個頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在

四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論.

（1）解法一：在4ABP與AADP中,利用全等可得BP=CP.

解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP.

（2）不是總成立.當(dāng)四邊形尸ECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)到8C邊上時(shí)，。P>OC8P,

此時(shí)BP=DP不成立.

說明：未用舉反例的方法說理的不得分.

⑶連接BE、DF,則BE與始終相等.

在圖8-1中，可證四邊形PECF為正方形，

在△BEC與△DFC中，可證△BEC%△QFC.

從而有BE=DF

11、（南充）如圖，等腰梯形ABC。中，AB=\5,AD=20,NC=30".點(diǎn)M、N同時(shí)以相同速度分別

從點(diǎn)A、點(diǎn)。開始在48、AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動.

（1）設(shè)N￡>的長為x,用N的形狀.

解：（1）過點(diǎn)N作8A的垂線NP,交氏4的延長線于點(diǎn)尸.............（1分）

由已知，AM=x,AN=20~x.

四邊形A8CD是等腰梯形，AB//CD,NO=/C=30",

ZPAN=ZD=30°.

在RtZXAPN中，PN=ANsinNPAN=L（20~x）,

2

即點(diǎn)N到AB的距離為工（20-x）.......................（3分）

2

點(diǎn)N在A。上，0WxW20,點(diǎn)M在AB上，0WE15,

x的取值范圍是0WxW15.......................（4分）

1]1,

（2）根據(jù)（1）,S&AMN=—AM?NP=-x（20—x）=——x2+5x,...（5分）

244

,/--<0,當(dāng)N有最大值.....................（6分）

4

又*:S3iihKBCDNM—Sm—S&AMN'且SB；般為定值，

...當(dāng)有最小值.....................（7分）

當(dāng)=10,AN=AD—ND=IQ,即AM=AM

則當(dāng)五邊形BC￡WM面積最小時(shí)，ZkAMN為等腰三角形.........（8分）

12、（福建福州）為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖

案.圖案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì),使正方形和所畫的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對稱圖形又

是中心對稱圖形.種植花草部分用陰影表示.請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的的設(shè)計(jì)圖案.

提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種.

解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一.（滿分8分）

13、(福建晉江)如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=4,AD=3,動點(diǎn)M、N分別從。、8同時(shí)出發(fā)，以

1個單位/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)M沿。A向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動。過點(diǎn)N作NPJ_BC,交

AC于點(diǎn)P,連結(jié)MP。已知動點(diǎn)運(yùn)動了X秒。

⑴請直接寫出PN的長；(用含x的代數(shù)式表示)

⑵若0秒WxWl秒，試求△MP4的面積5與時(shí)間x秒的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)圖象，求S的最大

值。

⑶若0秒<xW3秒，能否為一個等腰三角形？若能，試求出所有x的對應(yīng)值；若不能，試

Dc

說明理由?r刁

解：⑴三*；wk/

3

⑵延長NP交A。于點(diǎn)Q,則PQ_LA￡>,由⑴得：削=\］之，鬲

/li

12-4%4

則尸0=QN_PN=4—\

°---------------------------'B

依題意，可得：AM=3-x

114_+2=_g（x2_3x）=—g（x—|）2+|

7!

即函數(shù)圖象在對稱軸的左側(cè)，函數(shù)值S

|x=1.5