2023年重慶市鐵路高三考前熱身數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設函數/⑴是奇函數/(X)(XGR)的導函數，當x>0時，/'(x)Inx<--/(%),則使得，一1)/(b>0成立

x

的X的取值范圍是()

A.(-l,0)U(0,l)B.(7,-1川(1,小)

c.(-1,0)?(i,?)D.y,-i)u(o,i)

2.已知定義在R上的函數/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調遞增，且y=/(x—1)的圖象關于％=1對稱，若實數“滿足

/\

flog,?</(-2),則“的取值范圍是()

k2>

A.B.(卜勺C.1,4)D.(4收)

3.函數g(x)=Asin?x+°)(A>0,0<e<2;r)的部分圖象如圖所示，已知g(0)=g—=73,函數y=/(x)

I6/

的圖象可由y=g(x)圖象向右平移(個單位長度而得到，則函數/(%)的解析式為()

A./(x)=2sin2xB./(無)=2si:

C./(x)=-2sinxD./(x)=2sinf2x-y

4.已知函數『W是定義在R上的偶函數，當xNO時，/(x)=e”+x,則。=/(_25，〃=，c=/(、6)的

大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>cD.h>c>a

5.已知函數/(x)=2sin(<yx+o)+Z?(3>0),/(—+%)=/(--x),且/(二)=5,貝!)。=()

888

A.3B.3或7C.5D.5或8

6.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()

213319

A.B.C.-D.—

525525

0<2x+y<6

7.若X，)'滿足約束條件?則z=x+2y的最大值為()

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

8.等差數列｛q｝中，q+a5=10,a4=7,則數列｛4｝前6項和為()

10.已知數列｛《,｝的首項q=。(。工0),且4+1=他+乙其中Mt&R,〃eN*,下列敘述正確的是()

A.若｛/｝是等差數列，則一定有k=lB.若｛?！埃堑缺葦盗校瑒t一定有f=0

C.若｛4,｝不是等差數列，則一定有k=lD.若｛/｝不是等比數列，則一定有

11.已知雙曲線E:=13>0,。>0)滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線y?=4x的焦點尸重合;

ah

②雙曲線E與過點P(4,2)的募函數f(x)=xa的圖象交于點。，且該募函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱

點.則雙曲線的離心率是()

A.^±1B.C.-D.V5+1

222V

TT

12.已知函數,/?(x)=cos(2x+§),則下列結論錯誤的是()

A.函數/(x)的最小正周期為江

B.函數〃x)的圖象關于點對稱

C.函數/(X)在D上單調遞增

D.函數“X)的圖象可由y=Sin2x的圖象向左平移個單位長度得到

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.已知｛《,｝為等比數列，S”是它的前”項和.若廿3=26，且％與2%的等差中項為“則55=.

14.某大學A、B、C、。四個不同的專業(yè)人數占本?？側藬档谋壤来螢?.2%、4.8%、4%、5.2%,現欲采用

分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總人數中抽取129人調查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則。專業(yè)應抽取人.

15.設函數/(x)(xeR)滿足/(一%)=/(%),，(%)=足(21%),且當工€［0,1］時/(x)=/,又函數g(x)=1xcos(乃x)|,

13

則函數/心:)=g(x)-/(x)在［-于雪上的零點個數為.

16.某校13名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共9種，分

別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.

如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級別連續(xù)的3個不同角色.已知這13名學

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，現在新加入1名學生，將這14名學生分成5組進行游戲，則新

加入的學生可以扮演的角色的種數為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知動圓M恒過點且與直線丫=-；相切.

(1)求圓心"的軌跡E的方程；

(2)設P是軌跡E上橫坐標為2的點，OP的平行線/交軌跡E于A,3兩點，交軌跡E在。處的切線于點T,問：

是否存在實常數X使力4川78|,若存在，求出/I的值；若不存在，說明理由.

18.(12分)如圖，。0的直徑的延長線與弦CO的延長線相交于點P,E為。。上一點，AE^AC,DE交AB

于點F.求證：APDF-^POC.

19.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知向量a=(cos%sina),h=85(2+5)5也［2+3］］，其中0＜。＜~^-

(1)求僅一4).〃的值；

(2)若"=(1,1),且(方+‘P￡,求a的值.

114

20.(12分)在①A=B3,②-----,③氏=35這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

ata2B2

已知等差數列｛《,｝的公差為d(d＞0),等差數列也｝的公差為2d.設A,，4分別是數列｛%｝,也｝的前〃項和，且

4=3,4=3,,

(1)求數列｛%｝,也｝的通項公式；

3

⑵設％=24+——,求數列｛5｝的前n項和S,.

21.(12分)如圖1,在等腰梯形AB6居中，兩腰A6=BK=2,底邊AB=6,6入=4,D,C是48的三等

分點，E是片"的中點?分別沿CE,OE將四邊形BCE￡和ADE居折起，使6，B重合于點尸，得到如圖2所示

的幾何體.在圖2中，M，N分別為CD,EF的中點.

(1)證明：ABCD.

(2)求直線CN與平面A3尸所成角的正弦值.

元=cos0

22.(10分)已知在平面直角坐標系中，曲線。的參數方程為.c.八(。為參數)，以坐標原點。為極點,

y=2sin，

x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線/的極坐標方程為。cos夕+。sin9-3=0.

(1)求直線/的直角坐標方程

(2)求曲線C上的點到直線/距離的最小值和最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

構造函數，令g(x)=lnx-/(x)(x>0),則g(x)=ln礦

由尸(x)歷x<-L/(x)可得g'(x)<0,

則g(x)是區(qū)間(0,+力)上的單調遞減函數，

且g⑴=lnlx/⑴=0,

當xG(0,1)時g(x)>0,\,/"xvO1Ax)<0,(xMmx)>0;

當xG(l,+8)時,g(x)<0,丁/〃x>0,.,./(x)<0,(x2-lV(x)<0

??VU)是奇函數，當xGG1,0)時5Ax)>0,(xM次c)vO

當xG(-8,-l)時用)>0,(伍1如0>0.

綜上所述，使得(xM)/U)>0成立的X的取值范圍是(F,-1)U(0,1).

本題選擇o選項.

點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似

乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、

化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據

題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解

決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

2.C

【解析】

根據題意，由函數的圖象變換分析可得函數y=/(x)為偶函數，又由函數y=/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調遞增，分

析可得了log,a</(-2)/(|log2a|)</(2)|log2a\<2,解可得a的取值范圍，即可得答案.

<2/

【詳解】

將函數.y=/(x—1)的圖象向左平移1個單位長度可得函數y=/(x)的圖象，

由于函數y=/(x-l)的圖象關于直線x=l對稱，則函數y=/(x)的圖象關于)'軸對稱，

即函數y=/(x)為偶函數，由/log,<7</(-2),得/(|隆24)</⑵,

\27

???函數,y=/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調遞增，則|log24<2,得-2<log2〃<2,解得:<a<4.

因此，實數。的取值范圍是4).

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數的單調性與奇偶性解不等式，注意分析函數y=.f(x)的奇偶性，屬于中等題.

3.A

【解析】

由圖根據三角函數圖像的對稱性可得?=葛-利用周期公式可得①，再根據圖像過即

可求出。,A,再利用三角函數的平移變換即可求解.

【詳解】

由圖像可知工—2x^=工，即7=乃，

2662

27r

所以7=——，解得。=2,

co

又g(?)=Asin(2xV+e)=0,

兀

所以,+"=%兀(攵￡Z),由0<9<2)，

2兀57

所以q-或彳，

又g(o)S

所以Asiii0=6,(A>0),

所以A=29

24

BPg(x)=2sin2x+

3

因為函數y=/(x)的圖象由y=g(x)圖象向右平移g個單位長度而得至ij,

所以丁=/(*)=2sin=2sin2%.

故選：A

【點睛】

本題考查了由圖像求三角函數的解析式、三角函數圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數的平移伸縮變換原則，屬

于基礎題.

4.C

【解析】

333

根據函數的奇偶性得a=/(_25)=/(2，)，再比較岔,2己,log,9的大小，根據函數的單調性可得選項.

【詳解】

333

依題意得4=/(_25)=/(2可，?.?班〈&=20=2^<3=log28<log?9，

當xNO時，f(x)=ex+x,因為e>l,所以y=e'在R上單調遞增，又)'=》在/?上單調遞增，所以/(幻在［0,+o。)

上單調遞增，

???/dog29)>/(2^)>/(V5)，即“。

故選：C.

【點睛】

本題考查函數的奇偶性的應用、募、指、對的大小比較，以及根據函數的單調性比較大小，屬于中檔題.

5.B

【解析】

根據函數的對稱軸K=g以及函數值，可得結果.

O

【詳解】

函數/(x)=2sin?x+0)+b(3>O),

若/?(g+x)=/(g—x),則的圖象關于x=￡對稱，

88o

TT

又/（一）=5,所以2+人=5或-2+b=5,

8

所以。的值是7或3.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題，屬基礎題

6.D

【解析】

三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

由題意，三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數有__A+__A3

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有否種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有C：C；A；種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率

為E=故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為P=1-二=黑?

150252525

故選：D.

【點睛】

本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、

乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.

7.D

【解析】

1z1

畫出可行域，將z=x+2），化為yn-gx+i,通過平移y=-即可判斷出最優(yōu)解，代入到目標函數，即可求出最值.

【詳解】

0<2x+y<6

解:由約束條件作出可行域如圖,

3<x-y<6

y

Iz

化目標函數Z=x+2y為直線方程的斜截式,丁=-5%+萬.由圖可知

1z

當直線y=-5工+萬過4（3,0）時,直線在V軸上的截距最大,z有最大值為3.

故選:o.

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域，然后將目標函數轉化為y=or+》z的形式，在可行域內通過平移

y=ox找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解帶回到目標函數即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.

8.C

【解析】

由等差數列的性質可得%=5,根據等差數列的前?項和公式56=幺愛x6=甘2'6可得結果.

【詳解】

???等差數列｛%｝中，?,+?5=10,.-.2^=10,即%=5,

...S婦工6=也&6=亙，6=36,

6222

故選C.

【點睛】

本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前〃項和公式的應用，屬于基礎題.

9.A

【解析】

根據/（幻>0排除C,D,利用極限思想進行排除即可.

【詳解】

解：函數的定義域為"lx?。｝,/（幻>0恒成立，排除C,D,

當x>0時，〃x）=H=x/，當Xr0，/（X）->0,排除3,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

10.C

【解析】

根據等差數列和等比數列的定義進行判斷即可.

【詳解】

A：當k=O,r=。時，%+]="，顯然符合｛4｝是等差數列，但是此時攵=1不成立，故本說法不正確；

B：當攵=O,t=a時，an+]=a,顯然符合｛a,,｝是等比數列，但是此時/=0不成立，故本說法不正確；

C：當左=1時，因此有也+-%=/=常數，因此｛4｝是等差數列，因此當｛《,｝不是等差數列時，一定

有故本說法正確；

D：當/時，若攵=0時，顯然數列｛q｝是等比數列，故本說法不正確.

故選：C

【點睛】

本題考查了等差數列和等比數列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.

11.B

【解析】

由已知可求出焦點坐標為(1,0),(-1,0)，可求得幕函數為/(無)=?，設出切點通過導數求出切線方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切點坐標，然后求解雙曲線的離心率.

【詳解】

C11

依題意可得，拋物線y2=4x的焦點為尸(L0),b關于原點的對稱點(―1,0)；2=《Sa=]，所以/(幻=工5=?，

/0)=志，設Qa°'A)'則5看=更？解得匕=1'二可得，一)=1，又C=l，C2=a2+b2,

/Z_1：1―逐+1

可解得。=卓二，故雙曲線的離心率是％—[二一三-.

-2

故選B.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標，求幕函數解析式，直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分

析問題和解決問題的能力，難度一般.

12.D

【解析】

/.TTJITTTT

由T=，可判斷選項A；當x=2時，2x+匕=—可判斷選項B；利用整體換元法可判斷選項C；

co1232

y=sin2(x+總=cos-今卜/(x)可判斷選項D.

【詳解】

由題知/(x)=cos[2x+m],最小正周期7=笄=兀，所以A正確；當x=S時，

2x+g=5，所以B正確；當?，三J時，2無+]兀，段)所以C正確；由〉=5抽2%

的圖象向左平移己個單位，得、=5皿21+總=$12》+小=5如(2》+|■-m)=

cos(2x-]卜“X),所以D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查余弦型函數的性質，涉及到周期性、對稱性、單調性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-11

【解析】

設等比數列｛4｝的公比為夕，根據題意求出能和生的值，進而可求得出和4的值，利用等比數列求和公式可求得Ss的

值.

【詳解】

由等比數列的性質可得2q=a2%=%%，：?4=2,

33311

由于〃4與2%的等差中項為1,則。4+2%=2，則2%=萬一〃4=-5，/?%=-1，

?"母總4=十-16,

故答案為：一11.

【點睛】

本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.

14.39

【解析】

求出。專業(yè)人數在A、B、C、。四個專業(yè)總人數的比例后可得.

【詳解】

由題意A、B、C、。四個不同的專業(yè)人數的比例為8:12:10:13,故。專業(yè)應抽取的人數為

129x-------：------=39.

8+12+10+13

故答案為：1.

【點睛】

本題考查分層抽樣，根據分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數量是按比例抽取的.

15.1

【解析】

判斷函數f(x)為偶函數，周期為2,判斷g(x)為偶函數，計算y(o)=oj⑴=1,g(o)=g(g)=g(-；)=g(T)=o,

畫出函數圖像，根據圖像到答案.

【詳解】

/(—x)=/(x)知，函數”X)為偶函數，f(x)=f(2-x),函數關于X=1對稱。

/(x)=/(2-x)=/(x-2),故函數/(x)為周期為2的周期函數，且。(0)=0J(l)=L

g(x)Uxcos(4x)|為偶函數，g(0)=g(；)=g(—g)=g(g)=0,g(l)=l,

當xe0,；時，g(x)=xcos(;rx),g'(x)=cos(乃x)-?xsin(萬x),函數先增后減。

(\3-1

當時，g(x)=-xcos(ix),g'(x)=;rxsin(乃x)-cosQrx),函數先增后減。

在同一坐標系下作出兩函數在［-上］,±31上的圖像，發(fā)現在1—二3］內圖像共有1個公共點,

2222

13

則函數/7(/在上的零點個數為1.

22

故答案為：6.

本題考查了函數零點問題，確定函數的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數圖像是解題的關鍵.

16.9

【解析】

對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況下14個學生所扮演的角色的分組，綜合可得出結論.

【詳解】

依題意，14名學生分成5組，則一定是4個3人組和1個2人組.

①若新加入的學生是士兵，則可以將這14個人分組如下；3名士兵；士兵、排長、連長各1名；營長、團長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；

②若新加入的學生是排長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；連長、營長、團長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名排長.所以新加入的學生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；

③若新加入的學生是連長，則可以將這14個人分組如下：2名士兵；士兵、排長、連長各1名；連長、營長、團長各1

名；旅長、師長、軍長各1名；3名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；

④若新加入的學生是營長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；營長、團長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；

⑤若新加入的學生是團長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名團長.所以新加入的學生可以是團長.

綜上所述，新加入學生可以扮演9種角色.

故答案為：9.

【點睛】

本題考查分類計數原理的應用，解答的關鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)/=2y；(2)存在，

2

【解析】

(1)根據拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結合已知點的坐標，即可求得方程；

(2)由拋物線方程求得點P的坐標，設出直線/的方程，利用導數求得點T的坐標，聯立直線/的方程和拋物線方程,

結合韋達定理，求得|啊,|7?|,進而求得|P7f與|啊|陽之間的大小關系，即可求得參數/I.

【詳解】

(1)由題意得，點M與點的距離始終等于點“到直線y=-g的距離，

由拋物線的定義知圓心M的軌跡是以點(0,；]為焦點，直線y=-g為準線的拋物線，

則4=1，P=?圓心M的軌跡方程為

(2)因為是軌跡E上橫坐標為2的點，

由(1)不妨取氣2,2),所以直線OP的斜率為1.

因為〃/OP,所以設直線/的方程為〉=x+〃"

由y=5廠，得y=x,則E在點P處的切線斜率為2,

所以E在點尸處的切線方程為y=2x—2.

y=x4-m,fx=m+2,

由「cc得cc所以丁(加+2,26+2),

y=2x-2,[y=27n+2,

所以|PT|2=[(m+2)-2]2+[(2m+2)-2y=5m2.

y=x+m,

由，c消去y得/一2x—2機=0，

x=2y

由A=4+8m>0,得加>一1且相。0.

2

設A（ax）,8（%，%），

則%+馬-2m.

=2,Xj%2=

因為點T,A，3在直線/上，

所以|小|=夜歸—(〃

2+2)|,|7BbV2|x2-(m+2)|,

所以|Z4|刀3|=2,一(租+2)|仁一(加+2)|

=2卜々一(機+2)(玉+x2)+(〃2+2升

=21-2m-2(m+2)+(m+2)21=2m2,

所以o二5

|P”|W|T8|.

2

/.2=—

2

故存在％=使得|PTT=/1|A1HTB|.

【點睛】

本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導數的幾何意義，屬綜合性中檔題.

18.證明見解析

【解析】

根據相似三角形的判定定理，已知兩個三角形有公共角NP,題中未給出線段比例關系，故可根據判定定理一需找到另外

一組相等角，結合平面幾何的知識證得NPBD=NOCP即可.

【詳解】

證明：???A￡=AC,所以NC￡)E=ZAOC,

又因為ZCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=ZP+NPCO,

所以/PFD=NOCP.

在△PDb與APOC中，NP=NP,NPFD=NOCP,

板"DF?bPOC.

【點睛】

本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數形結合思想;

分析圖形，找出角與角之間的關系是證明本題的關鍵;屬于基礎題.

19.(1)(2)?=—.

212

【解析】

■_|21i

(1)根據\b-a]-a-a-b-\a\,由向量"，B的坐標直接計算即得；（2）先求出b+c，再根據向量平行的坐標關系

解得

【詳解】

71.(71、

(1)由題，向量a=(cosa,sina),bcosa-\■——,sina-\——

4I4J

|2

貝!J_a).a=a.B

71

=coscrcos?+—+sinasina+—cos?a+sin2a

44

711一五1

=cos—1——------1

2

(2)1),「.B+ccosa+一+1,sinccH—+1?

I4I4J)

、

71

cosa-\——+1sina—sina+—+1coscr=0,

4J4J

整理得5皿0-(：0$0=$也[1+?4000-(：0$[0+?71卜抽0,

4

7171]_

化簡得&sina---=-sin?,即sinIa

42

71717C

Q0<a<p—<cc----<-

444f

兀兀口n5萬

oc----=-9即a=—

4612

【點睛】

本題考查平面向量的坐標運算，以及向量平行，是常考題型.

,,+|3(2)

20.(1)an=n,b?=2n+\.(2)2-^

2n+3

【解析】

方案一：（1）根據等差數列的通項公式及前〃項和公式列方程組，求出q和。，從而寫出數列｛a,,｝,｛》“｝的通項公式;

3（i

（2）由第⑴題的結論，寫出數列匕｝的通項g=2"+]五力采用分組求和、等比求和公式以及裂

項相消法，求出數列｛%｝的前〃項和S”.

其余兩個方案與方案一的解法相近似.

【詳解】

解：方案一：

（1）?.?數列｛《,｝，｛a｝都是等差數列，且4=3,4=員,

2d、+d=3ci,—1

?.「U八NJ解得L1

5q+10d=9+6d[d=1

an=q+（〃一l）d-n,

bn=向+（〃一l）2d=2〃+1

綜上風=2〃+l

（2）由（1）得:

33(11

=2〃+------------------T+-」一

(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3

「?S=(2+22+???+2")+j[(W)+(：―3+???+(]

)]

235572n+l2〃+3

上巧+—

1-22132n+3J

=2”+13(〃+2)

2〃+3

方案二:

,114

(1)??,數列｛4,｝，｛4｝都是等差數列，且4=3,--------

67|Cl-)

2a+d=3fa=1

?J解得J

4q(q+d)=d(6+2d)[d=1

a〃=q+(H-1)J=n,

0“=4+(〃-l)2d=2〃+1.

綜上，an=n,bn=2n+l

（2）同方案一

方案三：

(1)?.?數列｛a,,｝，｛2｝都是等差數列，且4=3,&=35.

2a)+d=3

q=1

5x4,解得

3x5+——x2d=35d=1

2

an=at+｛n-1)J=n,

bn=偽+(〃-l)2d=2n+1.

綜上，。“=哂=2〃+1

(2)同方案一

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式、前〃項和公式的應用，考查了分組求和、等比求和及裂項相消法求數列的前〃項和,

屬于中檔題.

21.(1)證明見解析(2)也

3

【解析】

(1)先證av_