九年級數(shù)學(xué)上冊23.2一元一次方程的解法

23.2一元二次方程的應(yīng)用制作:魯紅坡ax2+bx+c=0學(xué)習(xí)如逆水行舟不進則退一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，(1)當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2)當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3)當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．根的判別式知識點一：根的判斷式用配方法將其變形為：一、一元二次方程的根的判斷式【例1】不解方程，判斷下列方程實根的個數(shù).解

(1)

∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．∴原方程有兩個相等的實數(shù)根．(2)原方程可化為：例1解方程一、解一元二次方程的方法：1.直接開方法；因式分解法（提取公因式法、十字相乘法（利用根與系數(shù)的關(guān)系）。一、一元二次方程的根的判斷式【例1】不解方程，判斷下列方程實根的個數(shù).方法提煉：△與0的大小關(guān)系決定方程實根的情況；另外，在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．解

(3)

∴原方程沒有實數(shù)根．原方程可化為：例1一、一元二次方程的根的判斷式【例2】解一元二次方程．解法一（因式分解）移項,得①方程化為一般形式解題步驟②因式分解成A.B=0的形式③A=0或B=0④寫出方程的兩個根方程左邊因式分解,得例2解法一兩邊同時除以3,得配方，得開平方,得①二次項系數(shù)化1.②配方,并寫成(x+m)2=k(k≥0)的形式.③開平方,寫出方程的兩個解.一、一元二次方程的根的判斷式【例2】解一元二次方程．解法二（配方法）解題步驟例2解法二2.配方法：（1）解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;(2)記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方”；(3)在數(shù)學(xué)思想方法方面，體會“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。3.用配方法解一元二次方程的步驟

(1)化二次項系數(shù)為1；

(2)移項，使方程左邊只有二次項及一次項；

(3)在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；

(4)變形為(x+m2)=n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m--一、一元二次方程的根的判斷式【例2】解一元二次方程．解法三（公式法）解題步驟移項,得①將方程化成一般式,并確定出a,b,c的值.②求出b2-4ac的值(特別注意b2-4ac＜0)③代入求根公式.④寫出方程的兩個根.故例2解法三公式法：強調(diào)公式的條件：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達定理．知識點二：韋達定理韋達定理成立的前提是．方程可化為：根與系數(shù)關(guān)系1.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，首先要把已知方程化成一般形式.2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，要特別注意，方程有實根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng)

b2-4ac≥0時，才能應(yīng)用根與系關(guān)系.3.可以通過一元二次方程系數(shù)判斷方程根的情況.二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例3(1)(2)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例3(3)(4)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系方法提煉：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

韋達定理體現(xiàn)了整體代換思想．例3方法提煉二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例4解法一二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例4解法二-3-2-10123-1-2-3123xy

課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.一元二次方程的求解方法：①直接開平方法；②因式分解法；③公式法；④配方法等，通常先考慮直接開平方法和因式分解法。課堂小結(jié)2.應(yīng)用韋達定理時,務(wù)必要注意韋達定理成立的條件是;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有方程.

求根公式：某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，若二月份的產(chǎn)鋼量上升,增長了20％,則【情景引入】（1）二月份增加的產(chǎn)鋼量為多少噸？（2）該鋼鐵廠二月份的產(chǎn)鋼量為多少噸？（3）若該鋼鐵廠三月份的產(chǎn)鋼量增長了

20％，則三月份產(chǎn)鋼為多少噸？某廠一月份產(chǎn)鋼50噸，二、三月份的增長率都是10％，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？【小試牛刀】某廠一月份產(chǎn)鋼a噸，二、三月份的增長率都是x，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？增長率問題：(1)

最終產(chǎn)量=原產(chǎn)量+增產(chǎn)量(2)增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率(3)最終產(chǎn)量

=原產(chǎn)量＋原產(chǎn)量×增長率

=原產(chǎn)量×(1＋增長率)．歸納某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，若二月份的產(chǎn)鋼量下降,減少了20％,則【情景引入】（1）二月份減少的產(chǎn)鋼量為多少噸？（2）該鋼鐵廠二月份的產(chǎn)鋼量為多少噸？（3）若該鋼鐵廠三月份的產(chǎn)鋼量減少了

20％，則三月份產(chǎn)鋼為多少噸？某廠一月份產(chǎn)鋼50噸，二、三月份的下降率都是10％，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？【小試牛刀】某廠一月份產(chǎn)鋼a噸，二、三月份的下降率都是x，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？歸納下降率問題：(1)

最終產(chǎn)量=原產(chǎn)量-減產(chǎn)量(2)減產(chǎn)量=原產(chǎn)量×下降率(3)最終產(chǎn)量

=原產(chǎn)量-原產(chǎn)量×下降率

=原產(chǎn)量×(1-下降率)．

解：設(shè)平均每月的增長率為x．根據(jù)題意得

5000(1+x)2=7200

某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

(1+x)2=1.44解得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）取x=0.2=20％．

答：平均每月增長的百分率是20％．1.學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.2.某市進行環(huán)境綠化，計劃兩年內(nèi)把綠化面積增加44%，問平均每年增長的百分率是多少？【課堂練習(xí)】3.某種藥劑原售價為4元,經(jīng)過兩次降價,現(xiàn)在每瓶售價為2.56元,問平均每次降價百分之幾?

【探究升級】某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元,3月份的營業(yè)額比2月份增加10％,5月份營業(yè)額達到633.6萬元,求3月份到5月份營業(yè)額的平均月增長率?(2004年廣東省中考數(shù)學(xué)試題)2、情景引入：（1）、2008年我市將作為足球分賽區(qū)參加奧運會，為此，我市領(lǐng)導(dǎo)決定，將2006年已有的綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，到2008年底增加到363公頃，如果每年的增長率均為x，這2007年綠化面積為

公頃；2008年綠化面積為

公頃?？闪蟹匠?/p>

:

大家一起來加油！加油！300（1+x）300（1+x）2300(1+x)2=363（2）、秦新大世界有一種線衣從原來的每件40元，經(jīng)兩次調(diào)價后，調(diào)至每件32.4元，若兩次調(diào)價的降價率均為x，則第一次調(diào)價后降至

元，第二次調(diào)價后降至

元。可列方程為：

。40（1-x）40（1-x）240（1-x）2=32.4增長率問題：設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，則一次增長后的值為，二次增長后的值為降低率問題：若基數(shù)為a，降低率為x，則一次降低后的值為，二次降低后的值為．智慧結(jié)晶a(1+x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率或降低率、增長或降低次數(shù)

的基本關(guān)系：

M=a(1±x)n

n為增長或降低次數(shù)

M為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增長率

或降低率

例1：政府為了解決老百姓看病貴的問題，決定下調(diào)一些藥品的價格，某種藥品原售價為125元/盒，連續(xù)兩次降價后售價為80元/盒，假設(shè)每次降價的百分率相同，求這種藥品每次降價的百分率數(shù)學(xué)與日常生活解：設(shè)這種藥品的每次降價的百分率為x根據(jù)題意得：

125(1-x)2=80

解這個方程，得：

x1=0.2，x2=1.8∵x=1.8不合題意，舍去?！鄕=0.2=20%答：這種藥品每次降價率為20%。例2、2004年，自治區(qū)黨委、人民政府決定在烏魯木齊、庫爾勒等八個城市開辦區(qū)內(nèi)初中班，重點招收農(nóng)牧民子女及其他家庭貧困的學(xué)生．某市2004年9月招收區(qū)內(nèi)初中班學(xué)生50名，并計劃在2006年9月招生結(jié)束后，使區(qū)內(nèi)初中班三年招生總?cè)藬?shù)達到450名．若該市區(qū)內(nèi)初中班招生人數(shù)平均每年比上年的增長率相同，求這個增長率．

解：設(shè)平均增長率為Ｘ

2004年：502005年：50(1+X)2006年：50(1+X)2

列方程得： 50+50(1+X)+50(1+X)2＝450得X１＝1.37X２＝-4.37

∵X２不符合題意

∴X＝137%答：平均增長率為137%。一元二次方程的解法舉例(選用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?1.解一元二次方程的方法有：①因式分解法②直接開平方法③公式法④配方法⑴5x2-3x=0⑵3x2-2=0⑶x2-4x=6⑷2x2-4x-16=0⑸x2+7x-7=0

2.引例：給下列方程選擇較簡便的方法（運用因式分解法）（運用直接開平方法）（運用配方法）（運用配方法）（運用公式法）（方程一邊是0，另一邊整式容易因式分解）（()2=CC≥0

）(化方程為一般式）（二次項系數(shù)為1，而一次項系為偶數(shù)）（二次項系數(shù)不為1時，先在方程兩邊同時除以二次項系數(shù)再配方）例1.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋孩伲▁-2)2=9②t2-4t=5③(m+1)2-4(2m-5)2=0

解：x-2==3∴x=23∴x1=5,x2=-1解：t2-4t+4=5+4（t-2)2=9∴t-2==3∴t=23∴t1=5,t2=-1鞏固練習(xí)：

1、填空：

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤（x-3）2=2(3-x)⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2-16=0

適合運用直接開平方法適合運用因式分解法適合運用公式法適合運用配方法

②3x2-1=0

⑥5(m+2)2=8③-3t2+t=0⑤（x-3）2=2(3-x)

⑨(x-2)2-16=0①x2-3x+1=0

⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0④x2-4x=2

規(guī)律：①一般地，當(dāng)一元二次方程一次項系數(shù)為0時（ax2+c=0），應(yīng)選用直接開平方法；若常數(shù)項為0（

ax2+bx=0），應(yīng)選用因式分解法；若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0(ax2+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；不過當(dāng)二次項系數(shù)是1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法也較簡單。⑨

(x-2)2-16=0⑧2x2+4x-1=0②公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平方法”、“因式分解法”等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）例2.解方程

①(x+1)(x-1)=2x②(x-2)2-2(x-2)=-1