矩陣的初等變換與線性方程第二節(jié)

§2矩陣的秩一、矩陣的秩的概念定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n

矩陣A的k

階子式共有個(gè)．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．如：三階子式：二階子式：所以，矩陣A的秩為2矩陣A的一個(gè)3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個(gè)3階子式也等于零．定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個(gè)r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來(lái)表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實(shí)上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個(gè)s

階子式不等于零，則R(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則R(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個(gè)，即|A|． 當(dāng)|A|≠0時(shí)，R(A)=n;

可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當(dāng)|A|=0時(shí)，R(A)<n;

不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩陣A的一個(gè)2階子式矩陣AT

的一個(gè)2階子式AT

的子式與A

的子式對(duì)應(yīng)相等，從而R(AT)=R(A)．例：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的3階子式，因此R(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．二、矩陣的秩的計(jì)算例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個(gè))，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的．一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？定理2：若A~B，則R(A)=R(B)

．推論：若可逆矩陣P，Q使PAQ＝B，則R(A)=R(B)

．定理2：若A~B，則R(A)=R(B)．

應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩．例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．分析：對(duì)B

作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)B

的行階梯形矩陣為，則就是A

的行階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出R(A)及R(B)．例：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3例：設(shè)，已知R(A)=2，求的值．解：因R(A)=2,故即矩陣的秩的性質(zhì)若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(B)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當(dāng)B=b

為非零列向量時(shí)，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×n

Bn×l

=O，則R(A)＋R(B)≤n．例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×n

Bn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)

．附注：當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣．特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣．本題中，當(dāng)

C=O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．證明：因?yàn)?/p>

(A＋E)＋

(E－A)=2E，由性質(zhì)“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)

=n

．又因?yàn)镽(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×n

Bn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)

．解：因?yàn)?/p>

R(A)=n，

所以A

的行最簡(jiǎn)形矩陣為，設(shè)m

階可逆矩陣P

，滿足．于是因?yàn)镽(C)=R(PC)，而，故R(B)=R(C)

．行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.分析：若R(A)=n，則A

的行最簡(jiǎn)形矩陣應(yīng)該有n

個(gè)非零行；每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為1

；每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零．于是A

的行最簡(jiǎn)形中應(yīng)該包含以下n

個(gè)列向量：又因?yàn)锳

是m×n

矩陣，所以A

的行最簡(jiǎn)形矩陣為．前n

行后m-n

行例：若Am×n

Bn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)

．返回例：若Am×n