高三數學模擬卷及答案

高級中學高三數學（理科）試題一、選擇題：（每小題5分，共60分）1、已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x2≤1}，則A∩B=（

）A、[﹣1，1]B、[﹣2，2]C、{﹣1，0，1}D、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C

解：根據題意，|x|≤2?﹣2≤x≤2，則A={x∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，x2≤1?﹣1≤x≤1，則B={x∈Z|x2≤1}={﹣1，0，1}，則A∩B={﹣1，0，1}；故選：C．2、若復數（a∈R，i為虛數單位）是純虛數，則實數a的值為（

）A、3B、﹣3C、0D、【答案】A

解：∵=是純虛數，則，解得：a=3．故選A．

3、命題“?x0∈R，”的否定是（

）A、?x∈R，x2﹣x﹣1≤0B、?x∈R，x2﹣x﹣1＞0

C、?x0∈R，D、?x0∈R，【答案】A

解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“?x0∈R，”的否定為：?x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故選：A

4、《張丘建算經》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現有一月（按30天計），共織390尺布”，則該女最后一天織多少尺布？（

）A、18B、20C、21D、25【答案】C

解：設公差為d，由題意可得：前30項和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天織的布的尺數等于5+29d=5+29×=21．故選：C．5、已知二項式的展開式中常數項為32，則a=（

）A、8B、﹣8C、2D、﹣2【答案】D

解：二項式（x﹣）4的展開式的通項為Tr+1=（﹣a）rC4rx4﹣r，令4﹣=0，解得r=3，∴（﹣a）3C43=32，∴a=﹣2，故選：D

6、函數y=lncosx（﹣＜x＜）的大致圖象是（

）A、B、C、D、【答案】A解：在（0，）上，t=cosx是減函數，y=lncosx是減函數，且函數值y＜0，故排除B、C；在（﹣，0）上，t=cosx是增函數，y=lncosx是增函數，且函數值y＜0，故排除D，故選：A．7、若數列滿足，且與的等差中項是5，等于(B)（A）（B）（C）（D）8、如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A、1B、C、D、【答案】B

解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個平行四邊形，有兩個等腰直角三角形，直角邊長為1組成的平行四邊形，

四棱錐的一條側棱與底面垂直，且側棱長為1，

∴四棱錐的體積是．故選B．9、設a＞0，b＞0，若2是2a與2b的等比中項，則的最小值為（

）A、8B、4C、2D、1【答案】C

解：∵2是2a與2b的等比中項，∴2a?2b=4，∴a+b=2，（a+b）=1，

而a＞0，b＞0，∴=（）（+）=1++≥1+2=2，

當且僅當a=b=1時取等號．故選：C．10、若函數f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的圖象與x軸交于點A，過點A的直線l與函數的圖象交于B、C兩點，則（+）?=（

）A、﹣32B、﹣16C、16D、32【答案】D

解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z，∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）設B（x1，y1），C（x2，y2）∵過點A的直線l與函數的圖象交于B、C兩點∴B，C兩點關于A對稱即x1+x2=8，y1+y2=0則（+）?=（x1+x2，y1+y2）?（4，0）=4（x1+x2）=32故選D11、已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，若雙曲線右支上存在兩點B，C使得△ABC為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A、（1，2）B、（2，+∞）C、（1，）D、（，+∞）【答案】C

【解析】【解答】解：如圖，由△ABC為等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，設其中一條漸近線與x軸的夾角為θ，則θ＜45°，即tanθ＜1，

又上述漸近線的方程為y=x，則＜1，又e=，∴1＜e＜，雙曲線的離心率e的取值范圍（1，），故選C．

12、已知函數f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）對任意的x＞1恒成立，則k的最大值為（

）A、2B、3C、4D、5【答案】B

解：由k（x﹣1）＜f（x）對任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），

令h（x）=，（x＞1），則h′（x）=，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，畫出函數y=x﹣2，y=lnx的圖象，如圖示：

∴g（x）存在唯一的零點，

又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，

∴零點屬于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．填空題：（每小題5分，共20分）13、若x，y滿足則z=x+2y的最大值為________．【答案】2

解：由足約束條件作出可行域如圖，

由z=x+2y，得y=﹣+．

要使z最大，則直線y=﹣+的截距最大，

由圖可知，當直線y=﹣+．

過點A時截距最大．

聯立，解得，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值為0+2×1=2．故答案為：2．14、已知向量=（1，2），⊥（+），則向量在向量方向上的投影為________．【答案】﹣

解：由⊥（+），則?（+）=0，即2+?=0，則?=﹣丨丨2，

向量在向量方向上的投影為=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案為：﹣．

15、斜率為k（k＞0）的直線l經過點F（1，0）交拋物線y2=4x于A，B兩點，若△AOF的面積是△BOF面積的2倍，則k=________．【答案】2

【解析】【解答】解：∵S△AOF=2S△BOF，∴yA=﹣2yB，①∴設AB的方程為x=my+1（m＞0），與y2=4x聯立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴yA+yB=4m②，yAyB=﹣4③由①②③可得m=，∴k=2。16、定義在上的函數對任意都有，且函數的圖象關于（1,0）成中心對稱，若滿足不等式，則當時，的取值范圍是.【解析】不妨設，則．由，知，即，所以函數為減函數．因為函數的圖象關于成中心對稱，所以為奇函數，所以，所以，即．因為，而在條件下，易求得，所以，所以，所以，即.三、解答題：17、（本小題滿分12分）已知函數（其中ω＞0），若f（x）的一條對稱軸離最近的對稱中心的距離為．(1)求y=f（x）的單調遞增區(qū)間；在△ABC中角A、B、C的對邊分別是a，b，c滿足（2b﹣a）cosC=c?cosA，則f（B）恰是f（x）的最大值，試判斷△ABC的形狀．解：∵，

=，∵f（x）的對稱軸離最近的對稱中心的距離為，

∴T=π，∴，∴ω=1，∴．∵得：，∴函數f（x）單調增區(qū)間為；

（2）解：∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理，

得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），

∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，

∵0＜C＜π，∴，∴，∴．∴，

根據正弦函數的圖象可以看出，f（B）無最小值，有最大值ymax=1，此時，即，∴，∴△ABC為等邊三角形。18、（本小題滿分12分）交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記交通指數為T，其范圍為[0，10]，分為五個級別，T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵．早高峰時段（T≥3），從某市交通指揮中心隨機選取了三環(huán)以內的50個交通路段，依據其交通指數數據繪制的頻率分布直方圖如右圖．（Ⅰ）這50個路段為中度擁堵的有多少個？

（Ⅱ）據此估計，早高峰三環(huán)以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數學期望．解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，這50路段為中度擁堵的有18個．（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1，

事件B至少一個路段嚴重擁堵”，則P=（1﹣P（A））3=0.729．

P（B）=1﹣P（）=0.271，所以三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是0.271．

（III）由頻率分布直方圖可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．

此人經過該路段所用時間的數學期望是39.96分鐘．19、（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，側面ABB1A1是邊長為2的正方形，直角三角形邊滿足AC=BC，E是CB1上的點，且BE⊥平面ACB1．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB1C；

（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣C的平面角的余弦值．

證明：∵在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，

∴BB1⊥AC，∵直角三角形邊滿足AC=BC，∴AC⊥BC，又BC∩BB1，∴AC⊥平面BB1C．

（Ⅱ）解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，

∵側面ABB1A1是邊長為2的正方形，直角三角形邊滿足AC=BC，∴2AC2=4，解得AC=BC=，

B（0，，0），A（），B1（0，，2），C（0，0，0），

=（﹣，，2），=，設平面BAB1的法向量=（x，y，z），則，取x=，得=（1，1，0），，設平面AB1C的法向量=（a，b，c），，取b=，得=（0，，1），設二面角B﹣AB1﹣C的平面角為θ，cosθ=cos＜＞==

20、已知A（x0，0），B（0，y0）兩點分別在x軸和y軸上運動，且|AB|=1，若動點P（x，y）滿足．(1)求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；(2)一條縱截距為2的直線l1與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程；(3)直線l2：x=ty+1與曲線C交于A、B兩點，E（1，0），試問：當t變化時，是否存在一直線l2，使△ABE的面積為？若存在，求出直線l2的方程；若不存在，說明理由．（1）解：因為，所以，

所以，又因為|AB|=1，所以，即：，

即，所以橢圓的標準方程為．

（2）解：直線l1斜率必存在，且縱截距為2，設直線為y=kx+2聯立直線l1和橢圓方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得（*），

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

（1）

以PQ直徑的圓恰過原點，所以OP⊥OQ，，即x1x2+y1y2=0，

也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，

將（1）式代入，得﹣+4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，

解得，滿足（*）式，所以．所以直線方程為y=±x+2

（3）解：由方程組，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

所以，

因為直線l：x=ty+1過點F（1，0），所以S△ABE=|EF|?|y1﹣y2|=×2×=

令==2，則不成立，故不存在直線l滿足題意。21、已知函數f（x）=alnx+x2+bx（a為實常數）．(1)若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的單調區(qū)間；(2)若b=0，且a＞﹣2e2，求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；(3)設b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數a的取值范圍．（1）解：a=﹣2，b=﹣3時，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定義域為（0，+∞），

，當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，所以函數f（x）的單調增區(qū)間為（2，+∞）；單調減區(qū)間為（0，2）；

（2）解：因為b=0，所以f（x）=alnx+x2，x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，

（i）若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=﹣2，x=1時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是增函數，此時[f（x）]min=f（1）=1；

（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，，x∈[1，e]，

當時，f'（x）=0，，

當時，f'（x）＜0，此時f（x）是減函數；

當時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數．

故；

（3）解：b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x，即alnx+x2≤（a+2）x可化為a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．因為x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），又，當x∈[1，e]時，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，從而g'（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數，

故g（x）的最小值為g（1）=﹣1，所以實數a的取值范圍是[﹣1，+∞）。請考生在22,23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第