專題07 全等三角形經典壓軸題型專訓（解析版）

專題07全等三角形經典壓軸題型專訓【精選40道全等三角形經典壓軸題型專訓】1．（2023春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是的平分線，，若，則的面積（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】延長交于點C，根據題意，易證，因為和同高等底，所以面積相等，根據等量代換便可得出．【詳解】如圖所示，延長，交于點D，

，∵，∴，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練運用三角形的角平分線和全等三角形的判定．2．（2023春·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，于，則下列結論：①；②平分；③；④，其中正確的是（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據角平分線的性質得出結論：；②證明，得平分；③由四邊形的內角和為得，再由平角的定義可得結論是正確的；④由得，再由，得出結論是正確的．【詳解】解：①，平分，，；所以此選項結論正確；②，，，，，平分，所以此選項結論正確；③，，，，所以此選項結論正確；④，，，，所以此選項結論正確；本題正確的結論有4個，故選D．【點睛】本題考查了全等三角形性質和判定，同時運用角平分線的性質得出兩條垂線段相等；本題難度不大，關鍵是根據證明兩直角三角形全等，根據等量代換得出線段的和，并結合四邊形的內角和與平角的定義得出角的關系．3．（2023春·福建福州·七年級福建省福州第一中學?？计谀┤鐖D，在四邊形中，BD平分，于點D，，，則面積的最大值為（

）

A． B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】延長，兩者交于點G，過G點作，交于（或的延長線）于點H，證明，即有，進而有，根據，有△AGC的面積為，當G點與H點重合時，即時，可得，此時達到最大，則的最大面積為：；根據，可得，則的最大面積可求．【詳解】延長，兩者交于點G，過G點作，交于（或的延長線）于點H，如圖，

∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴的面積，∵，∴，∵在中，，∴即，是直角三角形，斜邊為，∴，∵，∴，當G點與H點重合時，即時，可得，此時達到最大，∴則的最大值為3，∴的最大面積為：，∵，∴D點為中點，∴，∴的最大面積為：，故選：A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質以及三角形的面積公式等知識，構造輔助線，并判斷出當G點與H點重合時達到最大，是解答本題的關鍵．4．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）小明同學在用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線，具體過程是這樣的：已知：．求作：的平分線．作法：第一步：如圖，以點為圓心，適當長為半徑畫弧交于點，交于點．第二步：分別以點為圓心，大于的長為半徑畫孤，兩弧在的內部相交于點．第三步：畫射線．射線就是所要求作的的平分線．下列關于小明同學作法的理由，敘述正確的是（

）

A．由可得，進而可證B．由可得，進而可證C．由可得，進而可證D．由“等邊對等角”可得【答案】B【分析】根據題意，第一步得到；第二步得到；第三步得到，從而由三角形全等的判定定理得到由可得，進而可證，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，第一步得到；第二步得到；第三步得到；由可得，進而可證，故選：B．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖及全等三角形的判定與性質，掌握角平分線尺規(guī)作圖及三角形全等的判定是解決問題的關鍵．5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考三模）如圖，等腰三角形中，，，平分，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點D作于點M，作于點N，根據角平分線的性質得到，從而，過點B作于點E，則，從而得到，又，可求出．【詳解】

解：過點D作于點M，作于點N，平分，∴，，過點B作于點E，，，，，故選：D．【點睛】本題考查角平分線的性質，解題的關鍵是通過三角形的面積得到邊之間的關系．6．（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，若已知周長為，，，則長為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】證明得出，證明得出，進而即可求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周長為，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，角分線的定義，構造全等三角形是解題的關鍵．7．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，任意畫一個的，再分別作的兩角的角平分線和，、相交于點P，連接，有以下結論：①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據三角形內角和定理和角平分線的定義求出即可判定①；如圖所示，過點P作于F，于G，于H，利用角平分線的性質得到即可判斷②；證明，得到，，即可判斷④；再證明，得到，同理可證，推出即可判斷⑤；根據現(xiàn)有條件無法證明③．【詳解】解：∵在中，，∴，∵的兩條角平分線和交于，∴，，，故①正確；，如圖所示，過點P作于F，于G，于H，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，故④正確；在和中，，∴，∴，同理可證，∵，∴，∴，故⑤正確；根據現(xiàn)有條件，無法證明，故③錯誤，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，角平分線的性質及判定，三角形內角和定理等等，作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．8．（2023春·全國·七年級期末）如圖，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分線BP、CP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，則下列結論：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】過點P作PD⊥AC于D，根據角平分線的判定定理和性質定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據全等三角形的性質得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判斷②；根據三角形的外角性質判斷③；根據全等三角形的性質判斷④．【詳解】解：①過點P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PN＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴AP平分∠EAC，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，∴∴∠BAC＝2∠BPC，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故選：D【點睛】本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定和性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．9．（2023春·重慶南岸·八年級重慶市廣益中學校?？茧A段練習）如圖，在中，，的外角平分線與內角平分線的延長線交于點，過點作交延長線于點，連接，點為中點．有下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分線的性質和外角的性質可得，可求，故①正確，由余角的性質可證，故②正確，由“”可證，，可得，，，可得，，故③不正確、④正確；即可求解．【詳解】解：平分，平分，，，，，即，又，，故①正確；，，，，，故②正確；過點作于，如圖所示：，，點為中點，，在中根據三角形三邊關系可知，即，故③錯誤；，，在和中，，，，，在和中，，，，，故④正確；故選：D．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，外角的性質和三角形三邊關系等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．10．（2023春·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分線，點E在AC上，過點E作EF⊥BC于點F，延長CB至點G，使BG＝2FC，連接EG交AB于點H，EP平分∠GEC，交AD的延長線于點P，連接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，則下列結論：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④【答案】D【分析】過點P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，根據角平分線的性質定理可知，PM=PN=PI，易證PH平分∠BGE，即∠PHM=∠PHI．設∠PEH=a，∠PAB=，由外角的性質可得∠APE=a-，∠AHE=2a-2，所以∠APE=∠AHE；故①正確；由外角的性質可得∠PHE=90°-a+，由三角形內角和可得，∠HPE=180°-a-（90°-a+）=90°-，所以∠PHE∠HPE，即PEHE；故②不正確；在射線AC上截取CK=EC，延長BC到點L，使得CL=FC，連接BK，LK，易證△EFC≌△KLC，所以EF=LK，∠L=∠EFC=90°，易證FG=BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF=∠KBC，GE=BK，由由外角的性質可知，∠BAC=∠BKC，所以AB=BK=GE，故③正確；因為S△PAB=·AB·PM，S△PGE=GE·PI，且AB=CE，PM=PI，所以S△PAB=S△PGE，故④正確．【詳解】解：過點P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，∴PM＝PN＝PI，∴∠PMH＝∠PIH，∵PH＝PH，∴∠PHM＝∠PHI，∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），∴∠PHM＝∠PHI，設∠PEH＝α，∠PAB＝β，∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，對于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝α﹣β，對于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，∴∠AHE＝2α﹣2β，∴∠APE＝∠AHE；故①正確；∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，∴∠PHE＝90°﹣α+β，∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正確；在射線AC上截取CK＝EC，延長BC到點L，使得CL＝FC，連接BK，LK，∵∠ECF＝∠LCK，∴△EFC≌△KLC（ASS），∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，∵BG＝2FC，F(xiàn)C＝CL，∴BG＝FL，∴FG＝BL，∴△GEF≌△BKL（SAS），∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，∴∠BAC＝∠BKC，∴AB＝BK，∴GE＝AB，故③正確；∵S△PAB＝?AB?PM，S△PGE＝GE?PI，又∵AB＝GE，PM＝PI，∴S△PAB＝S△PGE．故④正確．故選：D．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，角平分線的性質與判定，三角形外角的性質定理，作出輔助線，構造全等是解題關鍵．11．（2023秋·山東淄博·八年級淄博市張店區(qū)實驗中學校考期末）如圖，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交下點F，連接并延長CF交AB于點G，∠AEB的平分線交CG的延長線于點H，連接AH．則下列結論：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正確的有（

）個．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】①利用三角形內角和定理即可說明其正確；②利用垂直平分線的性質即可說明其正確；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的結論結合等量代換和等式的性質即可得出結論；⑤利用③中的結論結合等量代換和等式的性質即可得出結論．【詳解】如圖所示，設EH與AD交于點M，∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，故①正確；∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，∴∠BFD＝45°，∴∠AFE＝∠BFD＝45°，∵BE⊥AC，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形，∵EM是∠AEF的平分線，∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH為AF的垂直平分線，∴AH＝HF，∴②正確；∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD，同理，BD＝DF，在△ABD和△CFD中，，∴△ABD≌△CFD（SAS）,∴③正確；∵△ABD≌△CFD，∴CF＝AB，∵CH＝CF+HF，由②知：HF＝AH，∴CH＝AB+AH，∴④正確；∵BD＝DF，CD＝AD，又∵DF＝AD﹣AF，∴BD＝CD﹣AF，∴⑤正確，綜上，正確結論的個數(shù)為5個．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，垂直平分線的判定與性質等相關知識，綜合性較強，難度較大，做題時要分清角的關系與邊的關系．12．（2023春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是（

）A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）【答案】C【分析】根據條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對三角形全等；圖3中有6對三角形全等，根據數(shù)據可分析出第n個圖形中全等三角形的對數(shù)．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對三角形全等；同理：圖3中有6對三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關鍵是根據條件證出圖形中有幾對三角形全等，然后尋找規(guī)律．13．（2023春·河北保定·七年級?？茧A段練習）如圖，，點在上，與交于點，．

（1）若，則的長為；（2）連接，若，則的值為．【答案】【分析】（1）根據全等三角形的性質分析求解；（2）結合三角形中線的性質求得的面積，從而利用全等三角形的性質分析求解．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，即，∴，（2）又（1）可得，∴，∵，∴

故答案為：；．【點睛】本題考查全等三角形的性質，三角形中線的性質，理解全等三角形的性質及三角形中線的概念是解題關鍵．14．（2023春·廣東佛山·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在射線上運動速度為，它們運動的時間為（s）（當點運動結束時，點運動隨之結束），當點，運動到某處時，有與全等，此時.

【答案】或【分析】分兩種情況解決：①若，則；②若,則，建立方程求得答案即可．【詳解】解：分兩種情況：①若，則，可得，解得：，②若,則，，解得．故答案為或．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質，注意分類討論思想的滲透．15．（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，點是的中點，，，平分，則下列結論中，正確的是．（填序號）．①；②；③；④．【答案】①②④【分析】過點作于點，根據角平分線的性質可得，根據可證，可得，；根據可得，再運用全等三角形的性質即可判斷②④；根據，，即可判斷①，根據，，即可判斷③．【詳解】解：過點作于點，如圖所示：，平分，，在和中，，，，，點是的中點，，，，，在和中，，，，，，故②符合題意；，故④符合題意；，故①符合題意，，，故③不符合題意，綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．16．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于點，交于點，過點作于點，連接．現(xiàn)給出以下結論：①；②若，，則；③；④當時，．其中正確的是．（寫出所有正確結論的序號）【答案】①③④【分析】過O作，，交、于點G、H，根據角平分線性質可得到，即可判斷①②，在中根據三角形內角和定理可得，可得，結合即可判斷③，在上截取，當時，由③可得，即可得到，即可判斷④，即可得到答案；【詳解】解：過O作，，交、于點G、H，∵和的平分線，相交于點，，，，∴，∴平分角，故①正確；∵，，∴，故②錯誤；在中根據三角形內角和定理可得，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，在上截取，∵和的平分線，相交于點，平分角，∴，，，在與，，，∴，∴，∴，在與，，∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①③④；【點睛】本題考查角平分線的性質，三角形全等的性質與判定，三角形內角和定理，解題的關鍵作輔助線．17．（2023春·福建福州·七年級福建省福州第十六中學?？计谀┤鐖D，在和中，，，，．連接，交于點，連接．則在下列結論中：①，②，③若平分，則，④．正確的結論有（填序號）

【答案】①②③【分析】由題意易證，即得出，，故②正確；結合，即可求出，故①正確；由角平分線的定義可知，從而可證，進而可證．即可利用“”證明故③正確；過點O作于點G，于點H，易證，即得出，說明平分，即．假設成立，得出，從而可求出，進而可證平分．因為不確定平分，不一定成立，故④錯誤．【詳解】解：∵，∴，即．在和中，，∴，∴，，故②正確；∵，∴，故①正確；∵若平分，∴．∵，∴，∴，即．∵，∴．又∵，∴，故③正確；如圖，過點O作于點G，于點H，在和中，，∴，

∴，∴平分，即．假設成立，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即平分．∵不確定平分，∴不一定成立，故④錯誤．故答案為：①②③．

【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質，角平分線的定義與性質，平行線的性質，三角形內角和定理等知識．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．18．（2023春·福建福州·七年級福州華倫中學?？计谀┤鐖D，在中，，角平分線、交于點O，于點．下列結論；①；②；③；④，其中正確結論是．

【答案】①③④【分析】過點作于點，由角平分線的性質定理可得，然后結合三角形面積公式即可判斷結論①；首先求得，假設，則，可求得，再根據，即可判斷結論②；在上截取，連接，分別證明和，由全等三角形的性質可得，即可判斷結論③；由全等三角形的定義和性質易得，，可知，即可判斷結論④．【詳解】解：如下圖，過點作于點，

∵平分，，，∴，∴，故結論①正確；∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，又∵，∴，故結論②錯誤；在上截取，連接，

在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，故結論③正確；∵，，∴，，∴，∴，故結論④正確．綜上所述，結論正確的為①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理、全等三角形的判定與性質等知識，綜合性強，熟練掌握相關知識并熟練運用是解題關鍵．19．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）如圖，邊長為6的等邊，F(xiàn)是邊的中點，點D是線段上的動點，連接，在的右側作等邊，連接、、，則以下結論：①；②；③；④的周長最小值為9；⑤當周長最小時，．其中正確的結論有（填序號）．

【答案】①②③④【分析】①根據等邊三角形三線合一可以判斷；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中結論；③根據②中可得到結論；④當點和點重合時，的邊長最短為3，此時的周長為9；⑤先證明點在射線上運動，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，的周長最小，即最小，而，即最小，當和重合時，取最小值，而此時，據此可判斷．【詳解】解：①根據等邊三角形三線合一可以得：，故①正確；②∵垂直平分，∴，而，得到；故②正確；③根據②中的結論可得③正確；④的周長最短，即的長度最小，當點和點重合時，，此時的周長為9，故④正確；⑤連接并延長，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，

∵即∴在和中，∴≌∴∴點在射線上移動；∵、關于直線對稱，∴，∴，∴為等邊三角形，又∵為中點∴∴周長最小，則最?。弧咧本€為的垂直平分線，∴，在中，所以當與重合時最小，即為的長，此時，故⑤錯誤；故正確結論序號為①②③④．【點睛】本題考查了軸對稱最短問題，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是證明在射線上運動．20．（2023秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如右圖，在和中，，，．過A作于點G，的延長線與交于點F，連接．（1）若，，則；（2）若，，則四邊形的面積為．【答案】1433【分析】先根據“”證明≌，再根據全等三角形的對應邊相等得出答案．作，再根據（1）得出≌，進而證明≌，然后證明≌，即可得出，代入數(shù)值計算得出答案．【詳解】∵，∴，即．∵，，∴≌，∴．∵，∴．故答案為：14；作，交于點H，由（1）得≌，∴，，∴≌，≌，∴．∵，，∴．故答案為：33．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，將不規(guī)則四邊形的面積轉化為三角形的面積是解題的關鍵．21．（2023秋·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，、為邊上兩點，為邊上的一點，連接，，，，．則．【答案】22【分析】如圖，在右側作，交延長線于點K,過點D作,交于G，交于L，過L分別作、、的高，分別相交于H、I、J；由根據平行線和角的數(shù)量關系得到,，從而得到，將轉到，利用角的關系和角平分線的性質可再證明，然后利用線段的關系計算從而得出結果．【詳解】如圖，在右側作，交延長線于點K,過點D作,交于G，交于L，過L分別作、、的高，分別相交于H、I、J；,，是的平分線；又在與中，；又角平分線、交于L，，，在與中，，在與中，，，．故答案為22．【點睛】本題主要考查了與三角形有關的角的計算、角平分線的性質、三角形全等的判定和性質，重點是利用三角形全等，對線段進行轉換，從而進行求解，難點是通過輔助線構造全等三角形．22．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點M，作的延長線得到射線，作射線，有下面四個結論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】由角平分線的定義可知．再根據三角形外角的性質得出，即可確定，故①正確；過點M作于點F，于點G，于點H，由角平分線的性質定理可得出．即易證，得出，即說明射線是的角平分線，故③正確；利用反證法，假設，易證，即得出．由，可知，即說明不成立，故②錯誤；由，即得出．再根據角平分線的定義即得出，最后結合三角形內角和定理即可求出結論，可判斷④正確．【詳解】解：∵為的平分線，∴．∵，∴，∴，故①正確；如圖，過點M作于點F，于點G，于點H，∵為的平分線，為的平分線，∴．又∵，∴，∴，即射線是的角平分線，故③正確；假設，∴．∵為的平分線，是的角平分線，∴，，∴，即，∴，即．∵，∴，∴假設不成立，故②錯誤；∵，∴．∵，∴，∴，∴④正確．綜上可知所有正確結論的序號是①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題考查角平分線的定義，角平分線的性質定理，三角形全等的判定和性質，三角形外角的性質及三角形內角和的應用等知識．正確作出輔助線構造全等三角形，并利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．23．（2023春·七年級課時練習）如圖所示，平分，，于點，，，那么的長度為．【答案】【分析】過C作的延長線于點F，由條件可證，得到．再由條件，由，由全等的性質可得，問題可得解．【詳解】證明：如圖，過C作的延長線于點F，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴cm，∴cm．故答案為：3【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握常用的判定方法為：是解決問題的關鍵．24．（2023春·八年級課時練習）如圖，四邊形中，對角線平分，，，并且，則的度數(shù)為．【答案】/21度【分析】過點D分別作的三條垂線，利用角平分線的性質，然后再證明，推出，再根據三角形內角和定理，推出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：過點D作于點E，于點F，于點G，對角線平分，，，，，，，，，，，，=，，，即，，，，，．故答案為：．【點睛】此題考查了角平分線的性質，三角形全等判定與性質和三角形內角和定理，熟練運用各個知識點進行綜合推理是解題的關鍵．25．（2023·全國·九年級專題練習）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請寫出平分的依據：____________；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；（2）先證明，可得，可得是的角平分線；（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；（3）如圖，點即為所求作的點；

．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，角平分線的定義與角平分線的性質，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關鍵．26．（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）在一次主題為“神奇的等腰直角三角板”的數(shù)學探究活動中，卓越小組做出了如下研究：(1)小組中動手操作能力最強的小華同學用10塊高度都為的小長方體黑白積木，壘了兩堵與地面垂直的木墻（點在同一平面內），兩堵木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（），點在上，點與點分別與木墻的頂端重合，小華說無需測量便可直接求出兩堵木墻之間的距離，請你幫小華寫出求解過程．

(2)小組中探索能力最強的小聰同學先畫了一個四邊形，其中，，，，接著小聰以點為直角頂點，畫出的等腰直角三角板，連接，探索中發(fā)現(xiàn)無論以及的長度怎么變化，的面積始終不變，請直接寫出的面積．

【答案】(1)，求解過程見解析(2)的面積為【分析】（1）由題中圖形，結合“一線三垂直”模型，證明，從而由兩個三角形全等的性質得到，，則；（2）過點作交于，過點作于，如圖所示，由（1）的解答過程，證得，得到，過點作于，如圖所示，由平行線間的距離相等，得到，，進而利用三角形面積公式求出的面積為即可得到答案．【詳解】（1）解：10塊高度都為的小長方體黑白積木，壘了兩堵與地面垂直的木墻，如圖所示：

，，，，，，，，在和中，，，，；（2）解：過點作交于，過點作于，如圖所示：

∵，∴，，，，，，在和中，，，，，，，在四邊形中，，由平行線間的距離相等得到，，過點作于，如圖所示：

，，，即為底邊上的高，,無論以及的長度怎么變化，的面積始終不變，的面積為．【點睛】本題考查三角形全等的綜合應用，熟練掌握“一線三垂直”模型中全等的判定與性質、掌握平行線的判定與性質、平行線間的平行線段相等等知識是解決問題的關鍵．27．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，與相交于點C，，，，點P從點A出發(fā)，沿方向以的速度運動，點Q從點D出發(fā)，沿方向以的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為．

(1)求證：．(2)寫出線段的長（用含t的式子表示）．(3)連接，當線段經過點C時，求t的值．【答案】(1)見解析(2)當時，；當時，(3)或【分析】（1）證明，可得，可得；（2）分兩種情況計算即可；（3）先證，得，再分兩種情況，建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，∴．（2）當時，；當時，（3）當線段經過點C時，則，

又∵，∴，∴，∵，，∴∴或，∴或．【點睛】本題考查的是三角形全等中的動態(tài)幾何問題，全等三角形的判定與性質，理解題意，熟練的建立方程求解是解本題的關鍵．28．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）問題背景：如圖，在四邊形中，，，，，分別是，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是，，請說明理由；實際應用：如圖，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，，在小徑，上各修一涼亭，，在涼亭與之間有一池塘，不能直接到達．經測量得到，米，米，試求兩涼亭之間的距離．

【答案】結論應是，理由見解析；米【分析】問題背景：根據可得根據得，進而求得結果；延長至，使，連接，可證得進而證得，進一步求得，即可得出最后結果．【詳解】解：問題背景：結論應是，理由如下：，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，故答案為：；實際應用：如圖，延長至，使，連接，

，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，米，米，米．【點睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質等知識，作輔助線構造全等三角形并兩次證全等是解題的關鍵．29．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）中，平分線與相交于點，，垂足為．(1)如圖1，若，則______°；

(2)如圖2，若是銳角三角形．過點作，交于點．依題意補全圖2，用等式表示，與之間的數(shù)量關系并證明．

(3)若是鈍角三角形，其中．過點作，交直線于點，直接寫出，與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)45(2)，證明見解析(3)【分析】（1）首先證明得到，得到，再根據角平分線的定義得到，即可證明；（2）延長、交于，利用平行線的性質得，再利用三角形外角的性質可得結論；（3）由（2）同理解決問題．【詳解】（1）解：，．，．．．平分，．．（2）如圖，，理由如下：延長、交于，

，，平分，，是的外角，，；（3）．如圖，

，，是的外角，，．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線的判定與性質，三角形外角的性質，角平分線的定義等知識，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．30．（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）角平分線性質定理描述了角平分線上的點到角兩邊距離的關系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點，于點，作于點，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點，其中，求．【應用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點為中點，連接，若，則的長度為__________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）10【分析】（1）根據證明即可；（2）作于點，作于點，由角平分線的性質得，由三角形的面積公式可得，結合即可求解；（3）過E作于G，連接，由P為中點，設，根據是邊上的中線，設，根據三角形的面積的計算得到，根據角平分線的性質得到，于是得到結論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，（2）解：如圖，過點作于點，作于點，

平分，，，，同理可證，∴．，，設，則，，；（3）解：過E作于G，連接，

∵P為中點，∴，設，∵是邊上的中線，∴設，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了三角形的面積的計算，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，三角形中線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．31．（2023春·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）在中，平分交于點，交于點，P是邊上的動點（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點與點重合時，用含的式子表示；(2)當點與點不重合時，①如圖2，若平分交于點，猜想之間存在的等量關系，并說明你的理由；②若，請直接寫出的大小（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)①；理由見解析；②或【分析】（1）根據角平分線的性質得出，根據平行線的性質得出，即可得出，根據直角三角形性質得出，根據折疊得出，根據求出結果即可；（1）①在上截取，連接，證明，得出，證明為等腰直角三角形，得出，證明，得出，求出即可；②分兩種情況，當點P在點E的左側時，當點P在點E的右側時，分別畫出圖形，求出結果即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，根據折疊可知，，∴．（2）解：①；理由如下：在上截取，連接，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，根據折疊可知，，，，∵平分，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴；②當點P在點E的左側時，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，根據折疊可知，，，∴；當點P在點E的右側時，如圖所示：

∵，，∴，根據折疊可知，，，∴；綜上分析可知，或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，折疊的性質，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，平行線的性質，解題的關鍵是數(shù)形結合，作出相應的輔助線，構造全等三角形，注意分類討論．32．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，為邊上的高，是的角平分線，點F為上一點，連接，．

(1)求證：平分；(2)連接交于點G，若，求證：；(3)在（2）的條件下，當，時，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)7.5【分析】（1）根據是的角平分線和得，再結合為邊上的高得出即可證明；（2）過點F作于點M，于點N，證明，得出，再根據，解出即可證明；（3）根據及為邊上的高證明，得出，再根據，解得，結合即可求出；【詳解】（1）證明：是的角平分線，.，..為邊上的高，..

平分.（2）過點F作于點M，于點N，平分，且，，.，，平分，，在和中，，，，，，

（3），，，，為邊上的高，，，.在和中，.，，，，.【點睛】本題主要考查了全等三角形的證明以及性質運用，角平分線的判定以及基本性質，熟練掌握全等三角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關鍵．33．（2023·寧夏銀川·銀川市第三中學?？级＃﹩栴}提出（1）如圖①，已知，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N，分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點C，畫射線，連接，則圖①中與全等的是___________；

問題探究（2）如圖②，在中，平分，過點D作于點M，連接，，若，求證：；問題解決（3）如圖③，工人劉師傅有塊三角形鐵板，，他需要利用鐵板的邊角裁出一個四邊形，并要求，．劉師傅先在紙稿上畫出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出的平分線交于點D，作的平分線交于點E，交于點F，得到四邊形．請問，若按上述作法，裁得的四邊形是否符合要求？請證明你的結論．【答案】（1）；（2）見解析；（3）裁得的四邊形符合要求，理由見解析【分析】（1）利用證明即可求解；（2）過點D作交的延長線于點N，證明，推出，結合已知推出，再證明，據此即可求解；（3）作出如圖的輔助線，利用角平分線的定義結合四邊形的內角和定理推出，證明，據此即可證明結論．【詳解】解：（1），理由如下：由作法知，，，又，∴，故圖①中與全等的是，故答案為：；（2）如圖，過點D作交的延長線于點N，

∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴；（3）符合要求，證明：如圖，過點F分別作于點G，作于點H，作于點K，

∵分別是的平分線，∴，∵，∴在四邊形中，∵，，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴裁得的四邊形符合要求．【點睛】本題考查了角平分線性質定理，全等三角形的判定和性質，作出輔助線構造全等三角形的解題的關鍵．34．（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）在和中，，，．(1)如圖1，當點A，C，D在同一條直線上時，求證：，；(2)如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，（1）中結論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接并延長交于點G，的大小固定嗎？若是，求出的度數(shù)；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)是，【分析】（1）證明，得到，由對頂角相等得到，所以，即可解答；（2）證明，得到，又由，得到，即可解答；（3），如圖3，過點作，，垂足分別為、，由，得到，，證明得到，得到平分，由，得到，所以，根據對頂角相等得到．【詳解】（1）解：證明：如圖1，在和中，，，，，，，；（2）成立，證明：如圖2，，，，在和中，，，，，，，．（3），如圖3，過點作，，垂足分別為、，，，，，，，，，平分，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質定理，角平分線的性質，解決本題的關鍵是證明，得到三角形的面積相等，對應邊相等．35．（2023春·廣東深圳·七年級深圳市高級中學校考期末）已知：中，，，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側作，且．(1)如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作于H，連接DE，求證：；(2)如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連接BE交CA的延長線于點M．求證：；(3)當點D在射線CB上時，連接BE交直線AC于M，若，則的值為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）由，得，根據余角的性質可證，根據證明即可；（2）作交的延長線于點F，先證明，得，再證明可證結論成立；（3）分當點D在的延長線上時和當點D在線段上時兩種情況求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，作交的延長線于點F，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．（3）當點D在的延長線上時，作交的延長線于點G，則，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∴的值為；當點D在線段上時，作于點G，同理可證：，，設，則，∵，∴，∴，∴，，∴，綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】此題考查了同角的余角相等、全等三角形的判定與性質等知識，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關鍵．36．（2023春·七年級課時練習）（1）如圖1，，求的長度.（2）如圖2，，探索的數(shù)量關系，并證明.（3）如圖3，在中，，則______.【答案】（1）6；（2），證明見解析；（3）5【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，再根據三角形的內角和定理得到，根據全等三角形的性質得到，最后由即可解答；（2）根據等腰三角形的性質得到，求得，最后根據全等三角形的性質即可解答；（3）在內部作交于F，于是得到，求得，最后根據全等三角形的性質得到BD=EF=CF=2，最后根據即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（2），證明如下：∵，∴，∴∠，∴，∴，∴，∴；（3）如圖：在△ABC內部作交于F，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、三角形的外角的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．37．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知，射線分別和直線，交于A、B，射線分別和直線，交于C、D，點P在A、B間運動（P與A、B兩點不重合）(1)如圖①，如果，，．若，，，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系．(2)如圖②，若于點A，，，，當為多少時，，請判斷此時與的數(shù)量與位置關系，并說明理由．(3)請用尺規(guī)作圖作出的角平分線，其中P為角平分線與的交點，若此時點P為線段的中點，請你在備用圖中再畫出合適的輔助線以能展現(xiàn)你的做題思路，并直接寫出線段的數(shù)量關系，不用再說明理由．【答案】(1)；；(2)，，理由見解析；(3)作圖見解析；．【分析】（1）過點P作，交于點Q，如圖①，利用平行線性質即可得到答案；（2）由得到，，，再利用三角形內角和定理得到，即可證明；（3）以點D為圓心，以任意長度為半徑畫弧，交，于F、H，分別以H、F為圓心，以大于的長為半徑畫弧，相交于Q、T兩點，連接，即為的角平分線，設交于P，交于G，如圖③，可證，得到，再結合是的角平分線及平行線性質，即可得到，進而得到，即可得到結論．【詳解】（1）解：過點P作，交于點Q，如圖①，，，，，，，，，，，同理可得：，，故答案為：；；（2）解：，，理由如下：如圖②，若，則，，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：以點D為圓心，以任意長度為半徑畫弧，交，于F、H，分別以H、F為圓心，以大于的長為半徑畫弧，相交于Q、T兩點，連接，即為的角平分線，令交于P，交于G，如圖③，在和中，，，，是的角平分線，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形的內角和定理，全等三角形的判定和性質，作角平分線等知識，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質和全等三角形的判定和性質等基礎知識，屬于中考?？碱}型．38．（2023·河北秦皇島·模擬預測）如圖1，是的平分線，請你利用該圖形畫一對以所在直線為對稱軸的全等三角形，并將添加的全等條件標注在圖上．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：①如圖2，在中，是直角，，、分別是和的平分線，、相交于點F，求的度數(shù)；②在①的條件下，請判斷與之間的數(shù)量關