專題02 二次函數(shù)與一元二次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）（解析版）

專題02二次函數(shù)與一元二次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）【題型目錄】題型一求拋物線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)題型二由二次函數(shù)解一元二次方程題型三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集題型四拋物線交點(diǎn)問(wèn)題的綜合題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況題型六求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。2.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根。3.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒(méi)有實(shí)根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種情況:①?zèng)]有公共點(diǎn);②有一個(gè)公共點(diǎn);③有兩個(gè)公共點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況:①有實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＜0;②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△=0;③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項(xiàng)的和為0時(shí)，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).(3)拋物線中三角形面積的最值問(wèn)題，一般先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來(lái)確定最值.在將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度時(shí)，要注意符號(hào)的轉(zhuǎn)換.知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無(wú)解△＜0全體實(shí)數(shù)無(wú)解【經(jīng)典例題一拋物線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】1．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)邯鄲市第二十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由，得兩個(gè)交點(diǎn)為，求得距離為．【詳解】解：，∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為．∴兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)兩點(diǎn)式解析式，二次函數(shù)與方程的聯(lián)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離；理解方程與函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·安徽宣城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，拋物線的頂點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(拋物線隨頂點(diǎn)一起平移)，與軸交于兩點(diǎn)(在的左側(cè)，且兩點(diǎn)間距個(gè)單位長(zhǎng)度)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)最小值為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大值為(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是最小值，所以把點(diǎn)坐標(biāo)和代入可以，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出與軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值．【詳解】拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是最小值，，，拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是最大值，，，，的橫坐標(biāo)是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)形結(jié)合觀察到圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，的橫坐標(biāo)是最小值，過(guò)點(diǎn)時(shí)，的橫坐標(biāo)是最大值．3．（2023秋·河北滄州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線的最小值為，則的值為.【答案】1或【分析】（1）令，且結(jié)合，以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)即可作答；（2）分和兩種情況進(jìn)行談?wù)?，得出最小值且結(jié)合題意，解方程即可列式作答求解．【詳解】解：（1）由題意得：令，則，解得：，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，最小值為，∵當(dāng)時(shí)，拋物線的最小值為，∴，∴；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)有最大值，∵，，且；∴當(dāng)時(shí)，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故在時(shí)，拋物線取得最小值，即，解得；所以的值為1或．故答案為：；1或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸和最值問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在該拋物線上，橫坐標(biāo)為，將該拋物線B，C兩點(diǎn)之間（包括B，C兩點(diǎn)）的部分記為圖象G．

(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值是________，最小值是________；(3)圖象G的最大值與最小值的差為3時(shí)，求m的值；(4)拋物線（b為常數(shù)）與x軸的另一交點(diǎn)為D，若點(diǎn)M在拋物線上，且在x軸下方，點(diǎn)N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)4，(3)或(4)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為4，再根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y取最小值，即可求解；（3）設(shè)，分類討論：當(dāng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行求解即可；（4）先求出、，設(shè)，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為4，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值是4，最小值是，故答案為：4，；（3）解：設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，∴，解得，（舍），當(dāng)時(shí)，則，∴，，∴方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，則，∴，，當(dāng)時(shí)，則，∴，解得，（舍），綜上所述，或；（4）解：∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)，，如圖，解得或．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二由二次函數(shù)解一元二次方程】1、（2023秋·山東淄博·九年級(jí)?？计谀┮阎魏瘮?shù)（a，k，h均為常數(shù)）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和5，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律可得y向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即可得出與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)，∵，∴y向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，∵二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和5，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和3，∴一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，以及二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值等于所對(duì)應(yīng)一元二次方程的根．2．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)湖北省水果湖第一中學(xué)?？计谥校佄锞€的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)可得，方程的解為或3，整理可得，進(jìn)而得到或3，求出x的值即可的解．【詳解】解：由題意可知，拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，∴方程的解為或3，整理關(guān)于x的一元二次方程可得，，∴或3，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將變形為后得到或3．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．若關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再根據(jù)將一元二次方程的實(shí)數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點(diǎn)，結(jié)合圖象，在的范圍確定y的取值范圍即可求解．【詳解】∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為．一元二次方程的實(shí)數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，．∵方程在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象在的范圍內(nèi)與的圖象有交點(diǎn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶?shí)數(shù)根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，從而借助數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．4．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考一模）閱讀材料：材料1．已知實(shí)數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題意知m、n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得，∴材料2．如圖，函數(shù)的圖像，是一條連續(xù)不斷的拋物線，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．可知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0與1之間．所以方程的一個(gè)根所在的范圍是．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：

(1)已知實(shí)數(shù)m、n滿足，，且，求的值．(2)已知實(shí)數(shù)p、q滿足，，，且，求的值．(3)若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根大于2，另一個(gè)根小于2，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行即可；（2）由變形得，仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行即可；（3）考慮二次函數(shù)，由題意知當(dāng)時(shí)，，即可求得m的取值范圍．【詳解】（1）解：由題意知m、n是方程的兩實(shí)數(shù)解，∴，，∴；（2）解：由，得，由，得，且則與為方程的兩實(shí)數(shù)解，∴，∴．（3）解：∵一元二次方程的一個(gè)根大于2，另一個(gè)根小于2，∴令，∴當(dāng)時(shí)，，解得，．【點(diǎn)睛】本題是材料問(wèn)題，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解不等式，求代數(shù)式的值等知識(shí)，理解題中材料解決問(wèn)題的方法是問(wèn)題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集】1、（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┮阎P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的解為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，把代入，即可求得拋物線的表達(dá)式，再由不等式得，聯(lián)立和并解得，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得．【詳解】解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，由題意知，當(dāng)時(shí)，，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，將不等式整理為：，聯(lián)立和并解得：，故時(shí)，函數(shù)在之上，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式((組))和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)處圖象之間的位置關(guān)系，確定不等式的解．2．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線和直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，那么下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．是不等式的解【答案】D【分析】由圖象可得信息，，，，直接可以判斷A和B是錯(cuò)誤的；由和直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到，，可以判斷C是錯(cuò)誤的；由對(duì)稱軸為，，當(dāng)時(shí)，，可以判斷D正確；【詳解】解：由圖象可知，，∴，故A錯(cuò)誤；由圖象得知拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，故B錯(cuò)誤；∵過(guò)點(diǎn)，∴，∵過(guò)點(diǎn)，∴，∴，故C錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，，∴，即；故D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象；熟悉二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，能夠通過(guò)圖象直接獲取信息，結(jié)合題中給出條件進(jìn)行推斷．3．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）拋物線開(kāi)口向上，且過(guò)，下列結(jié)論中正確的是_________（填序號(hào)即可）．①若拋物線過(guò)，則；②若，則不等式的解為；③若，、為拋物線上兩點(diǎn)，則時(shí)；④若拋物線過(guò)，且，則拋物線的頂點(diǎn)一定在的下方．【答案】①③④【分析】①由拋物線過(guò)和，則對(duì)稱軸為直線，故，①對(duì)；②由得，拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線過(guò)和，由圖象得不等式的解為，②錯(cuò)；③設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，由得，，得，則對(duì)稱軸在直線左邊，由，可得，③對(duì)；④由得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，，④對(duì)；【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)和，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，即，故①正確；∵，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過(guò)和，∵拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)圖象在直線的函數(shù)圖象下方，即此時(shí)，故②錯(cuò)誤；設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴拋物線對(duì)稱軸在直線左邊，∵，∴，故③正確；∵拋物線經(jīng)過(guò)，，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)一定在的下方，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)校考二模）請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程：解一元二次不等式：．解：設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知：當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象位于軸下方，此時(shí)，即．所以一元二次不等式的解集為：．

通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題：(1)上述解題過(guò)程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的_________和_________（只填序號(hào)）①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結(jié)合思想．(2)用類似的方法解一元二次不等式：．(3)某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整：①自變量的取值范圍是___________；與的幾組對(duì)應(yīng)值如表，其中___________．…401234……50010…②如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)圖象補(bǔ)畫完整．③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：解不等式：

【答案】(1)①，③(2)(3)①全體實(shí)數(shù)；；②見(jiàn)解析；③或或【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想解答，即可；（2）依照例題，先求得的解，再畫出的草圖，觀察圖象即可求解；（3）①當(dāng)時(shí)，代入數(shù)據(jù)求解即可；②描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)圖象；③觀察圖象即可求解．【詳解】（1）解：上述解題過(guò)程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想；故答案為：①，③（2）解：，設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．

由圖象可知：當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象位于軸上方，此時(shí)，即．所以一元二次不等式的解集為：；（3）解：①自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即列表；…01234……50010…故答案為：全體實(shí)數(shù)；；②描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖：

③由圖象可知；由圖象可知：當(dāng)或或時(shí)函數(shù)的圖象位于與0之間，此時(shí)，即．一元二次不等式的解集為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一元二次不等式的解法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，本題是閱讀型題目，理解題干中的解題的思想方法并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四拋物線交點(diǎn)問(wèn)題的綜合】1．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，且，解得且．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．2．（2022春·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)?？甲灾髡猩┒魏瘮?shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與，函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與，若，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由交點(diǎn)式二次函數(shù)關(guān)系可求得，進(jìn)而可求得，，結(jié)合，可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與，，，函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與，，，，即，，，∴，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)求解函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)?？甲灾髡猩┤魭佄锞€的圖象與x軸僅一個(gè)交點(diǎn)，則的值為．【答案】101【分析】由拋物線的圖象與x軸僅一個(gè)交點(diǎn)，可得，則，解得：，然后根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵拋物線的圖象與x軸僅一個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，解得：，∴，故答案為：101．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的綜合，一元二次方程根的判別式，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點(diǎn)；(2)若此拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，m是正整數(shù)，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）令，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后求出方程中判別式的值，即可證明結(jié)論；（2）令，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后?duì)方程分解因式，又因此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，從而可以求得符合要求的正整數(shù)m的值．【詳解】（1）證明：∵，∴．∴此拋物線與x軸總有交點(diǎn)；（2）解：令，則，所以或，解得，，因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，m是正整數(shù)所以m為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)和解一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況】1．（2023秋·北京·九年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（

）①

②③

④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】特殊點(diǎn)判斷①；拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，判斷②和③；圖象法判斷④．【詳解】解：由圖象可知：拋物線的開(kāi)口方向向上，∴，圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴；故②錯(cuò)誤，故③正確；當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；如圖，與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；綜上，正確的是③④，共2個(gè)；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根是．如果關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的整數(shù)根，則這兩個(gè)整數(shù)根可能是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，則關(guān)于x的方程的兩個(gè)根必須在和之間，兩根且和為，求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根是，可得，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，即拋物線開(kāi)口向下，，于x的方程有兩個(gè)不同的整數(shù)根，可得兩個(gè)整數(shù)根在和之間，且和為1，結(jié)合選項(xiàng)，只有C選項(xiàng)符合，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．3．（2023秋·天津河西·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根大于且小于，另一個(gè)根大于2且小于3，則m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，方程的兩個(gè)根滿足：，，∵拋物線開(kāi)口向上，∴時(shí)y隨x增大而減小，時(shí)y隨x增大而增大，∴，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將根轉(zhuǎn)換成函數(shù)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合函數(shù)性質(zhì)列不等式．4．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下：…0123……00…其中，______；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分；

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)圖象的性質(zhì)；(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與軸有______個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程有______個(gè)實(shí)數(shù)根；②函數(shù)圖象與直線軸有______個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程有______個(gè)實(shí)數(shù)根；③關(guān)于的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是______；④不等式的解集是______．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)①函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．(4)①2；2；②3，3；③；④或【分析】（1）把代入函數(shù)解釋式即可得m的值；（2）描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；（4）①根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論；②根據(jù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論；③根據(jù)函數(shù)的圖像即可得到a的取值范圍．④由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，即可得到答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：．（2）根據(jù)給定的表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖形，如圖所示：

（3）觀察函數(shù)圖像，可得出：①函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．（4）①觀察函數(shù)圖像可知：當(dāng)時(shí)，，∴該函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)的方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根．故答案為：2；2．②觀察函數(shù)圖像可知：函數(shù)的圖像與只有3個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；故答案為：3，3．③觀察圖像可知：關(guān)于x的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，a的取值范圍是．故答案為：．④由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，則，即，∴不等式的解集是或．【點(diǎn)睛】本題為函數(shù)圖像探究題，考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的對(duì)稱性、增減性以及從函數(shù)的角度解決方程、不等式問(wèn)題．【經(jīng)典例題六求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)】1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式變形求出長(zhǎng)度即可得到答案．【詳解】解：拋物線與一次函數(shù)交于兩點(diǎn)，聯(lián)立，消元得，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中求線段長(zhǎng)問(wèn)題，涉及函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間距離公式及完全平方公式等知識(shí)，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)之間距離公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，圖像的頂點(diǎn)為C，若，則a的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得AB的長(zhǎng)，且求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，△ABC是等腰直角三角形，則頂點(diǎn)C到x軸的距離等于AB的一半，即可求得a的值．【詳解】令，解得：，（），則，∵，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，且，∴△ABC是等腰直角三角形，∴頂點(diǎn)C到x軸的距離等于AB的一半，即，解得：a=3或a=4（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解且符合題意，即a=3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半建立方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平移拋物線，使頂點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于，D兩點(diǎn)．若，，四邊形的面積為，則．【答案】【分析】根據(jù)梯形面積求出，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式之間關(guān)系化簡(jiǎn)即可得到答案；【詳解】四邊形是梯形，下底，高為3，由，得，設(shè)，，則，，∵，∴．∴．∴①，又頂點(diǎn)縱坐標(biāo)②，①÷②，得，∴，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)與幾何圖形應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)．4．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且該拋物線的對(duì)稱軸為直線．(1)求b和c的值．(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值y的取值范圍，并說(shuō)明理由．(3)設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段與線段的長(zhǎng)度之比．【答案】(1)，；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)2．【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)以及對(duì)稱軸公式可求得b和c的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可知，在的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，進(jìn)而可得答案；（3）聯(lián)立與拋物線，設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，，則可得到，然后根據(jù)求得，即線段的長(zhǎng)為，同理求出線段的長(zhǎng)為，可得答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為：；理由：由（1）可知拋物線解析式為，∵，∴拋物線開(kāi)口向上，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴在的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取最小值，最小值為，∵，∴在的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取最大值，最大值為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為：；（3）解：聯(lián)立得：，整理得：，設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，則，，∴，∵，∴，即線段的長(zhǎng)為，聯(lián)立得：，整理得：，設(shè)點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為，則，，∴，∵，∴，即線段的長(zhǎng)為，∴線段與線段的長(zhǎng)度之比為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（重慶市潼南區(qū)六校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知二次函數(shù)自變量x的部分取值和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y如下表：x…012…y…50…下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)圖像開(kāi)口向下 B．函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】D【分析】根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：把，代入得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為：，∵，∴函數(shù)圖像開(kāi)口向上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，解得，，∴函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選項(xiàng)正確；∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？甲灾髡猩╆P(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大C．函數(shù)的最大值為1 D．函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A選項(xiàng)正確；∵，即拋物線開(kāi)口向下，∵對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象與y軸有一個(gè)交點(diǎn)為，∴函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)與x軸交于、兩點(diǎn)，且，則（）A．5 B． C．5或 D．或1【答案】B【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系和等式變形處理得到，由此求得k的值，注意．【詳解】∵二次函數(shù)與x軸交于、兩點(diǎn)，∴是方程的兩個(gè)根，∴，∵，∴，∴，解得，∵，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，故，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，拋物線于x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)關(guān)系定理，公式變形．解題時(shí)需要注意k的取值范圍．4．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)湖北大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程（t為實(shí)數(shù)），在的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，進(jìn)而確定t的最小值，然后再求出時(shí)t的值，然后比較即可解答．【詳解】解：∵，∴，即t在的范圍內(nèi)的最小值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以t的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意確定t的最小值是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)蕭山區(qū)金山初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)（m為實(shí)數(shù)），下列說(shuō)法正確的是（

）A．這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)有可能在拋物線上B．當(dāng)且時(shí)，C．點(diǎn)與點(diǎn)在函數(shù)y的圖象上，若，則D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則【答案】D【分析】先求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入中，看方程是否有解即可判斷A；先求出拋物線解析式，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)可求出當(dāng)時(shí)，，即可判斷B；根據(jù)題意求出，再根據(jù)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小即可判斷C；求出拋物線對(duì)稱軸，得到當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，由此即可判斷D．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)點(diǎn)在拋物線上，則，∴，∴，∴方程無(wú)解，即假設(shè)不成立，∴這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)不可能在拋物線上，故A說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)解析式為，則二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，且離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，∵，∴時(shí)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，∴當(dāng)時(shí)，，故B說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴，，∴，∴，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；∵拋物線對(duì)稱軸為直線，且拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴，故D說(shuō)法正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的增減性，二次函數(shù)的最值問(wèn)題等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍是．【答案】【分析】由對(duì)稱軸求出解析式，再求出當(dāng)時(shí)x的值，最后根據(jù)開(kāi)口方向求解即可．【詳解】∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，解得，∴拋物線解析式為，∴當(dāng)時(shí)，∵開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求出解析式并根據(jù)函數(shù)圖象解不等式是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·安徽淮北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，拋物線．（1）若此拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則其對(duì)稱軸是直線；（2）若此拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，則拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)得到對(duì)稱軸即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)得到方程的解即可得到答案．【詳解】解：（1）由于此拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則其對(duì)稱軸是直線，故答案為：；（2）由于此拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)得到，方程的解為，則拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線函數(shù)的對(duì)稱軸以及圖像性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的圖像性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的解是．【答案】或5【分析】將整理得：，向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即可解答．【詳解】解：將整理得：，∵拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，將該拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，∴經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，∴一元二次方程的解是或5，故答案為：或5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟記上加下減、左加右減是關(guān)鍵．9．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】設(shè)方程的兩根分別為，，可得，，利用，再解方程即可．【詳解】解：當(dāng)，則，設(shè)方程的兩根分別為，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．10．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）的度數(shù)是；（2）若點(diǎn)M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)Q，則的長(zhǎng)的最大值是．【答案】/90度4【分析】（1）先分別求解A，B，C的坐標(biāo)，再利用勾股定理的逆定理證明即可；（2）求解直線為，設(shè)，則，可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，解得：，，∴，，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，∴；（2）設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，∵，設(shè)，則，∴，當(dāng)時(shí)，的最大值為：；故答案為：（1）；（2）4【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度的最值是解本題的關(guān)鍵.11．（2023秋·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)將此二次函數(shù)的解析式寫成的形式，并直接寫出此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是【分析】（1）把點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)三元一次方程組的解法求出、、的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）利用配方法整理，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)的坐標(biāo)求出與軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）根據(jù)題意得，，分別代入、得，，，得，，解得，把代入得，，解得，方程組的解是，此二次函數(shù)的解析式為；（2），二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，設(shè)另一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，然后解三元一次方程組即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及三種形式的相互轉(zhuǎn)化也很重要．12．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形為正方形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2)存在，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求解；（2）由點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，可得點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)，則，代入拋物線解析式求解即可．【詳解】（1）解：把代入拋物線中，得，解得，∴拋物線的解析式為，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解：在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得比邊形為正方形，理由如下．如解圖，設(shè)對(duì)解線交于點(diǎn)，∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，且與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，由（1）得拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，則，∵點(diǎn)M在拋物線的圖象上，，解得或，或，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是或．

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，