小升初奧數(shù)專題講解

小升初奧數(shù)專題講解行程問題教學(xué)目標(biāo)：能夠利用以前學(xué)習(xí)的知識理清變速變道問題的關(guān)鍵點；能夠利用線段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題；變速變道問題的關(guān)鍵是如何處理“變〞；掌握尋找等量關(guān)系的方法來構(gòu)建方程，利用方程解行程題．知識精講：比例的知識是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學(xué)“壓軸知識點〞的角色。從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應(yīng)用題時有著“得天獨厚〞的優(yōu)勢，往往表達(dá)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會應(yīng)用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用來表示，大體可分為以下兩種情況：當(dāng)2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經(jīng)過同一段時間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。，這里因為時間相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段時間t內(nèi)的路程之比等于速度比當(dāng)2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等于他們速度的反比。，這里因為路程相同，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的時間之比等于速度比的反比。行程問題常用的解題方法有⑴公式法即根據(jù)常用的行程問題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件；⑵圖示法在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具．示意圖包括線段圖和折線圖．圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點．另外在屢次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；⑶比例法行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數(shù)值．更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題；⑷分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用．這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；⑸方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常常可以順利求解．例題精講：模塊一、時間相同速度比等于路程比甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá)B地和乙到達(dá)A地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點30千米，那么A、B兩地相距多少千米？兩個人同時出發(fā)相向而行，相遇時時間相等，路程比等于速度之比，即兩個人相遇時所走過的路程比為4:3．第一次相遇時甲走了全程的4/7；第二次相遇時甲、乙兩個人共走了3個全程，三個全程中甲走了個全程，與第一次相遇地點的距離為個全程．所以A、B兩地相距(千米)．B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過來．甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過來后返回B地至少要用多少時間。根據(jù)題意當(dāng)丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時甲、乙位置如下：因為丙的速度是甲、乙的3倍，分步討論如下：假設(shè)丙先去追及乙，因時間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時間為：10÷〔3－1〕=5〔分鐘〕此時拿上乙拿錯的信當(dāng)丙再回到B點用5分鐘，此時甲已經(jīng)距B地有10＋10＋5＋5＝30〔分鐘〕，同理丙追及時間為30÷〔3－1〕=15〔分鐘〕，此時給甲應(yīng)該送的信，換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時乙已經(jīng)距B地：10＋5＋5＋15＋15=50〔分鐘〕，此時追及乙需要：50÷〔3－1〕=25〔分鐘〕，返回B地需要25分鐘所以共需要時間為5＋5＋15＋15＋25＋25=90〔分鐘〕同理先追及甲需要時間為120分鐘(“圓明杯〞數(shù)學(xué)邀請賽)甲、乙兩人同時從、兩點出發(fā)，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，出發(fā)一段時間后，兩人在距中點的處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了分鐘，兩人將在距中點的處相遇，且中點距、距離相等，問、兩點相距多少米？甲、乙兩人速度比為，相遇的時候時間相等，路程比等于速度之比，相遇時甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙沒有停留，且前后兩次相遇地點距離中點相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比為，根據(jù)時間一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了，所以甲停留期間乙行了，所以、兩點的距離為(米)．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行．出發(fā)時，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%．這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離A地還有10千米．那么A、B兩地相距多少千米？兩車相遇時甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，此時甲、乙的速度比為，所以甲到達(dá)B地時，乙又走了，距離A地，所以A、B兩地的距離為(千米)．早晨，小張騎車從甲地出發(fā)去乙地．下午1點，小王開車也從甲地出發(fā)，前往乙地．下午2點時兩人之間的距離是15千米．下午3點時，兩人之間的距離還是l5千米．下午4點時小王到達(dá)乙地，晚上7點小張到達(dá)乙地．小張是早晨幾點出發(fā)？從題中可以看出小王的速度比小張塊．下午2點時兩人之間的距離是l5千米．下午3點時，兩人之間的距離還是l5千米，所以下午2點時小王距小張15千米，下午3點時小王超過小張15千米，可知兩人的速度差是每小時30千米．由下午3點開始計算，小王再有1小時就可走完全程，在這1小時當(dāng)中，小王比小張多走30千米，那小張3小時走了153045千米，故小張的速度是45÷3=15千米/時，小王的速度是15＋30=45千米/時．全程是45×3=135千米，小張走完全程用了135＋15=9小時，所以他是上午10點出發(fā)的。從甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路與上坡路的距離相等。陳明開車從甲地到乙地共用了3小時，其中第一小時比第二小時多走15千米，第二小時比第三小時多走25千米。如果汽車走上坡路比走平路每小時慢30千米，走下坡路比走平路每小時快15千米。那么甲乙兩地相距多少千米？⑴由于3個小時中每個小時各走的什么路不明確，所以需要先予以確定．從甲地到乙地共用3小時，如果最后一小時先走了一段平路再走上坡路，也就是說走上坡路的路程不需要1小時，那么由于下坡路與上坡路距離相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小時，這說明第一小時既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小時那么是全在走平路．這樣的話，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小時走的路程小于以下坡的速度走1小時的路程，而這個路程恰好比以平路的速度走1小時的路程(即第二小時走的路程)多走15千米，所以這樣的話第一小時走的路程比第二小時走的路程多走的少于15千米，不合題意，所以假設(shè)不成立，即第三小時全部在走上坡路．如果第一小時全部在走下坡路，那么第二小時走了一段下坡路后又走了一段平路，這樣第二小時走的路程將大于以平路的速度走1小時的路程，而第一小時走的路程比第二小時走的路程多走的少于15千米，也不合題意，所以假設(shè)也不成立，故第一小時已走完下坡路，還走了一段平路．所以整個行程為：第一小時已走完下坡路，還走了一段平路；第二小時走完平路，還走了一段上坡路；第三小時全部在走上坡路．⑵由于第二小時比第三小時多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小時30千米．所以第二小時內(nèi)用在走平路上的時間為小時，其余的小時在走上坡路；因為第一小時比第二小時多走了15千米，而小時的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小時余下的下坡路所用的時間為小時，所以在第一小時中，有小時是在下坡路上走的，剩余的小時是在平路上走的．因此，陳明走下坡路用了小時，走平路用了小時，走上坡路用了小時．⑶因為下坡路與上坡路的距離相等，所以上坡路與下坡路的速度比是．那么下坡路的速度為千米/時，平路的速度是每小時千米，上坡路的速度是每小時千米．那么甲、乙兩地相距(千米)．模塊二、路程相同速度比等于時間的反比甲、乙兩人同時從地出發(fā)到地，經(jīng)過3小時，甲先到地，乙還需要1小時到達(dá)地，此時甲、乙共行了35千米．求，兩地間的距離．甲用3小時行完全程，而乙需要4小時，說明兩人的速度之比為，那么在3小時內(nèi)的路程之比也是；又兩人路程之和為35千米，所以甲所走的路程為千米，即，兩地間的距離為20千米．在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達(dá)B點，又過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分.〔抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)系〕

從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12＋8＝20〔分〕，乙需20÷4×6＝30〔分〕.上午8點整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點20分甲與從B地出發(fā)勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的3倍，乙速度不變；8點30分，甲、乙兩人同時到達(dá)各自的目的地．那么，乙從B地出發(fā)時是8點幾分．甲、乙相遇時甲走了20分鐘，之后甲的速度提高到原來的3倍，又走了10分鐘到達(dá)目的地，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，如果甲沒提速，那么后面的路甲需要走10×3=30分鐘，所以前后兩段路程的比為20:30=2:3，由于甲走20分鐘的路程乙要走10分鐘，所以甲走30分鐘的路程乙要走15分鐘，也就是說與甲相遇時乙已出發(fā)了15分鐘，所以乙從B地出發(fā)時是8點5分．小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路．小芳上學(xué)走這兩條路所用的時間一樣多．下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？設(shè)小芳上學(xué)路上所用時間為2，那么走一半平路所需時間是1．由于下坡路與一半平路的長度相同，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，走下坡路所需時間是，因此，走上坡路需要的時間是，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時間的反比，為，所以，上坡速度是平路速度的倍．一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計50分鐘到達(dá)．但汽車行駛到路程的時，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車行駛余下的路程時，每分鐘必須比原來快多少米？當(dāng)以原速行駛到全程的時，總時間也用了，所以還剩下分鐘的路程；修理完畢時還剩下分鐘，在剩下的這段路程上，預(yù)計時間與實際時間之比為，根據(jù)路程一定，速度比等于時間的反比，實際的速度與預(yù)定的速度之比也為，因此每分鐘應(yīng)比原來快米．小結(jié)：此題也可先求出相應(yīng)的路程和時間，再采用公式求出相應(yīng)的速度，最后計算比原來快多少，但不如采用比例法簡便．(“我愛數(shù)學(xué)夏令營〞數(shù)學(xué)競賽)一列火車出發(fā)小時后因故停車小時，然后以原速的前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚小時．假設(shè)出發(fā)小時后又前進(jìn)公里因故停車小時，然后同樣以原速的前進(jìn)，那么到達(dá)目的地僅晚小時，那么整個路程為________公里．如果火車出發(fā)小時后不停車，然后以原速的前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚小時，在一小時以后的那段路程，原方案所花的時間與實際所花的時間之比為，所以原方案要花小時，現(xiàn)在要花小時，假設(shè)出發(fā)小時后又前進(jìn)公里不停車，然后同樣以原速的前進(jìn)，那么到達(dá)目的地僅晚小時，在一小時以后的那段路程，原方案所花的時間與實際所花的時間之比為，所以原方案要花小時，現(xiàn)在要花小時．所以按照原方案公里的路程火車要用小時，所以火車的原速度為千米／小時，整個路程為千米．王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原方案的速度提高了1/9，結(jié)果提前一個半小時到達(dá)；返回時，按原方案的速度行駛280千米后，將車速提高1/6，于是提前1小時40分到達(dá)北京．北京、上海兩市間的路程是多少千米？從開始出發(fā)，車速即比原方案的速度提高了1/9，即車速為原方案的10/9，那么所用時間為原方案的1÷10/9=9/10，即比原方案少用1/10的時間，所以一個半小時等于原方案時間的1/10，原方案時間為：1.5÷1/10=15(小時)；按原方案的速度行駛280千米后，將車速提高1/6，即此后車速為原來的7/6，那么此后所用時間為原方案的1÷7/6=6/7，即此后比原方案少用1/7的時間，所以1小時40分等于按原方案的速度行駛280千米后余下時間的1/7，那么按原方案的速度行駛280千米后余下的時間為：

5/3÷1/7=35/3(小時)，所以，原方案的速度為：84(千米/時)，北京、上海兩市間的路程為：84×15=1260(千米)．一輛汽車從甲地開往乙地，如果車速提高20%可以提前1小時到達(dá)．如果按原速行駛一段距離后，再將速度提高30%，也可以提前1小時到達(dá)，那么按原速行駛了全部路程的幾分之幾？車速提高20%，即為原速度的6/5，那么所用時間為原來的5/6，所以原定時間為小時；如果按原速行駛一段距離后再提速30%，此時速度為原速度的13/10，所用時間為原來的10/13，所以按原速度后面這段路程需要的時間為小時．所以前面按原速度行使的時間為小時，根據(jù)速度一定，路程比等于時間之比，按原速行駛了全部路程的一輛車從甲地開往乙地．如果車速提高，可以比原定時間提前1小時到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將車速提高，那么可以提前40分鐘到達(dá)．那么甲、乙兩地相距多少千米？車速提高，速度比為，路程一定的情況下，時間比應(yīng)為，所以以原速度行完全程的時間為小時．以原速行駛120千米后，以后一段路程為考察對象，車速提高，速度比為，所用時間比應(yīng)為，提前40分鐘到達(dá)，那么用原速度行駛完這一段路程需要小時，所以以原速行駛120千米所用的時間為小時，甲、乙兩地的距離為千米．甲火車分鐘行進(jìn)的路程等于乙火車分鐘行進(jìn)的路程．乙火車上午從站開往站，開出假設(shè)干分鐘后，甲火車從站出發(fā)開往站．上午兩列火車相遇，相遇的地點離、兩站的距離的比是．甲火車從站發(fā)車的時間是幾點幾分？［分析］甲、乙火車的速度比，所以甲、乙火車相同時間內(nèi)的行程比也．由此可以求得甲火車單獨行駛的距離與總路程的比．根據(jù)題意可知，甲、乙兩車的速度比為．從甲火車出發(fā)算起，到相遇時兩車走的路程之比為，而相遇點距、兩站的距離的比是．說明甲火車出發(fā)前乙火車所走的路程等于乙火車個小時所走路程的．也就是說乙比甲先走了一個小時的四分之一，也就是15分鐘．所以甲火車從站發(fā)車的時間是點分．模塊三、比例綜合題小狗和小猴參加的100米預(yù)賽．結(jié)果，當(dāng)小狗跑到終點時，小猴才跑到90米處，決賽時，自作聰明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我們站在同一起跑線上不公平，我提議把小狗的起跑線往后挪10米．小狗同意了，小猴樂滋滋的想：“這樣我和小狗就同時到達(dá)終點了！〞親愛的小朋友，你說小猴會如愿以償嗎？小猴不會如愿以償．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它們的速度比為；那么把小狗的起跑線往后挪10米后，小狗要跑110米，當(dāng)小狗跑到終點時，小猴跑了米，離終點還差1米，所以它還是比小狗晚到達(dá)終點．甲、乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，經(jīng)過3小時，甲先到B地，乙還需要1小時到達(dá)B地，此時甲、乙共行了35千米．求A，B兩地間的距離．甲、乙兩個人同時從A地到B地，所經(jīng)過的路程是固定所需要的時間為：甲3個小時，乙4個小時〔3+1〕兩個人速度比為：甲：乙=4：3當(dāng)兩個人在相同時間內(nèi)共行35千米時，相當(dāng)與甲走4份，已走3份，所以甲走：35÷〔4＋3〕×4=20〔千米〕，所以，A、B兩地間距離為20千米、、三輛汽車以相同的速度同時從甲市開往乙市．開車后小時車出了事故，和車照常前進(jìn)．車停了半小時后以原速度的繼續(xù)前進(jìn)．、兩車行至距離甲市千米時車出了事故，車照常前進(jìn)．車停了半小時后也以原速度的繼續(xù)前進(jìn)．結(jié)果到達(dá)乙市的時間車比車早小時，車比車早小時，甲、乙兩市的距離為千米．【分析】如果車沒有停半小時，它將比車晚到小時，因為車后來的速度是車的，即兩車行小時的路車比車慢小時，所以慢小時說明車后來行了小時．從甲市到乙市車要行小時．同理，如果車沒有停半小時，它將比車晚到小時，說明車后來行了小時，這段路車需行小時，也就是說這段路是甲、乙兩市距離的．故甲、乙兩市距離為(千米)．甲、乙二人步行遠(yuǎn)足旅游，甲出發(fā)后小時，乙從同地同路同向出發(fā)，步行小時到達(dá)甲于分鐘前曾到過的地方．此后乙每小時多行米，經(jīng)過小時追上速度保持不變的甲．甲每小時行多少米？［分析］根據(jù)題意，乙加速之前步行小時的路程等于甲步行小時的路程，所以甲、乙的速度之比為，乙的速度是甲的速度的倍；乙加速之后步行小時的路程等于甲步行小時的路程，所以加速后甲、乙的速度比為．加速后乙的速度是甲的速度的倍；由于乙加速后每小時多走500米，所以甲的速度為米/小時．甲、乙兩人分別騎車從地同時同向出發(fā)，甲騎自行車，乙騎三輪車．12分鐘后丙也騎車從地出發(fā)去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉頭行了3千米時又遇到乙．乙的速度是每小時千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？丙的速度為千米/小時，丙比甲、乙晚出發(fā)12分鐘，相當(dāng)于退后了千米后與甲、乙同時出發(fā)．如下圖，相當(dāng)于甲、乙從，丙從同時出發(fā)，丙在處追上甲，此時乙走到處，然后丙掉頭走了3千米在處和乙相遇．從丙返回到遇見乙，丙走了3千米，所以乙走了千米，故為千米．那么，在從出發(fā)到丙追上甲這段時間內(nèi)，丙一共比乙多走了千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲時，乙走了千米，丙走了15千米，恰好用1個小時；而此時甲走了千米，因此速度為(千米/小時)．甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后1小時，甲與乙在離山頂600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點共用多少小時？甲如果用下山速度上山，乙到達(dá)山頂時，甲恰好到半山腰，說明甲走過的路程應(yīng)該是一個單程的1×1.5+1/2=2倍，就是說甲下山的速度是乙上山速度的2倍。兩人相遇時走了1小時，這時甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了1小時，所以甲下山要用1/2小時。甲一共走了1+1/2=1.5〔小時〕一條東西向的鐵路橋上有一條小狗，站在橋中心以西米處．一列火車以每小時千米的速度從西邊開過來，車頭距西橋頭三個橋長的距離．假設(shè)小狗向西迎著火車跑，恰好能在火車距西橋頭米時逃離鐵路橋；假設(shè)小狗以同樣的速度向東跑，小狗會在距東橋頭米處被火車追上．問鐵路橋長多少米，小狗的速度為每小時多少千米？【分析】設(shè)鐵路橋長為米．在小狗向西跑的情況下：小狗跑的路程為米，火車走的路程為米；在小狗向東跑的情況下：小狗跑的路程為米，火車走的路程為米；兩種情況合起來看，在相同的時間內(nèi)，小狗一共跑了米，火車一共走了米；因為是的倍，所以火車速度是小狗速度的倍，所以小狗的速度為(千米/時)；因為火車速度為小狗速度的倍，所以，解此方程得：．所以鐵路橋全長為米，小狗的速度為每小時千米．如圖，點分，有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距米的、兩地順時針方向沿長方形的邊走向點，甲點分到后，丙、丁兩人立即以相同速度從點出發(fā)，丙由向走去，點分與乙在點相遇，丁由向走去，點分在點被乙追上，那么連接三角形的面積為平方米．【分析】如圖，由題意知，丙從到用分鐘，丁從到用分鐘，乙從經(jīng)到用分鐘，說明甲、乙速度是丙、丁速度的倍．因為甲走用分鐘，所以丙走要用(分鐘)，走用(分鐘)．因為乙走用分鐘，所以丙走用(分鐘)．因為長米，所以丙每分鐘走(米)．于是求出(米)，(米)，(米)．(平方米)．如圖，長方形的長與寬的比為，、為邊上的三等分點，某時刻，甲從點出發(fā)沿長方形逆時針運動，與此同時，乙、丙分別從、出發(fā)沿長方形順時針運動．甲、乙、丙三人的速度比為．他們出發(fā)后分鐘，三人所在位置的點的連線第一次構(gòu)成長方形中最大的三角形，那么再過多少分鐘，三人所在位置的點的連線第二次構(gòu)成最大三角形？［分析］長方形內(nèi)最大的三角形等于長方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長方形的某條邊重合，并且另一個點恰好在該長方形邊的對邊上．所以我們只要討論三個人中有兩個人在長方形的頂點上的情況．將長方形的寬等分，長等分后，將長方形的周長分割成段，設(shè)甲走段所用的時間為個單位時間，那么一個單位時間內(nèi)，乙、丙分別走段、段，由于、、兩兩互質(zhì)，所以在非整數(shù)單位時間的時候，甲、乙、丙三人最多也只能有個人走了整數(shù)段．所以我們只要考慮在整數(shù)單位時間，三個人運到到頂點的情況．對于甲的運動進(jìn)行討論：時間(單位時間)……地點對于乙的運動進(jìn)行討論：時間(單位時間)……地點對于丙的運動進(jìn)行討論：時間(單位時間)……地點需要檢驗的時間點有、、、、……個單位時間的時候甲和丙重合無法滿足條件．個單位時間的時候甲在上，三人第一次構(gòu)成最大三角形．所以一個單位時間相當(dāng)于分鐘．個單位時間的時候甲、乙、丙分別在、、的位置第二次構(gòu)成最大三角形．所以再過分鐘．三人所在位置的點的連線第二次構(gòu)成最大三角形？課后作業(yè)甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，甲車的速度是乙車的速度的，并且甲、乙兩車第2007次相遇〔這里特指面對面的相遇〕的地點與第2023次相遇的地點恰好相距120千米，那么，A、B兩地之間的距離等于多少千米？甲、乙速度之比是3：7，所以我們可以設(shè)整個路程為3+7=10份，這樣一個全程中甲走3份，第2007次相遇時甲總共走了3×〔2007×2-1〕=12039份，第2023次相遇時甲總共走了3×〔2023×2-1〕=12045份，所以總長為120÷［12045-12040-〔12040-12039〕]×10=300米.甲、乙兩人分別從、兩地同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)時他們的速度之比是，他們第一次相遇后甲的速度提高了，乙的速度提高了，這樣，當(dāng)甲到達(dá)地時，乙離地還有千米，那么、兩地的距離是多少千米？【分析】因為他們第一次相遇時所行的時間相同，所以第一次相遇時甲、乙兩人行的路程之比也為，相遇后，甲、乙兩人的速度比為；到達(dá)地時，即甲又行了份的路程，這時乙行的路程和甲行的路程比是，即乙的路程為．乙從相遇后到達(dá)還要行份的路程，還剩下(份)，正好還剩下千米，所以份這樣的路程是(千米)．、兩地有這樣的(份)，因此、兩地的總路程為：(千米)．小明和小剛進(jìn)行米短跑比賽(假定二人的速度均保持不變)．當(dāng)小剛跑了米時，小明距離終點還有米，那么，當(dāng)小剛到達(dá)終點時，小明距離終點還有多少米？【分析】當(dāng)小剛跑了米時，小明跑了米，在相同時間里，兩人的速度之比等于相應(yīng)的路程之比，為；在小剛跑完剩下的米時，兩人經(jīng)過的時間相同，所以兩人的路程之比等于相應(yīng)的速度之比，那么可知小明這段時間內(nèi)跑了米，還剩下米．客車和貨車同時從甲、乙兩地的中點向反向行駛，3小時后客車到達(dá)甲地，貨車離乙地還有22千米，貨車與客車的速度比為，甲、乙兩地相距多少千米？貨車與客車速度比，相同時間內(nèi)所行路程的比也為，那么客車走的路程為(千米)，為全程的一半，所以全程是(千米)．甲、乙兩人從，兩地同時出發(fā)，相向而行．甲走到全程的的地方與乙相遇．甲每小時走千米，乙每小時走全程的．求，之間的路程．相同的時間內(nèi)，甲、乙路程之比為，因此甲、乙的速度比也為，所以乙的速度為千米/時．兩地之間的路程為：千米．小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之應(yīng)用題綜合答案小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之行程問題答案小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之邏輯推理答案小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之計算問題答案小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之幾何答案小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之工程問題答案小學(xué)奧數(shù)專題測試系列之操作與計數(shù)技巧答案第一講數(shù)的整除問題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)數(shù)的整除性是數(shù)論的根底內(nèi)容，學(xué)生能否熟練掌握該內(nèi)容對以后進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)數(shù)論至關(guān)重要.本講需要教授的內(nèi)容有：1、掌握并熟練運用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然數(shù)性質(zhì)，這類知識在〔Ⅰ、Ⅱ類〕題中運用很多.2、訓(xùn)練學(xué)生對自然數(shù)的快速分解，記住并會運用幾個特殊數(shù)〔111、1001等〕的分解情況對于解決〔Ⅲ類〕有很大的幫助.3、自然數(shù)乘法末位數(shù)規(guī)律.4、根底好的學(xué)生還應(yīng)該掌握分式的化簡方法.根本概念和知識點根本概念和知識點1．整除——約數(shù)和倍數(shù)一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整數(shù)b〔b≠0〕，除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)〔或者說余數(shù)是0〕，我們就說，a能被b整除〔或者說b能整除a〕。記作b︱a。否那么，稱為a不能被b整除〔或b不能整除a〕。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)〔或因數(shù)〕。2．?dāng)?shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a。性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。3．?dāng)?shù)的整除特征能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。能被3〔或9〕整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3〔或9〕整除。能被4〔或25〕整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4〔或25〕整除。能被8〔或125〕整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8〔或125〕整除。能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的差〔大減小〕是11的倍數(shù)。能被7〔11或13〕整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差〔以大減小〕能被7〔11或13〕整除。局部特殊數(shù)的分解111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×